復(fù)變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應(yīng)用精課件

1、第4章 解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應(yīng)用本章首先介紹復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念與性質(zhì)；其次介紹冪級數(shù)的概念及其收斂性的判別、解析函數(shù)的Taylor級數(shù)和Laurent級數(shù)展開；最后應(yīng)用Taylor級數(shù)與Laurent級數(shù)研究解析函數(shù)的一些性質(zhì) 4.1復(fù)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)4.1.1復(fù)數(shù)數(shù)列與實數(shù)列一樣，把順序排列的一串復(fù)數(shù)：稱為復(fù)數(shù)列，記為zn(n=1,2,)，zn稱為數(shù)列的通項或一般項.定義4.1設(shè)zn(n=1,2,)為一復(fù)數(shù)列，zC如果對任意0，存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時，有則z稱為復(fù)數(shù)列zn的極限，記為此時也稱復(fù)數(shù)列zn收斂于z如果復(fù)數(shù)列zn沒有極限，則稱zn發(fā)散定理4.1假設(shè) 則

2、的充分必要條件是 且證必要性由 即得，充分性由可知.證畢.例4.1復(fù)數(shù)列 (n=1,2,)收斂于2i，因為收斂的復(fù)數(shù)列與收斂實數(shù)列有類似的性質(zhì)，比如：收斂復(fù)數(shù)列zn的極限是唯一的；收斂復(fù)數(shù)列zn一定有界, 即存在正數(shù)M，使得zn M對任意自然數(shù)n成立.例4.2討論級數(shù) 的斂散性.解因為 發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.由定理4.2及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件易得下面結(jié)論.定理4.3 收斂的必要條件是定理4.4若 收斂，則 收斂.證假設(shè) (n=1,2,)， 則 (n=1,2,)，因 收斂，由正項級數(shù)的收斂判別法知 和 都絕對收斂，再由定理4.2知 收斂.定義4.3若 收斂，則稱 絕對收斂，若 收斂,而 發(fā)散，

3、則稱 條件收斂.定理4.5假設(shè)zn =xn+iyn(n=1,2,)，則 絕對收斂的充分必要條件是 和 都絕對收斂.證必要性因為 (n=1,2,)，故由 絕對收斂可推得 和 絕對收斂.充分性由 和 絕對收斂知 收斂，又 從而 收斂，即 絕對收斂.收斂復(fù)級數(shù)有下述性質(zhì)，其證明與實數(shù)項級數(shù)完全相同.設(shè) 收斂，,為常數(shù)，則 收斂，且設(shè) 絕對收斂，則它的Cauchy乘積 也絕對收，且4.1.3復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義4.4設(shè)fn(z)(n=1,2,)是定義在平面點集E上的復(fù)變函數(shù)列，稱為點集E上的（復(fù)變）函數(shù)項級數(shù)， 稱為部分和函數(shù).如果對 收斂，稱z0為級數(shù)式(4.1)的一個收斂點.收斂點的全體稱為函數(shù)項級

4、數(shù)的收斂域.在收斂域內(nèi)級數(shù)收斂于一個復(fù)變函數(shù)f(z)，稱f(z)為級數(shù)式(4.1)的和函數(shù)，記為 .例4.3討論 的收斂域，并求出和函數(shù).解當(dāng) 1時， ，故 發(fā)散;當(dāng) 1時, 又部分和函數(shù)故和函數(shù)為 于是 的收斂域為z0，使得設(shè) ，則 ，注意到而級數(shù) 收斂.由定理4.6知，級數(shù) 在開圓 盤 內(nèi)絕對收斂，證畢.推論4.8若冪級數(shù)(4.2)在z=z2(z0)時發(fā)散，則它在區(qū)域zz0z2z0內(nèi)任一點發(fā)散.事實上，若存在使得z0z2z0，且 收斂，則由定理4.7知級數(shù) 在zz00，使得a.當(dāng)zz0R 時，冪級數(shù)（4.2）發(fā)散.定義4.5如果存在R:0R+，使得當(dāng)zz0R 時，冪級數(shù)式式（4.2）發(fā)散，

