《振動力學》習題集(含答案解析)

1、專業(yè)資料分享振動力學習題集（含答案）1.1質(zhì)量為m的質(zhì)點由長度為I、質(zhì)量為m/勺均質(zhì)細桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動,如圖E1.1所示。求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)的動能為：T=丄m22其中I為桿關(guān)于鉸點的轉(zhuǎn)動慣量：嶺x2dx=如112則有：T=丄ml2X2+ml2X2=(3m+m2X226161系統(tǒng)的勢能為：U=mgl(L-cosx)+mg-(L-cosx)12=2mglx2+丄m+m)glx24141利用x=ox和T=U可得:n=322(3m+/yi1.2質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)柱體在水平面上作無滑動的微幅滾動，在CA二a的A點系有兩根彈性剛度系數(shù)為k的水平彈簧，如圖E1.2所示。求系統(tǒng)的固有

2、頻率。圖E1.2解：1.1(T=-102=2B212二mR2024如圖，令0為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動能和勢能分別為(1)mR2+mR202丿U=2-kKr+abl=k(R+a022利用0=0和T=U可得：n：4k(R+aR+a4kn3mR2R3m1-3轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤由三段抗扭剛度分別為ki，k2和k3的軸約束，如圖E13所示。求系統(tǒng)的固有頻率。圖E1.3解：系統(tǒng)的動能為：k2和k3相當于串聯(lián)，則有:2+63,以上兩式聯(lián)立可得：k6=k36,k+k23k6=263k+k23k(k+k)+kk12323k+k2362系統(tǒng)的勢能為：U=k62+k62+k62122利用6=6和T=U可得:nkk+

3、k(k+k)=123-J(k+k丿231.4在圖E1.4所示的系統(tǒng)中，已知k(i=1,2,3)m,a和b，橫桿質(zhì)量不計。求固有i頻率。圖E1.4答案圖E1.4解：對m進行受力分析可得:mg=kx，33mg即x=-3k3如圖可得：x=1x二x01a+b1a2k+b2k=+亠mg(a+bbkk12則等效彈簧剛度為：則固有頻率為：a2k(a+b)21+kkk1231mg=mgk0(a+bkkka2kk+b2kk+G:bkk132312kkk(a+pkk(a+b)2+kka2+kb2123121-7質(zhì)量mi在傾角為“的光滑斜面上從高嵐滑下無反彈碰撞質(zhì)量m，如圖ex所示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自由振動。解：

4、對mi由能量守恒可得（其中I的方向為沿斜面向下）:mgh=2mv2，即V=J2gh對整個系統(tǒng)由動量守恒可得:mv=(m+m)V即v=iJ2ghiii2oom+m12令m引起的靜變形為x2，則有:mgsma2=kx，即2mgsinax=2-2令m+m引起的靜變形為x，1212x12同理有:(m+m=i)gsina得：x=x-x012mgsinak則系統(tǒng)的自由振動可表示為：xx=xcost+-smt0nnn其中系統(tǒng)的固有頻率為：注意到v0與x方向相反，得系統(tǒng)的自由振動為:vx=xcost一Asmt0nn1.9質(zhì)量為m、長為I的均質(zhì)桿和彈簧k及阻尼器c構(gòu)成振動系統(tǒng)，如圖E1.9所示。以桿偏角9為廣義

5、坐標，建立系統(tǒng)的動力學方程，給出存在自由振動的條件。若在彈簧原長處立即釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時？最大角速度是多少？發(fā)生在何時？是否在過靜平衡位置時？答案圖E1.9、3ka2w=nml23cl2ml23c1g=2mwn2amkmg=k9aa，20mgl2ka2解：利用動量矩定理得：l9=-k9a-a一c9ll，I=ml23ml26+3cl20+3ka26=0,1.12面積為S、質(zhì)量為m的薄板連接于彈簧下端，在粘性流體中振動，如圖E1.12所示。作用于薄板的阻尼力為F=卩2Sv，2S為薄板總面積，v為速度。若測得薄板無阻尼d自由振動的周期為T，在粘性流體中自由振動的周期為T。求系數(shù)卩

6、。0d圖E1.12解：平面在液體中上下振動時：mx+2卩SX+kx=0=TySm1-gy=STT2.1圖E2.2所示系統(tǒng)中，已知m,c,k,k,你和。求系統(tǒng)動力學方程和穩(wěn)態(tài)響120應(yīng)。k2mxkx2mmk答案圖E2.1(a)mrc.圖E2.1k(x-x)1c(x-X)11解：x1答案圖E2.1(b)等價于分別為X1和x2的響應(yīng)之和。先考慮S此時右端固結(jié),系統(tǒng)等價為圖(a),受力為圖（b）,故:mx+(k+k)x+(c+c)X=kx+cX121211mx+cx+kx=kAsino+cAocosot1111111)c=c+c12k=k+k2o=n1）的解可參照釋義（2.56），為:sinCot-0

