點(diǎn)、直線及平面的投影課件

1、第 3 章 點(diǎn)、直線、平面的投影3.1 點(diǎn)的投影3.2 直 線 的 投 影 3.3 平 面 的 投 影 3.4 直線與平面及兩平面之間的相對位置 3.5 換面法3.1 點(diǎn) 的 投 影3.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影 3.1.2 點(diǎn)在三面投影體系中的投影 3.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影 3.1.4 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn) 3.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影1、兩投影面體系的組成HV(1) 兩個互相垂直的投影面正立投影面（簡稱正投影面 或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）(2) 投影軸OXOX軸: V面與H面的交線兩個投影面互相直 V面和H面把空間分成四個部分，依次用I、II、III、IV表

2、示,，分別稱它們?yōu)榈谝?、二、三、四分角?(3) 分角3.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影2、點(diǎn)的兩面投影圖 HVOXa點(diǎn)A的正面投影a 點(diǎn)A的水平投影注意： 空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。aa A立體圖ax投影面展開XOVHAaaxa向下翻不動HaVaxaXO2、點(diǎn)的兩面投影圖 3、點(diǎn)的兩面投影特性 （1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。 即aaOX. （2）點(diǎn)的投影與投影軸的距離, 等 于該點(diǎn)與相鄰?fù)队懊娴木嚯x。 即axa=aA axa=aAaXOa3.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影3.1.2 點(diǎn)在三面投影體系中的投影1、三投影面體系的組成W投影面正立投影面（簡稱正投影面或V面

3、）水平投影面（簡稱水平面或H面）側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸HVOXZOX軸 V面與H面的交線OZ軸 V面與W面的交線OY軸 H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y分角H、V、W把空間分為8個區(qū)域，分別稱為8個分角。 2、點(diǎn)的三面投影圖WHVOXZYa點(diǎn)A的正面投影a 點(diǎn)A的水平投影a 點(diǎn)A的側(cè)面投影注意： 空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。aaa A立體圖axazaY2、點(diǎn)的三面投影圖XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開VWH aYHaxazZaaa YWaXYH YWO 2、點(diǎn)的三面投影XYZOVHWAaaaxaazayWVHaaxazZaaYHa

4、YWaXYH YWO aZaaXYH YWO 投影面展開投影圖2、點(diǎn)的三面投影圖XYZOVHWAaaaxaazayZaaxazZaaYHa YWaXYH YWO (xA,yA,zA)xAyAzAyA3、點(diǎn)的投影規(guī)律 aaOX軸yA(oayH= oayw)=aax= z A (oaz)= aax= xA(oa x) =aayH= aaOZ軸=Aa（A到V面的距離）aaz=Aa（A到W面的距離）aayw=Aa（A到H面的距離）aazz3、點(diǎn)的投影規(guī)律XYZOVHWAaaaxaazayZaaxazZaaYHa YWaXYH YWO (xA,yA,zA)xAyAzAyA（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。

5、( 注意 )（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于點(diǎn)的坐標(biāo)， 也就是該點(diǎn)與對應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。【例3.1】 已知點(diǎn)的正面投影和水平投影, 試求其側(cè)面投影 【例3.2】 已知點(diǎn)A（10、8、12），求點(diǎn)A的三面投影。 ZXOaaaYHYWbbbbccc練習(xí)1 已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影 3.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影 1. 投影面上的點(diǎn)的投影 2. 投影軸上的點(diǎn)的投影 練習(xí)2：已知點(diǎn)的坐標(biāo)求三面投影練習(xí)2：題解c 3.1.4 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn) 1. 兩點(diǎn)的相對位置 （1）絕對坐標(biāo)法 ：空間點(diǎn)對原點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）相對坐標(biāo)法： 兩點(diǎn)的相對坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。 XOZYa a a

6、b b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa axAyAzA 3.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影（1）絕對坐標(biāo)法 ：空間點(diǎn)對原點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）相對坐標(biāo)法： 兩點(diǎn)的相對坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。 XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB兩點(diǎn)中X 值大的點(diǎn) 在左兩點(diǎn)中Y 值大的點(diǎn) 在前 兩點(diǎn)中Z 值大的點(diǎn) 在上XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB 3.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是： XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA

7、-zB1）對水平投影而言，由ox軸向下就代表向前；對側(cè)面投影而言，由oz軸向右也代表向前。 2）已知兩點(diǎn)的相對位置，只要知道其中一點(diǎn)的位置，另一點(diǎn)的位置隨之就能確定。 3.1.4 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn) 2. 重影點(diǎn)及其可見性 當(dāng)兩點(diǎn)的某兩個坐標(biāo)相同時，該兩點(diǎn)將處于同一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，則這兩點(diǎn)稱為對該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)的可見性判別方法： 對于V前遮后；對于H上遮下,對于W左遮右。 aaaXZYWYHObbb895練習(xí)3 已知A點(diǎn)在B點(diǎn)前方5毫米，上方9毫米，右方8毫米，求A點(diǎn)的投影。練習(xí)4：兩點(diǎn)的相對位置練習(xí)4：題解練習(xí)5：重影點(diǎn)及投影可見性練習(xí)5：題解3.2 直