5、則稱R為冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑，而圓盤zz0R 稱為冪級數(shù)式（4.2）的收斂圓.注：若冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑為R，則在圓周zz0=R 上，冪級數(shù)式（4.2）可能收斂可能發(fā)散.下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數(shù)的情形.定理4.9如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑定理4.10如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足 則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑例4.4求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域.解因為 ，故原級數(shù)的收斂半徑R=1，即收斂圓為 .而當(dāng) 時， 因 ，而 收斂，由定理4.6知 在 上處處收斂，故它的收斂域為z1.例4.5求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂

6、域.解因為故原級數(shù)的收斂半徑R=1e，即收斂圓為z11e.當(dāng)z1=1e 時，因為故 ，由級數(shù)收斂的必要條件知 上處處發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域即為收斂圓z11e.例4.6求冪級數(shù) 的收斂半徑，并討論它在z=0和z=2處的斂散性解因為 ，故原級數(shù)的收斂半徑R=1,即收斂圓為 z11.當(dāng)z=2時，原級數(shù)為 ，它是調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散；當(dāng)z=0時，原級數(shù)為 ，由交錯級數(shù)的Leibniz判別法知級數(shù)收斂，即在收斂圓的邊界z1=1 上，原級數(shù)既有收斂點，也有發(fā)散點.4.2.2冪級數(shù)的性質(zhì)（1）冪級數(shù)的運算性質(zhì) 設(shè) 與 的收斂半徑分別為R1和R2，則 ,為常數(shù)；其中（2）冪級數(shù)的分析性質(zhì)定理4.11設(shè)冪級數(shù) 的

7、收斂半徑為R，和函數(shù)為S(z)，則S(z)在zz0R 內(nèi)解析，且S(z)可逐項求導(dǎo)S(z)在zz0R 內(nèi)可逐項積分，即對收斂圓內(nèi)任一點z有證明從略.4.2.3Taylor級數(shù)定理4.11表明冪級數(shù)式（4.2）的和函數(shù)S(z)在收斂圓zz0R 內(nèi)解析，一個自然的問題是，圓內(nèi)解析的函數(shù)能表達(dá)成冪級數(shù)嗎？下面的Taylor定理肯定地回答了此問題.定理4.12（Taylor定理）設(shè)f(z)在圓NR(z0)=z:zz0R 內(nèi)解析，則f(z)在NR(z0)內(nèi)可展開成冪級數(shù)其中 ，并且展式（4.4）是唯一的.證?。?R,并令：z0=,使得z落在的內(nèi)部（圖4.2），則由Cauchy積分公式，得 圖4.2因為

8、，故由例4.3可知于是由Cauchy導(dǎo)數(shù)公式得其中令則q與積分變量無關(guān)且0q0，使得f(z)M 在成立，于是故 在式（4.6)兩端令N+，得式（4.4）和式（4.5），證畢.最后證明展式（4.4）的唯一性.設(shè)另有展式則由冪級數(shù)性質(zhì)（定理4.11）有故展式是唯一的.稱式（4.4）中的級數(shù)為f(z)在點z0的Taylor展式，稱式（4.5）中的系數(shù)為其Taylor系數(shù)，而等式（4.4）右邊的級數(shù)稱為Taylor級數(shù).由Taylor定理可得到刻畫解析函數(shù)的第四個等價命題.定理4.13f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是f(z)在區(qū)域D內(nèi)任何一點z0的某個鄰域內(nèi)可展成zz0的冪級數(shù).推論4.14f(z)

9、在點a解析的充要條件是f(z)在點a的某個鄰域內(nèi)可展成za的冪級數(shù)其中收斂半徑R為從a到f(z)的距a最近的奇點的距離.下面應(yīng)用Taylor定理來求一些初等函數(shù)的Taylor展式，這種方法稱為直接展開法.例4.7求f(z)= 在 處的Taylor級數(shù).解因為f(z)= 在全平面上解析且故有時我們也可以借助已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)及和函數(shù)的分析性質(zhì)來求另一些函數(shù)的Taylor級數(shù)，即間接展開法，下面舉例說明這種方法：例4.8求sin z，cos z在 處的Taylor級數(shù).解利用f(z)=sin z的定義及展開式（4.7）得但當(dāng)n為偶數(shù)時 于是因為所以有應(yīng)用定理4.11中的逐項微分

