有限元法發(fā)展綜述

1、有限元法發(fā)展綜述隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們正在不斷建造更為快速的交通工具、更大規(guī) 模的建筑物、更大跨度的橋梁、更大功率的發(fā)電機組和更為精密的機械設(shè)備。這 一切都要求工程師在設(shè)計階段就能精確地預(yù)測出產(chǎn)品和工程的技術(shù)性能，需要對 結(jié)構(gòu)的靜、動力強度以及溫度場、流場、電磁場和滲流等技術(shù)參數(shù)進行分析計算。 例如分析計算高層建筑和大跨度橋梁在地震時所受到的影響，看看是否會發(fā)生破 壞性事故；分析計算核反應(yīng)堆的溫度場，確定傳熱和冷卻系統(tǒng)是否合理；分析渦 輪機葉片內(nèi)的流體動力學(xué)參數(shù)，以提高其運轉(zhuǎn)效率。這些都可歸結(jié)為求解物理問 題的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年來在計算機技術(shù)和數(shù)值分析方法支 持下發(fā)展起

2、來的有限元分析(FEA，F(xiàn)inite Element Analysis)方法則為解決這 些復(fù)雜的工程分析計算問題提供了有效的途徑。有限元法是一種高效能、常用的計算方法.有限元法在早期是以變分原理為 基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類 物理場中(這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系)。自從1969年以來，某些 學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同 樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理 場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系.一、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展大約在300年前

3、，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運算具有整體對 局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術(shù)對定義域的劃分是不同的，前者進 行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了一個理 論基礎(chǔ)。在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組 的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求 解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀，另一位數(shù)學(xué)家拉格郎日提出泛函 分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經(jīng)。在19世紀末及20世紀初，數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展 開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出

4、了選擇展開函數(shù)中 形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝?次提出了可在定義域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就 是有限元的做法。所以，到這時為止，實現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個理論基礎(chǔ)也已確立。20世紀50年代，飛機設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機的應(yīng)力、 應(yīng)變等問題。波音公司的一個技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機翼離散為三角形板塊 的集合來進行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個離散的成功。20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實現(xiàn)有限元 技術(shù)準備好了物質(zhì)條件。I960年前后，美國的R.W.Clough教授及我國的

5、馮康教 授分別獨立地在論文中提出了 “有限單元”，這樣的名詞。此后，這樣的叫法被 大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生。1990年10月美國波音公司開始在計算機上對新型客機B-777進行“無紙 設(shè)計”，僅用了三年半時間，于1994年4月第一架B-777就試飛成功，這是制 造技術(shù)史上劃時代的成就，其中在結(jié)構(gòu)設(shè)計和評判中就大量采用有限元分析這一 手段。在有限元分析的發(fā)展初期，由于其基本思想和原理的“簡單”和“樸素”， 以至于許多學(xué)術(shù)權(quán)威都對其學(xué)術(shù)價值有所鄙視，國際著名刊物Journal ofApplied Mechanics許多年來都拒絕刊登有關(guān)于有限元分析的文章。然而現(xiàn)在， 有限元分析已經(jīng)成為數(shù)值計

6、算的主流，不但國際上存在如ANSYS等數(shù)種通用有限 元分析軟件，而且涉及到有限元分析的雜志也有幾十種之多。二、有限元法的基本思想有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限 于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計算有限元概念的克拉 夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法二Rayleigh Ritz法+分片函數(shù)”， 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的） 滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義 在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片

7、函數(shù)）， 且不考慮整個定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之有限元方法（FEM ）的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把 計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為 求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所 選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方 程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有 限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值 模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元， 在每個單元內(nèi)選擇

8、基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個 計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解 可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算 方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根 據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函 數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的 形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來 劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有 限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金（Galer

9、kin）法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的 基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù) 的平方誤差最??；在配置法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選 定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù) 一般由不同次幕的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表 示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值 多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日（Lagrange）多項式插值；另一種不 僅要求插值多項式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特 （Hermite）多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系

10、和無因次自然坐標，有對 稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的 幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元 中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三 角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的 線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或 更高階插值函數(shù)等。對于有限元方法，其解題步驟可歸納為：建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微 分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及

11、實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分 為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工 作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關(guān) 系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點 序號和相應(yīng)的邊界值。確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足 一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選 取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行 逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲

12、得含有待定 系數(shù)（即單元中各節(jié)點的參數(shù)值）的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按 一定法則進行累加，形成總體有限元方程。邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件（狄里克 雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。 對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和 混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未 知量的封閉方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。三、有限元的應(yīng)用