7、）cAo+111kcosCot-0)2)其中:oS=1on01=tg2*-1-1-s2/co)21.k+k丿、12：1+I(+kJ2+(c+co212121k+k12匕o2m、11k+k丿12+k-mo2丸+21-k+k12(c+cb121k+k121+cJ2o2124故（2）為:x(t)=3(ot-0)+=Aiv:+k-mo2龍+121k2+、c2o21cAocosCot-0)11I11)21)sin(ot-0+0)+c戈o2112121叮tg-1co/(k+k)=tg-1丄丄2=tg-1o2m1一1_k+k12(+cb12k+k-o2m121叮tgco-1T1k1考慮到x()的影響，則疊加

8、后的x(t)為:x(t)=fIA、k2+c202iiiii、i、ii:+k-mo2)+(c+cJ2o212i12i(c+c12smot-tg-112_ik+k-o2m12i、co+tg-1iki丿2.1一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動，如圖T2-1所示。已知，=30。,m=1kg,k二49N/cm，開始運動時彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。答案圖T2-1解：mgsina=kx0mgsinax=0k1x9.8x1249=0.1cm也J：49X10-2=70rad/s:m1x=xcosot=-0.1cos70tcm0n2.2如圖T2-2所示，重物W懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，

9、另一重物W12從高度為h處自由下落到W上而無彈跳。求W下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規(guī)12律。圖T2-2W2W1答案圖T2-2解：W2h=2尸v；，v2r莎動量守恒：WW+W2V=12Vg2g12V12m匚cFocos圖E2.3解：xC)=e也(Ccost+Dsint)+AcosCot-0)d0=tg-1洋1-s2A=化.、1k(一s2)+(2gs1x(0)=x-C+Acos0nC=x一Acos000 x(t)=-goe-創(chuàng)01(Ccosot+Dsinot)0dd+e-創(chuàng)01(Cosinot+Docosot)-AosinMot-0)ddddxG)=v=-goC+Do+Aosin0nD=Vo

10、+oC-00doodd求出C,D后，代入上面第一個方程即可得。2.7由一對帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動機械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成的支承上，如圖E2.7所示。當齒輪轉(zhuǎn)動角速度為0時，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為meo2sinot。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm,支承彈簧總剛度系數(shù)k=967.7N/cm,測得垂直方向共振振幅X=1.07cm，遠離共振時垂直振幅趨近常值X=0.32cm。m0求支承阻尼器的阻尼比及在o=300rmin運行時機器的垂直振幅。解：wsin&-e)，e=tg-1蘭s=1時共振，振幅為:xi=me石=1.07cm1）遠離共振點時，振幅為:M=0

11、.32Cm2）由（2）menM=X2由（1）meme2X-meX12&=300丫min,w0M故:斗=3.8x10-3m丿+(2gs懸臂梁的質(zhì)量2.7求圖T2-7中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點的剛度分別是勺及k3,忽略不計。圖T2-7答案圖T2-7解：kkk和k為串聯(lián)，等效剛度為：k=21212k+k12。（因為總變形為求和）k12和k3為并聯(lián)（因為ki2的變形等于k3的變形），則:kkk=k+k=i123123k+k121k+k12k12和k4為串聯(lián)（因為總變形為求和）,故：kkkkk+kkk+kkkk1234124134234ek+kkk+kk+kk+kk+kk12341213231424故

12、：n2.9如圖T2-9所示，一質(zhì)量m連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計，求下列情況系統(tǒng)作垂直振動的固有頻率：（1）振動過程中桿被約束保持水平位置；桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動；比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由解：1)保持水平位置：2)微幅轉(zhuǎn)動：F(x+x=1+2k1X力l+112_l(+1飛1lklk(+1)kl+1(+1)kk121121212lk(l+l)+l2kllk2+211122mg(+l2kk121l2mg*2=(l+112lmgc、l-4-l+l12l+1l+l+7)k22121mg故：l2k+l2k112mg(+12kk1212(l+/kk112k+12k1122

13、212w=n2.10求圖T2-10所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計。解：圖T2-10答案圖T2-10mgm的位置：x=x+x=+x2AkA2mg1=F1a.x.x=x+xa2kkmglmglakmg12a2kmg*mgl2a2kIk2l2a2kmgna2kk2.11圖T2-11所示是一個倒置的擺。擺球質(zhì)量為m,剛桿質(zhì)量可忽略，每個彈簧的剛1)求倒擺作微幅振動時的固有頻率；(2)擺球質(zhì)量m為0.9kg時，測得頻率(f)為1.5Hz，m為1.8kg時，測得頻率為n0.75Hz，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？答案圖T2-11(1)零平衡位置解：（1）lcos0零平衡位置答