8、 線 的 投 影3.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性 3.2.2 各種位置直線的投影特性3.2.3 兩直線的相對位置 3.2.4 直角投影定理3.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長及 其對投影面的傾角3.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性 1、直線的投影： 可以看做是直線上所有點(diǎn)的投影集合。 aa abbb 將直線上兩點(diǎn)的同名投影用直線連接 就得到直線的同名投影。 2、直線的投影特性 BAab直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長 ab=AB直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab=AB.cosABabAMBabm 從幾何角度看，直線的投影：是過直線上各點(diǎn)向

9、投影面作投射線，其諸投射線所形成的平面與投影面的交線。 3.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性 3、直線上點(diǎn)的投影特性cacXabcYYbOaZbcAHacaVbBabcCbW （1）若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。 （2）直線上的點(diǎn)分割直線段之比，等于投影后分割直線段之比。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理【例3.4】 已知線段AB的投影圖，作出分線段AB為AC:CB=1 : 4的點(diǎn)的兩面投影。cc1. 任作一直線并五等分2. 作相似形定出C點(diǎn)的水平投影c3. 求出C點(diǎn)的正面投影cxoababB。c。3.2.2 各種位置直線的投影特性直線按與投影面相對位

10、置分為三類： 投影面平行線 只平行于一個投影面投影面垂直線正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面3.2.2 各種位置直線的投影特性1、投影面的平行線投影特性：XZbaaabbOYHYW水平線實(shí)長（1）在它所平行投影面上的投影反映真長，它與相應(yīng)投影軸的夾角，分別反映與相應(yīng)的投影面的夾角。 （2）另兩個投影面上的投影 平行于相應(yīng)的投影軸，且小于真長。VHabAaaBbbW直線與投影面夾角的表示法：與H面的夾角: 與V面的夾角:與W面的夾角:WHVOXZY1、投影

11、面平行線正平線Xabab baOZYHYW 投影特性： 1 a b=AB。反映、角的真實(shí)大小 2ab 平行于 OX ; a b平行于 OZ。 aababbAB1、投影面平行線側(cè)平線aa b a bbABWHVOXZY投影特性： 1 ab =AB;反映 、 角的真實(shí)大小 2ab 平行于 OZ ; ab平行于 OYH 。aa b a bbABXZa b bbaOYHYWa練習(xí) 判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線實(shí)長實(shí)長baababbaabba2、投影面垂直線 鉛垂線正垂線側(cè)垂線（2）另外兩個投影，平行于相應(yīng)投影軸,且反映真長。 （1）在其垂直的投影面 上積聚成一點(diǎn) 。投影特性:aba(b)

12、abc(d)cddcef efe(f)注：“相應(yīng)”可理解為：是指與該垂線平行的投影軸或坐標(biāo)軸。3、一般位置直線（投影面傾斜線） ZYaOXabbaYb 1、三個投影都傾斜于投影軸；投影特性HaaAbVBbWab2、三個投影的長度都小于真長；3、三個投影與投影軸的夾角都不反映直線與投影 面傾角。3.2.3 兩直線的相對位置1、平行兩直線投影特性 空間兩直線的相對位置分為： 平行、相交、交叉（異面）。 空間兩直線平行，則其各三對同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX3.2.3 兩直線的相對位置2、相交兩直線投影特性 若空間兩直線相交，則其三對同面投影必相交，

13、且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd bacdkk3.2.3 兩直線的相對位置accAaCVbHddDBbcacabddbOX1(2)21 交叉直線既不符合平行兩直線投影特性，又不符合相交兩直線投影特性。 “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對重影點(diǎn)的投影。211(2)43(4 )33(4 )343、交叉兩直線投影特性 【例3.4】判斷兩側(cè)平線的相對位置。 3.2. 4 直角定理 空間兩直線成直角(相交或交叉)，若兩邊都與某一投影面傾斜,則在該投影面上的投影不是直角。如若是一邊平行于某一投影面的直角，則在該投影面上的投影仍是直角。此投影特

14、性稱為直角投影定理。 需要說明的是： 1）空間直線為交叉垂直時，直角投影定理仍然成立。2）當(dāng)直角的另一邊也平行于該投影面時,在該投影面上的投影也是直角；當(dāng)直角的另一邊垂直于該投影面時,在該投影面上的投影成為一直線。是其兩個特例。 如圖3-23所示。 已知ABBC，ABH面，BC傾斜于H面。AB H面，BbH面，ABBb，又ABBC，AB 垂直于BC和Bb所決定的平面BCcb。又abAB，ab 平面BCcb，則有abbc，即abc為直角。 3.2. 4 直角定理 利用直角投影定理可以解決許多有關(guān)垂直、求距離的作圖問題。【例3.5】如圖2.22(a)，求點(diǎn)K到正平線AB的距離 KC的投影。 作圖:

