梁的極限荷載

1、梁的極限荷載梁在橫向力作用下，除了產(chǎn)生彎矩外，通常還產(chǎn)生剪力。一般來(lái)說(shuō)，剪力對(duì)梁的極限荷 載影響很小，可忽略不計(jì)。故，考慮梁的極限荷載前面的分析結(jié)果仍然有效。一、靜定梁的極限荷載& 圖（a）r圖示矩形等截面簡(jiǎn)支梁，跨中受由零逐漸增加的集中荷載P作用。在加載初期，梁的 各截面均處于彈性階段，隨著荷載的增加，跨中截面的最外側(cè)纖維先達(dá)到屈服極限。y，該 截面的彎矩達(dá)到My，彈性階段結(jié)束。此時(shí)的荷載稱為彈性極限荷載Py。7由靜力平衡條件可得：7于是，當(dāng)荷載繼續(xù)增加時(shí)，中間截面的塑性范圍逐漸加大，最后達(dá)到極限彎矩Mu，形成塑性 鉸而使結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)。此時(shí)，位移可任意增大，而承載力卻不能增大，即，荷載達(dá)到極

2、限 Pu而使結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。由靜力平衡條件，PL4 M一M = 一廠，于是，P = l u 如圖（b）所示。極限荷載Pu與彈性極限荷載（屈服極限）Py的比值：u u = a 1.5P M采用虛功原理確定極限荷載。圖（c）所示為破壞機(jī)構(gòu)的可能位移，設(shè)跨中的豎向位移為，則。=2A /L，由虛功原理: 外力所作的虛功T等于內(nèi)力所作的虛功W，即：P = 2M 0 ，由此得：P 2M 匕=4M uu uu u A L二、超靜定梁的極限荷載超靜定梁有多余約束，故在出現(xiàn)多個(gè)塑性鉸后才喪失承載力。例1.圖示兩端固定的等截面梁AB,其正、負(fù)彎矩的極限值都是Mu，均布荷載q逐漸增加。求 極限荷載qu，并分析荷載

3、q與跨中截面C的豎向位移ACV之間的關(guān)系。qA I I I I I 1 I I I PB圖（a）當(dāng)梁處于彈性狀態(tài)時(shí)的彎矩圖如下.qL2/12；，iqL2/24當(dāng)q逐漸增大時(shí)，A、B兩處的彎矩先同時(shí)達(dá)到極限Mu， 系仍然保持。MuqL2/12圖（b）此時(shí)，A、B、C三處的彎矩關(guān)Mu彳 f一-11圖（c）Mu /2當(dāng)q逐漸增大至qi時(shí)，A、B兩處的彎矩同時(shí)達(dá)到極限Mu , A、B截面已成為塑性鉸，Mu 不變，梁已經(jīng)變?yōu)楹?jiǎn)支。此時(shí)刻梁的受力認(rèn)為是兩端作用M/承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁;如下圖。圖（d）M :u q1L/8q L2M由于、兩個(gè)彎矩圖是一致的,故,中點(diǎn)的彎矩為七-Mf， 從而得：q =12=

4、ii1L2由于此時(shí)刻的梁已可看作簡(jiǎn)支梁，故，求中點(diǎn)c的豎向位移，可作如下的M圖圖（e）圖（d）和圖（e）圖乘就是要求的乙CVL 5 L xu x-x-x - MEI 322 8 4 CV：1 （2 3Mc M L2 x 2 = u32 EI當(dāng)荷載繼續(xù)增加時(shí)，C截面的彎矩不斷增大，直至達(dá)到Mu，設(shè)此時(shí)的荷載為q2。梁A、B、C三截面均已是塑性鉸，梁變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。q2=quUMu圖（f）q L由平衡條件，中點(diǎn)的彎矩為蘭頑-M/M u從而得：q =16=u2L2圖（f）與圖（e）圖乘得 CVq與乙CV之間的非線性關(guān)系 CV例2.圖示一端固定、一端鉸支的等截面梁AB，其正、負(fù)彎矩的極限值都是Mu，均布荷載

5、q逐 漸增加。求極限荷載qu。U解：當(dāng)荷載qWqy時(shí)，梁處于彈性階段，作出如下的彎矩圖，并求得最大正彎矩發(fā)生在離M =maxqL14.22隨著荷載的增加，A截面首先出現(xiàn)塑性鉸。若荷載的繼續(xù)增加，梁變?yōu)楹?jiǎn)支梁。增加的荷 載由簡(jiǎn)支梁承擔(dān)。由于增加的荷載由簡(jiǎn)支梁承擔(dān)，最大正彎矩的位置將發(fā)生變化。設(shè)第二個(gè)塑性鉸的位置距 離B端x處A由平衡條件可得：M=M = 葉 x -沖u x - 1 q x2x u 2 L 2 u（1）由于塑性鉸首先在最大彎矩處發(fā)生，故，由血二 quL - Mu - qx=0dx 2 L u2 M 得: qu = L（L - 2x）（2）把（2）式代入（1）式，M= 土 - Mx

