分數(shù)與百分數(shù)專項思維訓練

1、分數(shù)與百分數(shù)專項思維訓練一、知識地圖基本類型：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）；已知單位“1”，求它的幾分之幾（或百分之幾）；已知單位“ 1”的幾分之幾（或百分之幾），求單位“1”?；绢}型畫圖找對應；量不變思想解題；轉化“1”；和工程問題相結合；結合還原問題的分數(shù)應用題；與行程問題相結合的分數(shù)應用題；與經濟有關的分數(shù)應用題；一般復雜應用題。二、基礎知識為了提高解答分數(shù)應用題的能力，首先要掌握好有關的基礎知識，深刻理解分數(shù)、分 數(shù)乘除法的意義。3我們知道分數(shù)既有量的意義，又有率的意義。把三個蘋果分給四個人每人分得頂個蘋4果，也可以說是每人分得一個蘋果的3。前者在分數(shù)前寫上了一個具體的

2、單位“個”，表示 4一個具體的量值。我們就說這是分數(shù)量的意義。后者在分數(shù)前面加上一個表示單位“1”的 量“一個蘋果，表示的是一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的倍比關系，我們就稱之為率的意 義。在解答分數(shù)應用題時，要注意找出與具體數(shù)量相對應的分率（或百分率），根據(jù)“量” 與“率”相對應的關系，找到解題線索。這是解答分數(shù)應用題的一種重要的解題思路。（一）基本關系：分率對應的量：單位“ 1”的量=分率；單位“ 1”的量x分率=分率對應的量；分率對應的量：分率=單位“ 1”的量。（二）解答分數(shù)應用題要注意以下幾點：仔細讀題，找出含有倍數(shù)關系的句子，確定單位“1”。如果單位“ 1”已知，那么找問題中的數(shù)量與單

3、位“1”的對應關系；如果單位“1”為所 求，就找已知數(shù)量與單位“1”的對應關系；如果是“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的 應用題，就從問題入手，弄清誰和誰比。列式時，分率和數(shù)量要對應。如果題中有多個單位“1”，應想法轉化為統(tǒng)一的的單位“1” 若是較復雜的分數(shù)應用題可通過畫線段圖來揭示數(shù)量之間的相對應的倍數(shù)關系。（三）對于分數(shù)應用題，最主要的除了注意量率對應的思想方法外，還有兩點是小學奧數(shù)， 尤其是小升初考試中的熱點，即：以不變量為“1”；轉化“1”。另外，結合份數(shù)比的方法來解題，是百分數(shù)應用題的常用手法。三、經典透析【例1】（）大學圖書室內有一書架故事書，借出總數(shù)的75%之后，又放上60本，

4、這時架上的書是原來總數(shù)的3。求現(xiàn)在書架上放著多少本書？審題要點：借出總數(shù)的75%之后，還剩下25%，又放上60本，這時架上的書是原來總數(shù) 的3，這就可以找出60本書相當于故事書總數(shù)的幾分之幾了，問題也就可以求出來了。還可以畫線段圖找量率對應。詳解過程：（1） 60本書相當于故事書總數(shù)的幾分之幾？11-（1 75%）=12（2）故事書的總數(shù)：60： =720 （本）12（3）現(xiàn)在書架上放有故事書多少本？720X 1 =240 （本）3答：現(xiàn)在書架上放有故事書240本。專家點評：本題主要考察量率對應，可以畫線段圖來幫助解題。 , 一，,m 十1 ,注意：本題中的量率對應還可以根據(jù)圖用別的方法求。從

5、圖中可以看出：故事書的3與 75%的重疊之出就是60本所對應的分率。這個分率可以用下面的三種方法求出:1（1）3 +75%1；1（2）3 （1 75%）；1（3）75%（1 3 ）；請你自己想想每種方法的道理?！纠?】（） 一瓶可樂飲料，一次喝掉一半飲料后，連瓶共重700克；如果喝掉飲料1的3后，連瓶共重800克，求瓶子的重量。審題要點：如下可用文字等式來表示題中的兩個已知條件：瓶重+飲料重的（1一1 ） =700克1瓶重+飲料重的（1- 3 ） =800克1 1、比較上面兩個等式，可以看出800克比700克多的100克就是飲料的（】-及）比（】-3） 多的。找到了量與率的對應，就可以求出飲料