10、性質(zhì)，在等式（4.8）兩邊微分有即cos z在z0=0處的Taylor級數(shù)為例4.9求ln(1+z)在 =0處的Taylor級數(shù).解因為ln(1+z)在 =0處解析，且它的離z0=0最近的奇點為z1=1，故由推論4.14知它在z1 在內(nèi)可展成關(guān)于z的冪級數(shù).由例4.3知若在上式中用z代替z，則有在式（4.10）兩端同時積分并應(yīng)用定理4.11中逐項積分性質(zhì)得例4.10展開函數(shù) 成為z1的冪級數(shù).解由 得下面再舉一個用待定系數(shù)法展開函數(shù)成Taylor級數(shù)的例子.例4.11求 (為復(fù)數(shù)）的主值支在z0=0處的Taylor級數(shù).解因為 的主值支f(z)= 在z1 解析，且在圓周z=1 上有一個奇點z=

11、1，故必能展成z的冪級數(shù)且收斂半徑為R=1.因為即(1+z)f(z)=f(z)，將f(z)用式（4.9）左端代入得即比較上式兩端同次冪的系數(shù)得于是4.2.4解析函數(shù)的唯一性定理定義4.6如果f(z)在點z=a解析，且有則稱a是解析函數(shù)f(z)的m階零點.定理4.15不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m階零點的充要條件是其中(z)在點z=a處解析且(a)0.證明必要性：假設(shè)f(z)以a為m階零點，則由上述定義及Talory定理，在a的某個鄰域zaR 內(nèi)，有其中 在點a處解析且 . 充分性的證明略.例如f(z)=zsin z以z=0為3階零點.這是因為又如函數(shù) 以z=1為2階零點，這是因為其中 在點

12、z=1處解析且 0.同理可知f(z)以z=3為5階零點.定理4.16（解析函數(shù)零點的孤立性）設(shè)f(z)在zaR 內(nèi)解析且以a為零點，則存在r(0rR), 使得f(z)在Nr（a）a內(nèi)無零點，除非f(z)0.證明若f(z)不恒為零，不失一般性，設(shè)f(z)以a為m階零點，則由定理4.15可知，其中(z)在點z=a處解析且（a）0，由此存在a的一個充分小的鄰域Nr（a）:zar 上絕對收斂.當(dāng)rR時，雙邊冪級數(shù)式（4.12）在圓環(huán)H:r R上絕對收斂于圓環(huán)H內(nèi)解析的和函數(shù).一個自然的問題是，圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能表達(dá)成雙邊冪級數(shù)嗎？下面的Laurent定理肯定地回答了此問題.4.3.2Laurent級數(shù)

13、定理4.19（Laurent定理）設(shè)f(z)是圓環(huán)域H:r R內(nèi)的解析函數(shù)，則 zH，有其中為圓周 =(rR)，并且展式(4.13）是唯一的.證明對 H，取1,2，使得 由Cauchy積分公式，得 圖4.3其中j:zz0=j(j=1,2).同式（4.6）證明類似可得其中當(dāng)1時， 于是故其中令則q與積分變量無關(guān)且0q0，使得f(z)M在1成立，于是故 ，在式（4.17）兩端令N+，得其中取為圓周z0=(rR)，因為f（）在rz0R內(nèi)解析，故由多連通區(qū)域的Cauchy積分定理知于是式(4.16)、式(4.18)可統(tǒng)一為式(4.14)，證畢.最后證明展式（4.13）的唯一性.設(shè)另有展式取為圓周z0=

14、(rR)，由逐項可積性定理得或故cn=cn(n=0,1,2,).稱式(4.13)中的級數(shù)為f(z)在點z0的Laurent展式，稱式(4.14)中的系數(shù)為其Laurent系數(shù)，而等式(4.13)右邊的級數(shù)稱為Laurent級數(shù).注：（1）當(dāng)f(z)在圓NR(z0)內(nèi)解析時， NR(z0)可視為圓環(huán)的特殊情形，于是f(z)在NR(z0)內(nèi)可展成Laurent級數(shù)，且由式(4.14)及Cauchy定理可知，當(dāng)n0時，cn=0，表明此時的Laurent級數(shù)就是Taylor級數(shù).因此，Taylor級數(shù)是Laurent級數(shù)的特例.（2）一般來說，例4.13因為函數(shù) 在0z內(nèi)解析，則由Laurent定理可

