勾股定理證明方法和相關(guān)故事

1、關(guān)于勾股定理的證明方法和相關(guān)故事第一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月勾股定理簡(jiǎn)介勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”，在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或者“百牛定理“（畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國(guó)、比利時(shí)人又稱這個(gè)定理為“驢橋定理”。他們發(fā)現(xiàn)勾股定理的時(shí)間都比我國(guó)晚，我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國(guó)家。 目前初二學(xué)生學(xué)，教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。 勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、

2、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”，在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或者“百牛定理“（畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國(guó)、比利時(shí)人又稱這個(gè)定理為“驢橋定理”。他們發(fā)現(xiàn)勾股定理的時(shí)間都比我國(guó)晚，我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國(guó)家。 目前初二學(xué)生學(xué)，教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。 勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形

3、的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。第二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月勾股數(shù)組滿足勾股定理方程 a2+b2=c2;的正整 勾股定理數(shù)組(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一組勾股數(shù)組。 由于方程中含有3個(gè)未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無數(shù)多組。 勾股數(shù)組的通式： a=M2-N2 b=2MN c=M2+N2 (MN,M,N為正整數(shù)） 第三張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月勾股定理定理如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那么 A2+B2=C2 ； 即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方。 古埃及人用這樣的方法畫直角如果三角形的三條邊A，B，C滿足A2+B2=C2;，還

4、有變形公式：AB=根號(hào)（AC2+BC2），如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等于斜邊c的平方那么這個(gè)三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）古埃及人畫直角三角形第四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月勾股定理的來源畢達(dá)哥拉斯樹是一個(gè)基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。 畢達(dá)哥拉斯在中國(guó)，周髀算經(jīng)記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)周髀算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明1。法國(guó)和比利時(shí)稱為驢橋定理，

5、埃及稱為埃及三角形。我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。 常用勾股數(shù)組(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有關(guān)勾股定理書籍 數(shù)學(xué)原理人民教育出版社 探究勾股定理同濟(jì)大學(xué)出版社 優(yōu)因培教數(shù)學(xué)北京大學(xué)出版社 勾股書籍 新世紀(jì)出版社 九章算術(shù)一書 優(yōu)因培揭秘勾股定理江西教育出版社 幾何原本 （原著：歐幾里得）人民日?qǐng)?bào)出版社第五張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月畢達(dá)哥拉斯樹畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形。又因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后 的形狀好似一棵樹，所以

6、被稱為畢達(dá)哥拉斯樹。 直角三角形兩個(gè)直角邊平方的和等于斜邊的平方。 兩個(gè)相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個(gè)大正方形的面積。 利用不等式A2+B22AB可以證明下面的結(jié)論： 三個(gè)正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個(gè)小正方形面積的二分之一。 畢達(dá)哥拉斯樹畢達(dá)哥拉斯樹第六張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月加菲爾德證明勾股定理的故事1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討

7、。由于好奇心驅(qū)使，加菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。于是加菲爾德 便問他們?cè)诟墒裁?？那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”加菲爾德答道：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”加菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”加菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復(fù)思考與

8、演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。 如下： 解：在網(wǎng)格內(nèi)，以兩個(gè)直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的的正方形面積。 勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方， a2+b2=c2; 說明：我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個(gè)定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。 舉例：如直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 則說明斜邊為5。 第七張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明方法1這個(gè)定理有許多證明的方法

9、，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 畢達(dá)哥拉斯命題）一書中總共提到367種證明方式。 有人會(huì)嘗試以三角恒等式（例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)）來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ恚圆荒茏鳛楣垂啥ɡ淼淖C明（參見循環(huán)論證）。證法1作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上。 過點(diǎn)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上， 且RtGEF RtEBD， EGF =

10、 BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD， ABC = EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形。 同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 A2+B2=C2. 第八張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明方法2作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的

11、兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn) F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90。 QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF.即a2+

12、b2=c2.第九張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明方法3作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再作一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長(zhǎng)做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直線上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90， ABG +CBJ= 90, ABC= 90

13、， G,B,I,J在同一直線上， a2+b2=c2.第十張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明方法4作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) BF、CD. 過C作CLDE， 交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于， GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 即a2;+b2;=c2;第十一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022

14、年6月證法5(歐幾里得的證法)幾何原本中的證明 在歐幾里得的幾何原本一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。 設(shè)ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下： 如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。 任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再

15、旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。 其證明如下： 設(shè)ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。 CAB和BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對(duì)應(yīng)的，同理可證B、A和H。 CBD和FBA皆為直角，所以ABD等于FBC。 因?yàn)?AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以ABD 必須相等于FBC。 因?yàn)?A 與 K 和 L是線性對(duì)應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于ABD。 因?yàn)镃、A

16、和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC2。 把這兩個(gè)結(jié)果相加， AB2+ AC2; = BDBK + KLKC 。由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2 + AC2= BC2。 此證明是于歐幾里得幾何原本一書第1.47節(jié)所提出的第十二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證法6（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）如圖1，RtABC中，ABC=90，BD是斜邊AC上的

17、高，通過證明三角形相似則有射影定理如下： 1）（BD）2;=ADDC， （2）（AB）2;=ADAC ， （3）（BC）2;=CDAC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）2;， 圖1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，這就是勾股定理的結(jié)論。第十三張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證法七（趙爽弦圖）在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

18、 4（ab/2）+（b-a）2;=c2;化簡(jiǎn)后便可得： a2;+b2;=c2; 亦即： c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 我國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半

19、其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩?！币虼?，勾股定理在我國(guó)又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。 在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國(guó)家稱勾股定理為“平方定理”。 在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理” 第十四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證法8（達(dá)芬奇的證法） 達(dá)芬奇的證法三

20、張紙片其實(shí)是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個(gè)“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達(dá)式卻不再相同，讓這兩個(gè)形式不同的表達(dá)式相等，就能得出一個(gè)新的關(guān)系式勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個(gè)共同點(diǎn)。觀察紙片一，因?yàn)橐C的事勾股定理，那么容易知道EBCF，又因?yàn)榧埰膬蛇吺菍?duì)稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A和角D都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié)AD，因?yàn)閷?duì)稱的緣故，所以BAD=FAD=CDA=EDA=45，那么很明顯，圖三中角A和角D都是直角。證明：第一張紙片多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OFOE 第三張紙片中多邊形ABCDEF的面積S2=S正方形BCEF+2CDE=EF2+CDDE因?yàn)镾1=S2 所以O(shè)F2+OE2+OFOE=EF2+CDDE又因?yàn)镃D=CD=OE,DE=AF=OF所以O(shè)FOE=CDDE 則OF2+OE2=EF2;因?yàn)镋F=EF所以O(shè)F2+OE2=EF2;勾股定理得證第十五張，PP