6、重，從而可以求出瓶重。詳解過程：飲料重：（800-700）： （1 -1 ） -（1 -1 ） =600 （克）1瓶重：700-600X =400 （克）答：瓶子的重量為400克。專家點評：可以利用文字等式來觀察量與率的對應。：題目中瓶重未知，700和800中 都包含未知瓶重，此種情況一般可考慮使用“差額法”來找到其中的對應關系，因為兩者都 包含相同部分的東西，那么它們的差額是固定的，這是不變量的一個重要來源之一，同學們 應該要引起重視。同理：當兩者中一者多一部分數(shù)量，另一者少同樣多一部分的數(shù)量時，那么可以利用“求 和法”，確定它們的和是不變的?！纠?】（）在希望學校學生閱覽室里，女生占全室人

7、數(shù)的4，后來又進來兩名女生，9這時女生占全教室人數(shù)的19。問閱覽室里原來有多少人？9審題要點：雖然和19都是以全室人數(shù)為單位“1”，但后來的全室人數(shù)變了，所以這 兩個分數(shù)的單位“1”對應的數(shù)量不相同，不能直接進行加減運算。我們要找一個不變的量 做單位“1”，把這兩個分數(shù)進行適當?shù)霓D化，才能正確地找出分率與數(shù)量的對應關系。注意 到閱覽室里男生人數(shù)沒變，所以我們就以男生人數(shù)為標準。原來女生占全教室人數(shù)的4， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark78 o Current Document _5_, , 4 5 49_ , 10_男生占9，女生是男生的9 - 9=5，現(xiàn)

8、在女生占全教室人數(shù)的肉，男生占19,女生是男 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 910 994 11生的而：w =布，現(xiàn)在女生比原來多占男生的拓一5 =布，這個切就是2人的對應分JL / JL / JL JJL JJL JJL J率，男生人數(shù)可以求了，全室人數(shù)也可以求了。 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 9 八 9、4 八 4、，4詳解過程：2： 19+（】一J9）-+（】一9）（1 -）=36 （人）答：閱覽室里原來有36人。專家點評：在做此題時一定要注意全教室的人數(shù)先后發(fā)生了變化，兩個分率

9、的單位“1” 的大小不相等，不能直接相減，要先轉化成單位“ 1”相同的兩個分率。一般選擇象本題中 的不變量“男生人數(shù)”為新的單位“1”。此題時將以整體的單位“1”轉化為以部分為單位 “1”。選定不變量男生作為“1 ”之后，應該將女生的人數(shù)轉化為男生“1”的分數(shù)。轉化時也4可以利用份數(shù)來考慮。原來全班為9份，女生為4份，男生為5份，所以女生占男生的5。后來全班19份，女生9份，男生10份，女生是男生的10。當多個分率同時出現(xiàn)的時候，要把它們轉化為同單位“ 1”再進行比較?！纠? （）做一項工程，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和； 丙的工作效率相當于甲、乙每天工作效率和的5 ；如果

10、三人合作只需8天就完成了，那么乙一人單獨做需要多少天才能完成？審題要點：將工程作為單位1,因為三人合作需要8天可以完成工作，因此每天的總工 作效率為1，根據(jù)題意還可以算出甲和丙的工效。8詳解過程：因此甲每天的工作效率為1X1 = 1 ,乙、丙二人每天的工作效率之和也為8 2 16-1 ；同時，丙的工作效率相當于甲、乙每天工作效率的1，即丙的工作效率為總工作效率165的；，因此丙的工作效率為3X -，由此可以得出乙的工作效率為一天=7，乙68 6 4816 48 24單獨做要I： =24 （天）24答：乙一人單獨做要24天才能完成。專家點評：本題為分數(shù)百分數(shù)在工程問題中的應用，一般設工作總量為單

11、位“1”。 。一 1【例5 （） A B C三個桶內都有水，如果把A桶內：的水倒入B桶，再把B桶內丁341的水倒入C桶，最后再把C桶內7的水倒入A桶，這時各桶內的水都是12升，求每個桶內原有水多少升？審題要點：該題直接計算不好下手，可以采用逆向思維，利用倒推法來解題，最后桶的1水都是12升，往回推，假設C不倒7給A，可以算出這時C和A桶內水的體積，然后再假11設B不倒頂給C，可以算出這時B和C內水的體積，再假設A不倒房給B，可以算出這時A43和B水的體積。詳解過程： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 111C不倒7給