13、及其發(fā)展趨勢有限元的應(yīng)用范圍也是相當?shù)膹V的。它涉及到工程結(jié)構(gòu)、傳熱、流體運動、 電磁等連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)分析中，并在氣象、地球物理、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到應(yīng)用和發(fā) 展。電子計算機的出現(xiàn)和發(fā)展是有限元法在許多實際問題中的應(yīng)用變?yōu)楝F(xiàn)實，并 具有廣闊的前景。國際上早20世紀在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具 有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局(NASA)在 1965年委托美國計算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析 系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有 限元分析系統(tǒng)。從那時到現(xiàn)在，世界各地的研究機構(gòu)和大學(xué)也發(fā)展了一

14、批規(guī)模較 小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國的ASKA、英 國的 PAFEC、法國的 SYSTUS、美國的 ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、 COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。當今國際上FEA方法和軟件發(fā) 展呈現(xiàn)出以下一些趨勢特征：從單純的結(jié)構(gòu)力學(xué)計算發(fā)展到求解許多物理場問題有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實 體等連續(xù)體固體力學(xué)分析，實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從 理論上也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對象的單元足夠小，所得的解就可足夠逼 近于精確值。所以近年來有

15、限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場、電傳導(dǎo)、磁場、 滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發(fā)展到求解幾個交叉學(xué)科的問題。例如當 氣流流過一個很高的鐵塔時就會使鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又反過來影響到氣 流的流動這就需要用固體力學(xué)和流體動力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求 解,即所謂流固耦合的問題。由求解線性工程問題進展到分析非線性問題隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設(shè)計的要求。例如建筑行 業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn)，就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾 何非線性問題；航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力，也要考慮材料 的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn)，僅靠線

16、性計算理 論就不足以解決遇到的問題，只有采用非線性有限元算法才能解決。眾所周知， 非線性的數(shù)值計算是很復(fù)雜的，它涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題和運算技巧，很難 為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年來國外一些公司花費了大量的人力和投資 開發(fā)諸如MARC、ABQUS和ADINA等專長于求解非線性問題的有限元分析軟件，并 廣泛應(yīng)用于工程實踐。這些軟件的共同特點是具有高效的非線性求解器以及豐富 和實用的非線性材料庫。增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能早期有限元分析軟件的研究重點在于推導(dǎo)新的高效率求解方法和高精度的 單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運算速度的飛速發(fā)展,整個計 算系統(tǒng)用于求解運算

17、的時間越來越少,而數(shù)據(jù)準備和運算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益 突出。在現(xiàn)在的工程工作站上,求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需要用 幾十分鐘。但是如果用于工方式來建立這個模型，然后再處理大量的計算結(jié)果則 需用幾周的時間。可以毫不夸張地說，工程師在分析計算一個工程問題時有80% 以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結(jié)果分析上。因此目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程 序系統(tǒng)都有功能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強調(diào)可視化的今天, 很多程序都建立了對用戶非常友好的GUI(Graphics User Interface),使用戶能 以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)格自動劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按 要求將大量的

18、計算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù) 的列表輸出。與CAD軟件的無縫集成當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用CAD軟件的集成使用，即在用 CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計后，自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算，如果 分析的結(jié)果不符合設(shè)計要求則重新進行造型和計算，直到滿意為止，從而極大地 提高了設(shè)計水平和效率。今天，工程師可以在集成的CAD和FEA軟件環(huán)境中快捷 地解決一個在以前無法應(yīng)付的復(fù)雜工程分析問題。所以當今所有的商業(yè)化有限元 系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、 SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、

19、Bentley 和 AutoCAD 等)的接口。在Wintel平臺上的發(fā)展早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計算機(主要是Mainframe)上開發(fā)和運行的，后來又發(fā)展到以工程工作站(EWS,Engineering WorkStation ) 為平臺，它們的共同特點都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機的出現(xiàn)使計算機的應(yīng)用 發(fā)生了根本性的變化，工程師渴望在辦公桌上完成復(fù)雜工程分析的夢想成為現(xiàn) 實。但是早期的PC機采用16位CPU和DOS操作系統(tǒng)，內(nèi)存中的公共數(shù)據(jù)塊受到 限制，因此當時計算模型的規(guī)模不能超過1萬階方程。Microsoft Windows操作 系統(tǒng)和32位的Intel Pentium處理器的推出為將PC機用于有限元分析提供了 必需