15、知，此函數(shù)在0z內(nèi)能表達(dá)成Laurent級數(shù)，且由sin z的Taylor展式得例4.14在z=0的去心鄰域：0z1內(nèi)，函數(shù) 的Laurent級數(shù)為例4.15求 的Laurent級數(shù)，其中0z.解在 的Taylor級數(shù)中用 代替z，我們有 的Laurent級數(shù)形式例4.16求函數(shù)分別在域 內(nèi)的Laurent級數(shù).解顯然函數(shù)f(z)在 C上有兩個奇點z=1和z=2，在域 (1)z1;(2)1z2;(3)2z+;(4)1z1+ 內(nèi)均解析， 則f(z)在上述區(qū)域內(nèi)均可展成Laurent級數(shù).首先注意（1）（2）（3）即（4）例4.17將函數(shù) 在z=1的去心鄰域內(nèi)展成Laurent級數(shù).解利用正余弦函

16、數(shù)的展開式得例4.18求積分 其中C 為繞原點的正向簡單閉曲線.解f(z)= 在圓環(huán)0z0，使得對 zNR(z0) z0，有f(z)M，且 ，其中于是當(dāng)n0時，即cn=0,(n=1,2,),f(z)在z0的主要部分為零.對于極點，有下述定理.定理4.21設(shè)z0是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在點z0的主要部分為 其中(z)在點z= z0處解析且(z0)0; z0是函數(shù)1f(z)的m階零點.證明 ：由假設(shè)有其中 在點z=z0處解析且(z0)=cm0. ：由假設(shè)知， 在點z=z0處解析且(z0)0，因為由定理4.15可知，z0是函數(shù) 的m階零點. ：設(shè)z0是函數(shù) 的m階零點，根據(jù)

17、定理4.15可設(shè)其中(z)在點z= z0處解析且(z0)0，那么 也在點z= z0處解析，從而有其中1(z0)=a00.故可見f(z)在點z0的主要部分為式(4.19)的形式.推論4.22函數(shù)f(z)以孤立奇點z0為極點的充要條件是注意本性奇點是既不為可去奇點，又不為極點的孤立奇點，因此，對本性奇點有定理4.23.定理4.23設(shè)z0是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.f(z)在點z0的主要部分為無限多項; 不存在，也不為.例4.19求下列函數(shù)在C上的所有奇點并判別其類型解（1）f(z)的有限奇點為z=0，因為z=0為sin z的一階零點，故z=0為f(z)的二階極點.事實上f(z)可表為 ，

18、其中(z)在點z=0處解析且(0)0.（2）g(z)的有限奇點為z=0,z=i，其中z=0為g(z)的三階極點，z=i為g(z)的二階極點，z=i為g(z)的一階極點.（3）h(z)的所有有限奇點為z=2ki(k=0,1,2,3,).當(dāng)z0 =0時故z0 =0為h(z)的可去奇點.當(dāng)zk=2ki0時，因為zk是ez1的一階零點，于是zk是 的一階極點，又zk是1z解析點，從而zk是h(z)的一階極點.4.3.4解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)如果f(z)在的某個去心鄰域N(): 0rz+內(nèi)解析，則稱是f(z)的孤立奇點.令=1z，則F（）=f1在原點的去心鄰域 內(nèi)解析,即=0是F（）的孤立奇點，自然地

19、有如下定義.定義4.9如果=0是F（）的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點，則稱z=是函數(shù)f(z)的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點.根據(jù)Laurent定理，可設(shè)于是有其中 (n=0,1,2,)，對應(yīng)于F（）在=0的主要部分，我們稱為f(z)在z=的主要部分.根據(jù)定義4.9，類似定理4.20、定理4.21、定理4.23，可得下列定理.定理4.24設(shè)是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在的主要部分為零；f(z)在的某個去心鄰域內(nèi)有界.定理4.25設(shè)是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.f(z)在的主要部分為f(z)=zm(z)，其中(z)在點處解析且0；是函數(shù)1f(z)的m階零點.定理4.26函數(shù)f(z)以孤立奇點為極點的充要條件是定理4.27設(shè)是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.f(z)在的主要