12、A，這時C有水：12：（1-7 ） =14 （升），A有水：12-14X萬=10 （升） HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 111B 不倒;給 C，這時 B 有水：12：（1- ） =16 （升），C 有水：14-16X =10 （升）444 HYPERLINK l bookmark244 o Current Document 111A 不倒3 給 B，這時 A 有水：10：（1-3 ） =15 （升），B 有水：16-15X 3 =11 （升）專家點評：“倒推法“可以使解題過程簡化，有時與列表法結合更加一目了然。利用倒 推法時，注意分數(shù)的單

13、位“ 1”是原來的水，所以這里應該用分數(shù)除法而不是分數(shù)乘法，對應的分率也應該是（1-了）而不是（1+房）。77【例6】（）三種動物賽跑，已知狐貍的速度是兔子的70%，兔子的速度是松鼠的2 倍，一分鐘內松鼠比狐貍少跑16米，那么半分鐘內兔子比狐貍多跑多少米？ TOC o 1-5 h z 審題要點：狐貍與松鼠的速度都可與兔子的速度聯(lián)系起來，因此在該題中把兔子的速度 作為單位1，則狐貍的速度為7，松鼠的速度為1，松鼠在一分鐘之內比狐貍少跑16米， JL Vy根據(jù)量率對應的關系，可以算出兔子的速度，也可以算出半分鐘內兔子比狐貍多跑的距離。E ，71，八詳解過程：兔子的速度為：16；（無-）=80 （米

14、/分）JL J HYPERLINK l bookmark207 o Current Document 17 t半分鐘內兔子比狐貍多跑：80XX（1-） =12 （米）。AJL J專家點評：本題為分數(shù)百分數(shù)在行程問題中的應用，關鍵時找準單位1”，然后利用量 率對應等關系。單位“ 1”的選擇一般有兩個原則：1）不變量為單位“1”； 2）直接聯(lián)系多 的部分為單位“1”，此題中兔子的速度和其他兩個都有直接聯(lián)系，所以應該為1”，這樣其 他兩個分數(shù)也好表示?！纠?？】（ ）中華人民共和國個人所得稅法第14條規(guī)定中附有下表： 個人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）級別全月應納稅所得額稅率（%）1不超過500元

15、部分52超過500元至2000元部分103超過2000元至5000元部分154超過5000元至20000元部分205超過20000至40000元部分25目前，上表中“全月應納稅所得額”是從月工資、薪金收入中減去1600元后的余額，它與 相應稅率的乘積就是應繳的稅款數(shù)。（1）李教授今年5月份的工資、薪金收入為3660元，這個月他應繳納的稅款是多少？（2）顧先生7月份繳納了 1265元個人所得稅，這個月顧先生工資、薪金收入是多少元？ 審題要點：首先根據(jù)不同的收入將納稅收入分成不同檔：第一檔（收入500元）：納稅500X5%=25 （元）第二檔（收入 2000 元）：納稅（2000 500）X10%

16、+25 = 175 （元）第三檔（收入 5000 元）：納稅（5000 2000）X15%+175 = 625 （元）第四檔（收入 20000 元）：納稅（20000 5000）X20%+625 = 3625 （元）很明顯，李教授的工資、薪金收入為3660元，減去1600元后為2060元，很明顯是屬于第 二檔和第三檔之間的，顧先生繳納了 1265元的個人所得稅，那么他是屬于第三檔和第四檔 之間的。詳解過程：（1）：李教授應繳納的稅款為：（3660-1600-2000）X15%+（2000-500）X 10%+500X5%=184 （元）答：這個月李教授應納稅184元。（2）：顧先生是屬于第三檔

17、和第四檔之間的，超過1600元的收入應該在500020000之間，5000以內那部分應繳納稅款為：（5000 2000）X 15%+175 = 625 （元）所以5000以上部分應繳納稅款：1265 625 = 600 （元）顧先生5000以上部分收入為：600；20%=3000 （元）顧先生的收入為：5000 + 3000+1600 = 9600 （元）答：顧先生工資、薪金收入是9600元。專家點評：本題為百分數(shù)在經濟問題中的應用?！纠?】( )早上水缸注滿了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上 用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。問早上注入多少升水？審題要點：本題

