數(shù)學(xué)建模講義3課件

1、5. 放射性核廢料處理問(wèn)題 以前美國(guó)原子能委員會(huì)將放射性核廢料裝在封閉的圓桶里，扔到水深為91米的海底。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家擔(dān)心這種做法不安全，而原子能委員會(huì)向他們保證，圓桶絕不會(huì)破漏。經(jīng)過(guò)周密的試驗(yàn)，證明了圓桶的封閉性確實(shí)很好，但工程師們提出疑問(wèn)，圓桶是否會(huì)因與海底相撞而發(fā)生破裂，原子能委員會(huì)卻說(shuō)決不會(huì)。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 于是，工程師們通過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓桶在海水中的速度超過(guò) 12.2 米時(shí)，圓桶就會(huì)因碰撞破裂?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，圓桶到達(dá)91米的海底時(shí)的速度是不是超過(guò)了 12.2 米的問(wèn)題。 首先來(lái)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)海平面為 x 軸，y 軸的方向向下為正。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 根據(jù)牛頓第二定律：F

2、=ma，其中圓桶的質(zhì)量為W=239.456 kg，a 為圓桶下沉的加速度，假設(shè) t 時(shí)刻圓桶下沉到 y 處，則 。 圓桶在向海底沉的過(guò)程中，受到三個(gè)力的作用：一是重力，W=239.456 kg； 二是圓桶受海水的浮力 B，已知海水的浮力為1025.94 kg/m3，圓桶的體積為V=0.208 m3，那么，B=1025.94V=213.396 kg ；數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 三是圓桶下沉過(guò)程所受的阻力 D，工程師們做了大量試驗(yàn)得出結(jié)論：阻力與圓桶的方位無(wú)關(guān)，而與下沉的速度成正比，比例系數(shù) k=0.12，于是， 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院根據(jù)牛頓第二定律得微分方程：其中 為重力加速度。方程（1）是 t 為自變

3、量（但不顯含 t），y 為未知函數(shù)的二階微分方程，我們要求的是當(dāng)圓桶下沉到 91 米的海底時(shí)圓桶下降的速度，因此，把速度 v 看成 y 的函數(shù) v=v (y)。因?yàn)?，所以 ，于是方程（1）化為一階微分方程數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院或求解微分方程（3）得其通解將初始條件 v=v(0) 代入（4）式得從而，方程（3）的特解為數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 算到這里，我們似乎感到失望，因?yàn)椴荒軓模?）式中解出顯函數(shù) v=v (y)。但是，這個(gè)困難是可以克服的。借助于計(jì)算機(jī)很容易計(jì)算出 v(91)，我們只需要為計(jì)算機(jī)提供一個(gè) v(91)的很好的近似表達(dá)式，近似表達(dá)式可按下述方法獲得。 在微分方程（3）中，暫時(shí)設(shè) k=0

4、 （無(wú)阻力），從而得新的微分方程為了區(qū)別于方程（3）的未知函數(shù)，方程（6）用u表示未知函數(shù)。直接對(duì)（6）式積分得數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院整理上式得特別有現(xiàn)在來(lái)說(shuō)明 u(91) 就是 v(91) 很好的近似。 第一，當(dāng)不存在阻力時(shí)，圓桶下沉的速度總要比有阻力時(shí)下沉的速度快，即v(91) u(91) ； 第二，v=v (y)是關(guān)于 y 的增函數(shù)，所以，當(dāng) y91時(shí)， v (y)v(91) 。水作用在圓桶上的阻力 D 總是小于0.12 u(91) =0.16 kg，圓桶向下的合力（W-B）近似于26.06 kg，該值比 D 大得多。所以， u(91) 就是 v(91) 很好的近似。 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 通

5、過(guò)上述分析、論證知：將裝滿放射性核廢料的圓桶扔到海里，當(dāng)圓桶到達(dá)深的海底 91m 時(shí)的速度可達(dá)到13.93 m/s，超過(guò)了12.2 m/s，因此，將放射性核廢料裝在封閉的圓桶里扔到水深為 91m 的海底是不安全的。上述分析是無(wú)道理的?？聪旅娴姆治觯涸O(shè) u=u (y)是方程數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的特解，則再設(shè)=(y)是方程的特解，則設(shè) v= u + a為方程數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的特解，其中 a 是待定參數(shù)，則從而其中數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院（16） 由于 所以 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院所以，由式（3）、（18）（20）得二次方程二次方程式（20）的解為（22）由于數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院所以 當(dāng)不存在阻力時(shí)，圓桶下沉的

6、速度總要比有阻力時(shí)下沉的速度快，所以 v(91)u(91)，又由于v(y)0，所以取a=0.66188，從而計(jì)算機(jī)仿真由式（5）得數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院則因此當(dāng) v (y)0時(shí)， ，所以 y=y (v) 有唯一的反函數(shù) v=v (y)。 另一方面，由于 所以數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院將式（27）（29）代入到式（14）得方程式（30）的解為由式（10），（12）得數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院所以設(shè) ，則數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院因此 在區(qū)間0,91單調(diào)下降，于是所以從而又由于 v (y)，故取由于方程式（25）可化為數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 利用 MATLAB 軟件編程繪制出函數(shù)式 (34)，(35) 的圖像如圖10-1所示。仿

