彈性力學(xué)總復(fù)習(xí)

1、1-2 彈性(tnxng)力學(xué)中的幾個(gè)基本概念基本概念：外力(wil)、應(yīng)力、形變、位移。1. 外力體力、面力（材力：集中力、分布力。）(1) 體力 彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力彈力:（內(nèi)容）彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。 （任務(wù)）解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問(wèn)題。 (2) 面力 作用于物體表面單位面積上的外力共四十八頁(yè)2. 應(yīng)力(yngl)應(yīng)力：由外力引起的在 P點(diǎn)的某一面(y min)上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量應(yīng)力的法向分量 正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量 剪應(yīng)力單位:與面力相同MPa (兆帕)(2) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)一點(diǎn)P 的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合 稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的

2、應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：共四十八頁(yè)剪應(yīng)力互等定理(dngl)應(yīng)力(yngl)符號(hào)的意義：第1個(gè)下標(biāo) x 表示所在面的法線方向；第2個(gè)下標(biāo) y 表示的方向.應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：正應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力 坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzO共四十八頁(yè)與材力中剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定(gudng)的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時(shí)(shn sh)的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。在用應(yīng)力莫爾圓時(shí)必須此規(guī)定求解問(wèn)題共四十八頁(yè)3. 形變(xngbin)形變 物體的形狀(xngzhun)改變xyzO（1）線段長(zhǎng)度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA用線（正）應(yīng)變度量用剪應(yīng)變

3、度量（剪應(yīng)變兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的剪應(yīng)變：(1) 一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；剪應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；共四十八頁(yè)彈性力學(xué)(l xu)問(wèn)題：已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、）、約束條件等，求解應(yīng)力(yngl)、應(yīng)變、位移分量。需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；（2）幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系；（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)3. 平面問(wèn)題(wnt)的求解問(wèn)題(wnt)：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求： 僅為 x y 的函數(shù)需建

4、立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件： 平衡微分方程 幾何方程 物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；共四十八頁(yè)二、平面問(wèn)題(wnt)的基本方程（1）平衡(pnghng)微分方程（2-2）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（2）幾何方程（2-9）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（3）物理方程(2-15)（平面應(yīng)力）(2-16)（平面應(yīng)變）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）共四十八頁(yè)三、平面(pngmin)問(wèn)題的基本求解方法及基本方程思路(sl)：（1）按位移

5、求解以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量?；痉匠蹋海?-20）位移表示的平衡方程（2-21）（2-17）位移表示的應(yīng)力邊界條件位移邊界條件共四十八頁(yè)（2）按應(yīng)力(yngl)求解思路(sl)：以應(yīng)力 為基本未知量，將基本方程用只有 的3個(gè)方程，從中求出 ，再由物理方程、幾何方程求出其余未知量?；痉匠蹋海?-2）平衡方程（2-23）相容方程基本控制方程（平面應(yīng)力情形）（2-17）（2-18）位移邊界條件應(yīng)力邊界條件邊值條件共四十八頁(yè)（3）兩類平面問(wèn)題物理方程的互相(h xing)轉(zhuǎn)換：平面應(yīng)力

6、(yngl)問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題（4）邊界條件（2-17）（2-18） 位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件共四十八頁(yè)3. 應(yīng)力函數(shù) 求解方法（1）逆解法(ji f)（1）根據(jù)(gnj)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2） 主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問(wèn)題。（2）半逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界

7、條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。共四十八頁(yè)四、關(guān)于平面(pngmin)問(wèn)題的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）（2-22）（2-23）（2-24）(平面應(yīng)力(yngl)情形)(平面應(yīng)變情形)（2-25）(2-27)形變表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(基本形式)(常體力情形)適用情形： 小變形、任意彈塑性材料。(常體力情形)共四十八頁(yè)（5）按應(yīng)力求解的應(yīng)力函數(shù)法基本(jbn)方程：(2-2

8、7)(2-26)（1）對(duì)多連體(lin t)問(wèn)題，還須滿足位移單值條件。（2-17）（2-18）位移邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量（對(duì)常體力情形）說(shuō)明：（2）應(yīng)力函數(shù)確定方法：逆解法、半逆解法。共四十八頁(yè)第四章 平面(pngmin)問(wèn)題的極坐標(biāo)解答要點(diǎn)(yodin)：（1）極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的基本方程： 平衡微分方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問(wèn)題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無(wú)限平面體等的應(yīng)力與變形分析。共四十八頁(yè)彈性(tnxng)力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡(pnghng)微分方程：（41）幾

9、何方程：（42）物理方程：（43）(平面應(yīng)力情形)邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：共四十八頁(yè)彈性力學(xué)平面(pngmin)問(wèn)題的極坐標(biāo)求解歸結(jié)為:小結(jié)(xioji)：（1）由問(wèn)題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù)（46）（2）由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：（45）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問(wèn)題的邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)（4-14）（1）若：( 二向等壓情況(qngkung)（2）若：（壓應(yīng)力(yngl)）（拉應(yīng)力）共四十八頁(yè)（3）若：（壓應(yīng)力(yngl)）（壓應(yīng)力(yngl)）（4）若： 具有圓形孔