6、-1 q x2 = Mx -虹 x - 12M_x 2u 2 L 2 u l - 2 x L2 LXL - 2 x）整理得：x 2 + 2Lx - L - 0 解得：x =（；2 -1L = 0.4142L11.66M把x代入（2）式得：q = u uL2小結(jié):計(jì)算超靜定梁極限荷載的特點(diǎn)：1）只要預(yù)先判定超靜定梁的破壞機(jī)構(gòu)，就可根據(jù)該破壞機(jī)構(gòu)應(yīng)用靜力平衡條件確定 極限荷載，而不必考慮梁的彈塑性變形的發(fā)展過(guò)程。稱為極限平衡法（2）溫度變化、支座移動(dòng)等因素對(duì)超靜定梁的極限荷載沒(méi)有影響。因?yàn)槌o定梁變?yōu)?機(jī)構(gòu)之前，先變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)。例3.求圖示變截面梁的極限荷載Pu。已知，AB段截面的極限彎矩為M，B

7、C段截面的極限彎矩為M 。UUa C:b D I解：對(duì)變截面梁來(lái)講，由于AB、BC段截面的極限彎矩不同，塑性鉸不僅可能出現(xiàn)在A、D處，也可能出現(xiàn)在變截面B處。截面B、D出現(xiàn)塑性鉸破壞機(jī)構(gòu)如下圖。設(shè)D處的豎向位移為乙DB和D處的彎矩都是Mu，截面A的彎矩MA易用比例關(guān)系求得:否則A截面產(chǎn)發(fā)生塑性鉸，上述機(jī)構(gòu)不成立。由虛功原理：P D = M -0B + M -0DAA A其中，廣甘，疽甘+ 代入上式得:I be )截面A和D處出現(xiàn)塑性鉸 畫(huà)出機(jī)構(gòu)圖和彎矩圖如下機(jī)構(gòu)圖彎矩圖由彎矩圖易由比例關(guān)系算得截面B的彎矩M=BbM，- aMuua + bbM，- aM3M_ =uuB,2a + b條件是：M

8、uuu，或 M - Ma + bu b u由虛功原理：Pkd = MU-0 + Mu -0d代入上式得:例4.如圖所示等截面梁的極限彎矩Mu，荷載P由零逐漸增加到極限荷載Pu，然后再由P逐漸卸載到零，試求極限荷載P及殘余彎矩圖。UA Brc2L/3L/圖（a）2 PL9 M由平衡條件：亍與- Mu=、得：Pu=Fu2.作卸載時(shí)的彎矩圖荷載由Pu逐漸卸載到零時(shí)，相當(dāng)于在B點(diǎn)向上施加靜力荷載Pu，并且，卸載時(shí)為線彈性， 故，可按線彈性理論計(jì)算彎矩圖。Uu圖（b）Pab 2Pa 2 b9 MMa= ，Mb= l ，a=L/3，b=2L/3。把 Pu* 代入得:圖（a）與圖（b）疊加就是殘余彎矩圖3.

9、殘余彎矩圖Mu /3Mu /3例5.多跨連續(xù)梁的破壞機(jī)構(gòu)有其獨(dú)特性。假設(shè)連續(xù)梁各跨截面可不相同，但每跨度內(nèi)是等截面，并假設(shè)各跨梁受到的荷載方向相 同，按比例增加。這樣，只可能在各跨獨(dú)立形成破壞機(jī)構(gòu)，因?yàn)楫?dāng)各荷載均為向下作用時(shí)， 每跨內(nèi)的負(fù)彎矩在跨端為最大，負(fù)彎矩產(chǎn)生的塑性鉸也只能在跨端出現(xiàn)，從而形成各跨獨(dú)立 的破壞機(jī)構(gòu)。因此，計(jì)算多跨連續(xù)梁的極限荷載，只需分別求出每跨破壞時(shí)的破壞荷載，選擇最小的 一個(gè)便是多跨連續(xù)梁的極限荷載。解：彈性時(shí)的彎矩圖形狀各跨的破壞機(jī)構(gòu)圖由虛功原理，第一跨q L + q L-A = 2 Mu 2 u 1u七 + 2M G a +氣）+ M9B -式中，9廣）0.5L2AiL表示B截面左側(cè)轉(zhuǎn)角。代入后整理得:_ 20Mqu 3L2u（1）第二跨：2xj 2 q d2x = M 9 + M 9 + M G +9 ） TOC o 1-5 h z u Lu B +u C u B +C式中，9b+=TC-，9B+表示B截面右側(cè)轉(zhuǎn)角；9C表示c截面左側(cè)轉(zhuǎn)角。得：q = 16Mu（2）uL2第三跨：2q LA = M 9 + M 9 +9 ）u 3 u C +u C + D式中