14、案圖T2-11(2)LLT=_I92=ml29222a-mgl(L-cos9)1(1)U=2-k2212丿=丄ka292-mgl92=Qa2-222利用T=Umaxmax9二9maxnmaxka2-mgl,ka2=ml2（2）若取下面為平衡位置，求解如下：LLT=192=ml2929、2丿22(9a+mglcos9=丄ka292+mgl1-2sin222+mgl=丄ka292+mgl-mgl92=Ca2-222d(T+U)=0，2ml299+29二02-ml2。+二0=:ka2-mglnml22.17圖T2-17所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，k=k=k=k=k,試問:12341)若將支承緩慢

15、撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？2)若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？解：1)mg=k1234x0，2)xQ=xCOSWt,0圖T2-17k=k+k=2k2312312342mgkk13231234mgmax2.19如圖T2-19所示，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為I,忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)動能為：11T=mx2+I212IR2丿3)+mR222丿2系統(tǒng)動能為：rR)1xIR2k+k2(217=kx22eR2、1R22x2根據(jù)：Tmax=Vmaxxmax=3xnmax32nk+k-1- HYPERLINK

16、l bookmark151 21R2cI3m+m1R22222.20如圖T2-20所示，剛性曲臂繞支點的轉(zhuǎn)動慣量為I。求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)動能為：.i(ixmx2+mr222(2系統(tǒng)動能為：T_丄I02+丄m6a)+丄mul)202122_1_2+ma2+ml2)02012a2+kl2+kb2)021根據(jù)：T二Vmaxmax=rn0maxnmaxV=1ka+1kl+1kb212223_12ka2+kl2+kb2_T23-I+ma2+ml20122.24一長度為I、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接于0點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖T2-24所示。寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率

17、的表達式。圖T2-24答案圖T2-24解：J_3m12利用動量矩方程，有：J0_-k0a-a-c0l-1，ml20+3cl20+3ka20_0；3ka23_nml23c12ml22c_m33n3ka22amk_m_ml2132.25圖T2-25所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計，寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。答案圖T2-25解：mOll+cOaa+k0b-b=0ml2O+ca2O+kb2O=0=Jkb2=bJkTOC o 1-5 h znml2lmca2ca2ca2,m=23，g=ml2n2ml232mlbknb:kc2a4m13=3*1g2=1=4kml2b2c2a4dnlm.4

18、m2l2b2k2ml212bl廠由g=1nc=mkYa22.26圖T2-26所示的系統(tǒng)中，m二1kgk=144N/mc二48Ns/m,l=l=10.49m,l二0.5l,I二0.25l,不計剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率及阻尼:。23nOml1圖T2-26c-9l*3k-9Z2答案圖T2-25解：受力如答案圖T2-26。對0點取力矩平衡，有:m9l-1+c9l-1+k9l-1113322ml20+cl20+kl20=013211m0+c9+k0=01641knw2=36n4mnw=6rad/sn1c區(qū)=23mnn：=-=0.2516m2n4.7兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點系于具有張力F的弦上，如圖E4.7所

19、示。忽略振動過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計算主質(zhì)量、主剛度、簡正模態(tài)，確定主坐標和簡正坐標。圖E4.7答案圖E4.7(1)解：sin0三0=乙,sin0三0=2yi,sin0三0=巴11l22l33l根據(jù)件和代的自由體動力平衡關(guān)系，有:my=-Fsin】+fsin02三-f+f2=T(y2-2人I故：my=-Fsin0一Fsin02223一&=7(yi-2y2)m10一yiF+-2-yi0myl-12y22_12當m=m時，令：12y=Ysinwt11y=Ysinwt22w2ml代入矩陣方程，有：2-九-1_Y1-12-九Y22二丄一心一一滋一也01

20、,2二1,33Fml1mlmlml根據(jù)（2九Y=0得:2IY22一IY22一第一振型2答案圖E4.7(2)4.11多自由度振動系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K均為正定。對于模態(tài)x.和x.及自然數(shù)n證明:ijxtMk-iMx=0，xtiji解：Kx=32Mx，等號兩邊左乘KM-1jjjKM-1Kx=32KM-1Mx=32Kx，等號兩邊左乘xTjjjjjixtKM-iKJr=32xtKxL0，當i豐j時ijjij重復(fù)兩次:KM-1Kx=32Kx，等號兩邊再左乘KM-1jjjKM-1KM-iKx=32KM-1K1，等號兩邊左乘xtjjji=32xtKM-iK1=0，當i豐j時jjijxtKM-JKxi重復(fù)