10、道的無(wú)限大彈性體。邊緣處的應(yīng)力：共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)3. 斜方向應(yīng)變(yngbin)公式的應(yīng)用（1）已知一點(diǎn)的應(yīng)變 ，可計(jì)算任意方向的應(yīng)變 。 的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)變方向等。（2）已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變 ，可求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量 。xy45若 用45應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件(gujin)表面應(yīng)變：共四十八頁(yè)若 用120應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件(gujin)表面應(yīng)變，即：xy求得該點(diǎn)的應(yīng)變(yngbin)分量:作為作業(yè)！共四十八頁(yè)例7圖示矩形截面(jimin)水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)(zu c)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：為次

11、要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！共四十八頁(yè)xy上端面(dunmin)：（方法(fngf)2）取圖示微元體，可見(jiàn)，與前面結(jié)果相同。注意：必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，共四十八頁(yè)rrr共四十八頁(yè)a共四十八頁(yè)a取半徑為 a 的半圓分析(fnx)，由其平衡得：共四十八頁(yè)作 業(yè)補(bǔ)充(bchng)題：列寫(xiě)下列(xili)平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件。共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)2-1 平面應(yīng)力問(wèn)題(wnt)與平面應(yīng)變問(wèn)題(wnt)1. 平面(pngmin)應(yīng)力問(wèn)題(1) 幾何特征xyyztba 一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。 平板如：板式吊

12、鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2) 受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿 厚度 方向不變化。共四十八頁(yè)xyyztba(3) 應(yīng)力(yngl)特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy 平面(pngmin)，垂直于中面的任一直線為 z 軸。由于板面上不受力，由因板很薄，且外力沿 z 軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與 z 無(wú)關(guān)。共四十八頁(yè)2. 平面應(yīng)變(yngbin)問(wèn)題(1) 幾何(j h)特征水壩滾柱厚壁圓筒 一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和

13、尺寸不變化。 近似認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)(2) 外力特征 外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度 z 方向不變化。 約束 沿長(zhǎng)度 z 方向不變化。(3) 變形特征 如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為 z 軸。 設(shè) z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，則沿 z 方向都不變化，僅為 x，y 的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱面共四十八頁(yè)水壩因?yàn)?yn wi)任一橫截面均可視為對(duì)稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量(shling)都平行于 x y 平面。 平面位移問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題注：(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中但是，(2)平面應(yīng)變問(wèn)題中應(yīng)力分量： 僅為 x y 的函數(shù)。共四十八頁(yè) 如圖所示三種情形，是否都屬平面問(wèn)題(wnt)

14、？是平面應(yīng)力問(wèn)題(wnt)還是平面應(yīng)變問(wèn)題(wnt)？平面(pngmin)應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題共四十八頁(yè)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論(lln)小結(jié)一、兩類平面(pngmin)問(wèn)題及其特征名 稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題未知量已知量未知量已知量位 移應(yīng) 變應(yīng) 力外 力幾何形狀體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。z 方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體）共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)六、其它(qt)（1）常體力(tl)情況下簡(jiǎn)化將體力轉(zhuǎn)化為等效的面力：（2）任意斜面的

15、應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向、最大最小剪應(yīng)力計(jì)算。（3）任意方向的正應(yīng)變計(jì)算。max、 min 的方向與1 （ 2 ）成45。共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)2.圣維南原理(yunl)(Saint-Venant Principle)原理(yunl)：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2共四十八頁(yè)2.應(yīng)力(yngl)邊界條件的列寫(xiě)與圣維南原理的應(yīng)用（2-18） 平面(pngmin)問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件圣維南原理： 若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所

16、受的影響可忽略不計(jì)。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。共四十八頁(yè)五、邊界條件與圣維南原理(yunl)位移(wiy)邊界條件應(yīng)力邊界條件圣維南原理的要點(diǎn)：（1）小部分邊界（次要邊界）；（2）靜力等效；（3）結(jié)果影響范圍：近處有影響，遠(yuǎn)處影響不大。圣維南原理的應(yīng)用：（1）面力分布復(fù)雜的邊界（次要邊界）如：集中力，集中力偶等；（2）位移邊界（次要邊界）；共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)例8下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通(lintng)域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）解（a）（b）（1）將式（a）代入平衡(pnghng)方程：（2-2） 滿足將式（a）代入相容方程：式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。共四十八頁(yè)例8下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）（a）（b）（2）解將式（b）代入應(yīng)變表示的相容(xin rn)方程：式（b）滿足相容方程(fngchng)，（b）為可能的應(yīng)變分量。共四十八頁(yè)共四十八頁(yè)內(nèi)容摘要1-2 彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念。 彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力。（內(nèi)容）彈性體在