7、真結(jié)果表明：用速度函數(shù)式 (34) 代替由隱函數(shù)方程式 (35) 確定的圓桶運(yùn)動(dòng)的真實(shí)速度，其擬合精度已經(jīng)非常高。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院6水電站調(diào)壓塔的功能 目前我們使用的電能，是發(fā)電廠發(fā)出的電經(jīng)過(guò)輸電、變電和配電后供給的。發(fā)電系統(tǒng)的發(fā)電方式主要包括：水力發(fā)電，火力發(fā)電，核能發(fā)電等。 水力發(fā)電是當(dāng)位于高處的水（具有勢(shì)能）往低處流動(dòng)時(shí)勢(shì)能轉(zhuǎn)換為動(dòng)能。此時(shí)裝設(shè)在水道低處的水輪機(jī)，因水流的動(dòng)能推動(dòng)葉片而轉(zhuǎn)動(dòng)（機(jī)械能），如果將水輪機(jī)連接發(fā)電機(jī)，就能帶動(dòng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)將機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能。水力發(fā)電一般可分為川流式、水壩（庫(kù)）式發(fā)電。 對(duì)于水庫(kù)式發(fā)電，水電站要把貯存在水庫(kù)的水經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)數(shù)百米的管道引到水輪發(fā)電機(jī)。在

8、輸送水流過(guò)程中會(huì)遇到嚴(yán)重的水擊作用致使管道破裂。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 水利發(fā)電具有用電負(fù)荷突然發(fā)生變化時(shí)的調(diào)節(jié)作用。當(dāng)用電負(fù)荷突然上升時(shí)，要立即增加輸送水量以增加發(fā)電量；當(dāng)用電負(fù)荷下降時(shí)，又要使水流很快慢下來(lái)以減少發(fā)電量。由于水是不可壓縮的液體，管道本身的彈性又非常小，致使水的高壓波沿管道傳播，工程上稱為“水擊作用”，它是可能破壞管道的。緩解這種作用的辦法是在輸送管中的水進(jìn)入水輪機(jī)前先注入一個(gè)稱為調(diào)壓塔的貯水箱中。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 當(dāng)負(fù)荷需求較低時(shí)，水輪機(jī)需要的水量較少，調(diào)壓塔貯存下大量的水，水位較高。當(dāng)負(fù)荷需求突然變大時(shí)，可以用塔中的水滿足水輪機(jī)對(duì)水量需求的增加，避免輸送管道中水流速度發(fā)生突

9、然的大變化。 現(xiàn)在討論當(dāng)調(diào)壓塔出口水流速度變化時(shí)，調(diào)壓塔的水位如何變化，并分析水位變化過(guò)程與各參數(shù)之間的關(guān)系。輸水管調(diào)壓塔部分如圖11-1所示。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 設(shè)輸水管管長(zhǎng)為 L，截面積為 s1，與地面成夾角，水流速度 u (t)，兩端壓強(qiáng)分別 p1 和p2 (t)。調(diào)壓塔水液面高h(yuǎn)(t)，截面積 s0，頂部大氣壓 p0，出口水流速度 v (t)，出口截面積 s2，水的密度為。假設(shè)水庫(kù)水位不變，所以輸水管始端的壓強(qiáng)為是 p1 常數(shù)。水與水管均無(wú)彈性。 由流體運(yùn)動(dòng)學(xué)知，單位長(zhǎng)度管壁對(duì)水流的阻力與水流速度的平方成正比，比例系數(shù) c 為粘滯系數(shù)。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 根據(jù)以上說(shuō)明及假設(shè)，作用在水運(yùn)

10、動(dòng)方向的力有：輸水管兩端壓強(qiáng)差形成的壓力 s1(p1-p2)；水柱本身的重力Ls1sing ；管壁對(duì)水流的阻力 cLu2(t)。根據(jù)牛頓第二定律得方程 由于調(diào)壓塔的進(jìn)水口在塔的底部，塔內(nèi)水柱的重力s0 gh 形成底部與頂部的壓力差 s1 p2-s0 p0 。于是得靜力學(xué)方程 根據(jù)守恒定律，調(diào)壓塔進(jìn)出水量之差等于塔內(nèi)水位的變化，所以對(duì)上三式加以整理，消去 p2 和 u (t)得微分方程數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院注：1. 消去 p2，由（2）式得 2. 消去 u (t)，由（3）式得 。進(jìn)而 將上兩式代入到（1）式從而數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 這是一個(gè)非線性二階微分方程，它的求解相當(dāng)困難。因此只能就特別情形來(lái)討論。數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 設(shè)調(diào)壓塔出口水流速度 v (t)穩(wěn)定，即v (t)=v0為常數(shù)，當(dāng) v (t) 穩(wěn)定在 v0 附近時(shí)，h (t)穩(wěn)定在 h0 附近。因此先設(shè)v (t)=v0 ， h (t)= h0 ，則由方程（4）得再設(shè)則數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，其中非常小。 將（6）式代入到（4）式得利用（5）式進(jìn)而略去 項(xiàng)，并整理得數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院設(shè) 則方程（7）化為對(duì)于方程（8），可假設(shè)初始條件為 對(duì)于給定某種形