18、涉及到各個量之間的關系比較復雜，我們可以列文字等式來將其聯(lián)系起 來。白天和傍晚用去水后剩下：1-20%=80%少27 (升)晚上用去水：8%少 2.7=(80%少 27)X10%=8%少 27X10%=8%少 2.7 (升)白天、傍晚、晚上總共用去水：20%+8%+(27-2.7)=50%少1 (升)剩下的過程可以列方程，也可以用算術法。詳解過程：法1：設總共x升。50%x-1= (20%+8%) x+27-2.7x=115法 2： 50%- (20%+8%)是(27-2.7)+1 升。早上水缸的水是(27-2.7 + 1)：(50%-20%-8%)=115 (升)。答：早上注入水缸中的水是1

19、15升。專家點評：本題的關鍵是在統(tǒng)一單位“ 1”后，將各個量通過一個等量關系聯(lián)系起來?！纠?】()有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一堆 , ，2口 入的黑子與第二堆的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把這三堆棋子集中在一 起，白子占全部棋子的幾分之幾？2審題要點：通過“第三堆里的黑子占全部黑子的 ”這個條件，可知前兩堆的黑子數(shù) 占全部黑子數(shù)的3。前兩堆的黑子數(shù)有多少雖然我們也不知道，但可以根據(jù)“第一堆的黑 子與第二堆的白子一樣多”這個條件，我們可以換個角度思考這個問題。將第一堆里的黑子 與第二堆里的白子交換，這時就可以得到第一堆全是白子，第二堆全是黑子，即第二堆的

20、黑 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark185 o Current Document 33子占全部黑子的。又因為每堆棋子數(shù)一樣多，所以其他兩堆棋子數(shù)也是全部黑子的。 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 34把全部黑子看作單位“1”，所有三堆棋子數(shù)是全部黑子的5 X3=1倍?，F(xiàn)在再來看白子與 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 32黑子的關系，第一堆全是白子，所以是全部黑子的，第三堆中黑子占全部黑子的，所 HYPERLINK l bookmark93 o Current

21、 Document 32 13 1 4以第三堆中的白子占全部黑子的，所以全部白子就占全部黑子的匚+ = w?，F(xiàn)在 分別知道了所有棋子、全部白子與全部黑子的關系，就可以求了。 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 2 224詳解過程：(1-) + (1-) ： (1-) x3=4答：白子占全部棋子的。專家點評：此題是通過將條件進行轉化，變換思維的角度，求出每堆棋子與全部黑子的 倍數(shù)關系。四、拓展訓練1、六年級參加作文、數(shù)學比賽。參加作文比賽的占參賽人數(shù)的5，參加數(shù)學比賽的占參賽 人數(shù)的5，兩項比賽都參加的有12人，這個學校參加比賽的有多少人？初級點

22、撥:首先要考慮量率對應的關系，可以畫線段圖來幫助理解，找出與量對應的率。深度提示：我們設參加比賽的總人數(shù)為單位“1”，由圖可以看出，比單位“1”多出的 那部分c-5 - 7）就是兩項比賽都參加的人數(shù)。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 257. 人=小一 ,一 2 5 全解過程：這個學校參加比賽的人數(shù)為：12-（1 -5-7）= 105 （人）答：這個學校參加比賽的有105人。2、學校展示學生繪畫，低、中年級科技作品共有120件，中、高年級作品共有168件，又知道低年級作品占高年級作品的7，高年級作品有多少件？初級

23、點撥：首先找準單位“1”，然后再確定可以對應起來的“量”和“率”。深度提示：可以設高年級為單位“1”，我們還是畫線段圖來幫助理解，明顯可以看出， （168-120）是高年級比低年級多的量，而（1 3 ）是高年級比低年級多的率，這樣就找出了對應的“量”和“率”。J168同中120 L一礦73全解過程：高年級作品有：(168 120)9(1 77 ) =84 (件)答：高年級作品有84件。3、一瓶酒精，當用去酒精的45%后，連瓶共重800克，當用去酒精的55%后，連瓶共重700 千克，酒精重多少克？初級點撥：這不是一道濃度問題，用分數(shù)百分數(shù)的量率對應方法來考慮，不妨畫個線段 圖試試看。深度提示：很

24、明顯，是以酒精為單位1”，由線段圖可以看出，兩次使用酒精后所剩的 酒精重量之差這個“量”：(800 700)，所對應的“率”為(55%45%)，這樣就找出了相對 應的量和率。800克45%700克Z55%酒精-1全解過程：(800 700)9(55%45%)=1000 (克) 答：酒精重1000克。4、甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵。甲植樹的棵數(shù)是其余三人的1，乙植樹的棵數(shù)是其人 ,1 Q人 ,1一,余三人的=，丙植樹的棵數(shù)是其余三人的丁，丁植樹多少棵？34初級點撥：本題是工程問題，我們可以利用解決工程問題的一般方法來解決。先找出不變量，工程問題一般設工作總量為單位“1”。深度提示：設工程總量