21、n次得到：xTiKM-JKx=0jKx=32Mx，jjj等號兩邊左乘MK-1故:MK-1Kxj=32MK-MxjjMx=32MK-1Mx，等號兩邊左乘xTjjjixTMx=32xTijji=0，當i豐j時j即xtMx=0，當i豐j時ij重復(fù)運算:MK-1Mx=32jjxTMK-1Mx=32xTijji重復(fù)n次。2.10圖T4-11所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m*求系統(tǒng)的頻率方程。完美WORD格式.整理02專業(yè)資料分享解:先求剛度矩陣。令9=1，x=0，得:m2k=kb-b+ka-a=kb2+ka2111212k=-ka212圖T4-11k9bk9a答案圖T4-11(1)令9=0,x=1，得:k=-k

22、a12k22k-1答案圖T4-11(2)答k22則剛度矩陣為:K=2-ka2-ka2k2再求質(zhì)量矩陣。得：m11m=021=0,x二1，得:答案圖T4-11(3)m21m12=0，m22=m2則質(zhì)量矩陣為：故頻率方程為：5.1質(zhì)量m、長I、抗彎剛度El的均勻懸臂梁基頻為3.515(EI/ml3)i/2,在梁自由端完美WORD格式.整理專業(yè)資料分享放置集中質(zhì)量。用鄧克利法計算橫向振動的基頻。解：&二3平亙,1ml33EIIm13iTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark423 111/3(mm二+二+i HYPERLINK l bookmark427 w2(2(2E八

23、12.3553丿1126.088:EI+12.355m15.2不計質(zhì)量的梁上有三個集中質(zhì)量，如圖E5.2所示。用鄧克利法計算橫向振動的基頻。O1/41/41/41/4圖E5.2解：當系統(tǒng)中三個集中質(zhì)量分別單獨存在時：f_90/4)_f_160/4)f_90/4)f11_12EI_，f22_12EI，f33_12EI113_w2w2111+-(221+-(23_mf+mf1122+3mf3313ml3192EI3.843面3(_1ivi5.3在圖E5.3所示系統(tǒng)中，已知m和k。用瑞利法計算系統(tǒng)的基頻。圖E5.3解：近似選取假設(shè)模態(tài)為：W=61.52.5)T系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：3k-2kM

24、=diag(m2mm),K=-2k3k-k0-kk由瑞利商公式：R)=2.5k=211.75mik=0.461-m5.9在圖E5.9所示系統(tǒng)中，已知k和J。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。J(1)圖E5.9解：兩端邊界條件為：RR丁XR=，自由端：XR=0T12T002固定端：XR=SXR1101_-1_krOkT1-O2J11-O2Jk_k_12J一2kk2.jYJ厶J丫J)一CO2+1一21一2k丿2k由自由端邊界條件得頻率方程：O2J+f1O22kIJ弋2kki=0.765：j代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：_9_1921k2JO2kk2得到模態(tài)：0(i)=11.4141,0=1

25、1.4145.10在圖E5.10所示系統(tǒng)中，已知Gl(i二1,2),l(i=1,2)和J(i二piii1,2)。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。圖E5.10解：XL=19TL10，XR=29TR1012兩自由端的邊界條件為：XR=SXR221.5-10丁-1_XR=SPXL=11132J11032J1=SFXR11XR=XL1.51.511L.,32J1k丿132J=11k101L132J1GI其中：j=-pl11k.2J1一2Tk2GIk=p22l由自由端邊界條件得頻率方程：34JJ+k2.2J1一1k1一2J132J32J12=01= HYPERLINK l bookmark528

26、_2JJ HYPERLINK l bookmark540 1121kk12 HYPERLINK l bookmark542 4JJ4JJ”+2+122J2J HYPERLINK l bookmark487 kk12123=pHP212JJIl+Il丿12p12p21代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：ro1r111v32JJo1132TJ2kk12得到模態(tài)：0(1)=11，0=rJ1T1厶JJ25.11在圖E5.11所示系統(tǒng)中懸臂梁質(zhì)量不計，m、I和El已知。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率。圖E5.11解：引入無量綱量：ml332EISEIEI定義無量綱的狀態(tài)變量：X=ly9MF】S邊界條件：左端固結(jié)：XR=00MF】，右端自由:sXR=y90o1XR=SPSFXR1其中點傳遞矩陣和場傳遞矩陣分別為：根據(jù)傳遞矩陣法，有：SF116121得：2阪亠1F=0利用此齊次線性代數(shù)方程的非零解條件導出本征方程：1一尢+1=0311血）=1九1九+1=26nX=313EIn=一i八ml5.12在圖E5.12所示系統(tǒng)中梁質(zhì)量不計,、和EI已知，支承彈簧剛度系數(shù)k=6EI/13。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率。解：(1)(0)k1空l一圖E5.12引入無量綱量：Fl2cSEIml32A=EI定義無量綱的狀態(tài)變量：X=ly9邊界條件：左端鉸支：XR=0根據(jù)傳遞矩陣法，有：右端自由：XR=y90o1X