自動(dòng)控制原理：第4章 第2講 根軌跡繪制的基本原則

1、4-2.繪制根軌跡的基本法則法則1. 根軌跡起源于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。當(dāng) K= 0 時(shí)，根軌跡方程退化為：此時(shí)閉環(huán)特征方程的根即為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。由可得：當(dāng) K 時(shí)，根軌跡方程退化為：此時(shí)閉環(huán)特征方程的根即為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。同樣由也可得：7/27/20221下面分三種情況討淪。 1m=n,即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。 2mn，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。 3mm時(shí)，有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 , 交點(diǎn)為 的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。根軌跡的漸進(jìn)

2、線可由下式而定：交點(diǎn)：交角：7/27/20224例： 已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則： 規(guī)則1，3個(gè)極點(diǎn)也是起點(diǎn)：0，-1，-2； 無零點(diǎn)，則終點(diǎn)為：，。 規(guī)則2，分支數(shù)： n=3m=0，有3條根軌跡對稱于實(shí)軸。 規(guī)則3，漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以共有 n-m=3漸近線。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到：7/27/20225 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：ReIm0-2-11800600-600三條紅色線為漸近線7/27/202266、實(shí)軸上的根軌跡：法則4 根軌跡在實(shí)軸上的分布:實(shí)軸上的某一區(qū)段,若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù),該區(qū)段必是條完整的根軌跡分

3、支或是某條根軌跡分支的一部分.證明：例如在實(shí)軸上有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點(diǎn)p3、 p4和一對共軛零點(diǎn)z1、 z2 。有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)S1、S2、S3先看試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)，因?yàn)楦壽E應(yīng)滿足相角條件：（1)成對出現(xiàn)的共軛極點(diǎn)p3、 p4和共軛零點(diǎn)z1、 z2對實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0；7/27/20227所以s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，而且S1點(diǎn)一直可以左移到P2處，于是p2 ,p1為實(shí)軸上的根軌跡。（2）試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn)p2對試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為0；（3）試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn)p1對試探點(diǎn)構(gòu)成向量的相角為180；再看s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)

4、。同樣s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn)。7/27/20228例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實(shí)軸上的根軌跡。解：零極點(diǎn)分布如下： 紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：-10，-5和-2，-1 。注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“ ”表示。7/27/20229法則5.兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d 是下列方程的解：實(shí)軸上的分離點(diǎn)有以下兩個(gè)特點(diǎn):(1) 若實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的區(qū)段有根軌跡, 則這兩相鄰點(diǎn)之間必有一個(gè)分離點(diǎn)。這兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)中有一個(gè)可以是無限極點(diǎn)或零點(diǎn).（2）如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則此

5、區(qū)段上要么沒有分離點(diǎn), 如有, 則不止一個(gè)。分離點(diǎn)7/27/202210分離角：在分離點(diǎn)上，根軌跡的切線和實(shí)軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)： 。7/27/202211例4-1.設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，試?yán)L制其概略根軌跡。解：畫出 s 面上的開環(huán)零點(diǎn)（-1），極點(diǎn)（0，-2，-3）。(1).實(shí)軸上 -3，-2，-1，0 是根軌跡。(2).根軌跡有三條分支，分別始于0，-2，-3； 終于-1和兩個(gè)無限零點(diǎn)。有兩條漸近線：7/27/202212(3).實(shí)軸上 -3，-2 內(nèi)有一分離點(diǎn) d ：所以分離點(diǎn)為：d -2.47該方程可化為 d34 d2 +5 d +3=0 其根為： -2.46

6、56，-0.7672 j 0.7926按上述法則畫出如右根軌跡圖：-3 -2 -1 0d7/27/202213例4-2.設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。解：在 s 平面上開環(huán)極點(diǎn)有兩個(gè)：-1j，開環(huán)零點(diǎn)-2。(1).實(shí)軸( ，-2為根軌跡。(2). 根軌跡有兩條分支，始于-1+j和-1-j終於-2和。(3). 在( ，-2上有一分離點(diǎn)：即解得：（舍去），作出該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：7/27/202214-2-1+j-1-j-3.414復(fù)數(shù)根軌跡圖在復(fù)平面上是圓的一部分7/27/202215實(shí)際上，在有兩個(gè)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)中，只要有限零

7、點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)系數(shù)K*從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，就是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。7/27/202216 法則6：根軌跡的起始角與終止角： 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角；根軌跡進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角。1. 起始角：其中： 為零點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角， 為極點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角7/27/2022172. 終止角：其中： 為零點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角， 為極點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角7/27/202218例如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角。解：根據(jù)

8、對稱性，可知 點(diǎn)的出射角為：請根據(jù)相角條件自行計(jì)算。 相角要注意符號；逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)； 注意矢量的方向。注意：7/27/202219例4-3.設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：開環(huán)零點(diǎn)為-1.5，-2+j，-2-j 開環(huán)極點(diǎn)為 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).實(shí)軸上(-，-2.5，-1.5，0為根軌跡2).根軌跡有4條分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 終于-1.5，-，-2+j，-2-j；3). 無分離點(diǎn)。4). 起始角：終止角：7/27/202220法則7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的K*值和 可用勞斯判據(jù)確

9、定，也可令閉環(huán)特征方程中的s=j，然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。7/27/202221例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制概略根軌跡圖解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j 開環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無限零點(diǎn)(1) 實(shí)軸上的根軌跡：0，-3區(qū)間。(2)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： 7/27/202222(3)分離點(diǎn)： 可求得(4)極點(diǎn)-p3的起始角：不難求得極點(diǎn)-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分別 、 、 .所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的起始角：終止角在無窮遠(yuǎn)處。(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：7/27/20222

10、3實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：(舍去)，7/27/202224得：方法二：由勞斯陣列求：由特征方程列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程令7/27/202225方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將 代入得： 例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和 。 當(dāng) 時(shí)， 為根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)）當(dāng) 時(shí)， ，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 。7/27/202226方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值。勞斯陣列為： 勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程 的根。1、令 ，得臨界增益為：2、令 ，得 （開環(huán)極點(diǎn)

11、）。7/27/202227 當(dāng)n-m=2時(shí)， ，即：對于任意的 ，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，為常數(shù)。表明：當(dāng) 變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)（變大），則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)（變?。?。 此法則對判斷根軌跡的走向是很有用的。 根據(jù)上述8個(gè)規(guī)則，可以大致畫出根軌跡的形狀。規(guī)則8 極點(diǎn)之和7/27/202228根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。7/27/202229漸近線例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。 出射角 ，求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：實(shí)軸上的根軌跡：(，0將 代入得：7/27/202230求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù)。7/27/202231漸近線例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。 出射角 ，求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：實(shí)軸上的根軌跡：(，0將 代入得： ，7/27/20223