25、為單位“1”1甲植的棵數(shù)占總工程的：旦11 -2乙植的棵數(shù)占總工程的:丙植的棵數(shù)占總工程的:這樣就可以分別甲、乙、131 +13141 + -4丙植的棵數(shù)1全解過程：甲植的棵數(shù)為：今x60 = 20 （棵）1 + -21乙植的棵數(shù)為：堂Yx60 = 15 （棵）1 + -31丙植的棵數(shù)為： 土x60 = 12 （棵）1 + -4丁植的棵數(shù)為：60 20 15 12 = 13 （棵）答：丁植樹13棵。5、一件工程，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成，現(xiàn)在先由甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需6小時完成，乙單獨做這件工程需多少小時完成。初級點撥：根據(jù)題意可將條件做適當?shù)霓D化，在單位“

26、1”不變的情況下，找出與“量” 相對應的“率”。深度提示：將這件工程看作單位1，根據(jù)題意可將條件做轉化為：甲、乙合做2小時，乙、丙合做2小時后，余下的乙還需（6-2-2=） 2小時完成。甲、乙合做2小時，乙、丙合111做2小時后剩余的工程為1 X2一胃X2 =45101全解過程：剩余場的工程乙需要兩個小時完成，所以乙單獨完成這件工件需要119（ 10 92）=20 （小時）答：乙單獨做這件工程需要20小時完成。6、濱海市少先隊員在城鄉(xiāng)學?！笆掷帧钡幕顒又?，為山區(qū)學校捐獻了一批圖書。按計劃 把這批書的又6本送給青山小學的；把余下的一部分送給少年宮，送給少年宮的比送給 青山小學的3倍還多136本

27、；又把第二次余下的75%又80本送給春苗幼兒園；最后還余下 300本，作為山區(qū)小學數(shù)學競賽的獎品。問濱海市少先隊員一共捐獻了多少本圖書？（選自 北京市第8屆迎春杯小學數(shù)學競賽決賽試題）初級點撥：這是一個量率對應問題，可以嘗試運用倒推的思路來解題深度提示：將總共捐獻的圖書作為單位1，則給青山小學的圖書為總圖書的10多6本， 送給少年宮的圖書是送給青山小學的3倍還多136本，即總圖書的10多18+136本，題意表 明，第二次余下的圖書的25%為300+80本，因此第二次余下的圖書為（300+80）：25%=1520 （本）全解過程：4根據(jù)題意，送給青山小學和少年宮的圖書是總圖書的jo多160，因此

28、總圖書為4（1520+160） 4-（1-10 ） =2800 （本）答：濱海市少先隊員一共捐獻了 2800本圖書。1 ，7、超市商店運來264臺冰箱，在兩天時間里全部賣完，已知第一天賣出的頂與第二天賣出4,2 一的-相等，求這兩天分別賣出多少臺冰箱？初級點撥：這該題需要進行分率轉化，得出第一天與第二天的倍數(shù)關系才能解題，經常 利用比例關系。一一,1 12深度提示：因為第一天賣出的下與第二天賣出的3相等，所以第一天X=第二天X，4343第一天：第二天=8 : 3。全解過程:根據(jù)總冰箱數(shù)以及第一天和第二天賣出冰箱的關系，得出每天賣出冰箱的數(shù)：8第一天賣出：264 =192 （臺）8 + 33第一

29、天賣出：264X如）=72 （臺）8 + 3答：第一天賣出192臺，第二天賣出72臺。8、服裝甲的成本是定價的80%，服裝乙的定價是275元，成本是220元?，F(xiàn)在商店把1件 服裝甲，與2件服裝乙配套出售，并且按它們的定價之和的90%作價出售。這樣每套可獲得 利潤80元。問：服裝甲的成本是多少元？初級點撥：根據(jù)每套服裝的利潤，可以先得出兩件服裝乙的利潤深度提示：2件服裝乙可獲得利潤275X2X 90%-220X2 = 55 （元）。因此，1件服裝甲 獲利潤80-55=25 （元）。全解過程:將服裝甲的成本看作單位1，服裝甲成本是定價的80%，定價是成本的125%。 因此服裝甲的成本為：254（125%X9O%-1）=200 （