15、 1）如圖2.22(b)，由k作kcab，與ab相交得C點(diǎn)正面投影c。 2）C點(diǎn)在AB上，依據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得C點(diǎn)水平面投影c；連接kc、kc即為KC的兩面投影。3.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長及其對投影面的傾角 特殊位置直線在三面投影中能直接反映其實(shí)長及對投影面的傾角,而一般位置直線則不能直接反映。但可用直角三角形法求作一般位置直線的實(shí)長和傾角。 如圖3.23(a)所示，已知一般位置直線AB的兩面投影，確定AB的實(shí)長和傾角，其作圖過程如圖3.23(b)所示： 作圖: 1）在正面投影中，由b作水平線,作出直線AB兩端點(diǎn)與H面的距離差ZA-ZB。 2）以ab為一直角邊，由a作ab的垂線，在此

16、垂線上量取am=ZA-ZB。3) 連b和m，bm即為直線AB的實(shí)長，abm即為AB的真實(shí)傾角。 3.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長及其對投影面的傾角 因此，用直角三角形法求直線實(shí)長與傾角的方法是：以直線在某一投影面上的投影為底邊,以直線的兩端點(diǎn)與這個投影面的距離差為高,形成一個直角三角形。其斜邊是直線的實(shí)長,斜邊與底邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。3.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長及其對投影面的傾角【例2.6】如圖2.24(a)，求點(diǎn)K到正平線AB的距離。作圖：1）作K點(diǎn)到正平線AB的距離KC的兩面投影如【例3.5】，得圖3.24(b)。2）如圖3.24(c)在圖3.24(b)基礎(chǔ)上

17、，過c作kk垂線cm交kk于m。3）由c作kc的垂線，并在其上截取cm0，使cm0= km，連接k和m0，km0即為點(diǎn)K到正平線AB的距離。3.3 平 面 的 投 影3.3.1平面的投影表示法 3.3.2 各種位置的平面及其投影特性 3.3.3 平面上的點(diǎn)和直線 3.3.1 平面的表示方法1、用幾何元素表示不在同一直線上的三個點(diǎn) 直線及線外一點(diǎn)abcabcdd兩平行直線abcabc兩相交直線平面圖形cabcabcababcbacabc3.3.1 平面的表示方法 2、用跡線表示W(wǎng)HVOXZY P（1）跡線： 平面與投影面的交線。 （3）跡線平面： 用跡線表示的平面稱為跡線平面。（2）跡線分為：

18、正面跡線PV與V面交線水平跡線PH與H面交線 側(cè)面跡線PW與W面交線OXZYWYHPVPWPH（4）一般位置的平面跡線的投影特性： 1）在三個投影面上都有跡線，每條跡線都沒有積聚性，都與投影軸傾斜。 2）每兩條跡線分別相交于相應(yīng)的投影軸上的同一點(diǎn)，由其中的任意兩條跡線即可表示這個平面。 PVPWPH2、用跡線表示（5）跡線表示平面的優(yōu)缺點(diǎn)： 1）優(yōu)點(diǎn)：用跡線表示平面容 易想象空間位置。有利于 研究問題。 2）缺點(diǎn):有時也不方便。 OXZYWYHPVPWPHWHVOXZY PPVPWPH3.3.2 各種位置的平面及其投影特性 平面對于投影面的位置可分為三類：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面

19、特殊位置平面只垂直于一個投影面平行于一個投影面的平面與三個投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 正平面 側(cè)平面 水平面1、投影面垂直面（1）鉛垂面垂直面的投影特性是： （1）在所垂直的投影面上的投影，積聚成直線；該投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的夾角。 （2）在另兩投影面上的投影具有類似性。 pppWHVOXZY1、投影面垂直面（2）正垂面的投影qqqWHVOXZYqqq1、投影面垂直面（3）側(cè)垂面R的投影rrrWHVOXZYrrq2、投影面平行面（1）水平面qqqqqq平行面投影特性 （1）在它所平行的投影面上投影反映實(shí)形。 （2）其另外兩個投影積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸

20、。 2、投影面平行面（2）正平面WHVOXZY2、投影面平行面（3）側(cè)平面的投影rrrrrr3、一般位置的平面投影特性： 三個面都是平面圖形，且面積縮小 YW c c OaYH b ab a b cWHVOXZY a cba c b b a cABC3.3.3 平面上的點(diǎn)和直線1、點(diǎn)在平面上的幾何條件 ABCDEabcabcddee點(diǎn)在平面上的幾何條件是：該點(diǎn)在這個平面內(nèi)的某一條直線上 。 3.3.3 平面上的點(diǎn)和直線2、直線在平面上的幾何條件MNABnbbacacmmnn（1）直線通過這個平面上的兩個點(diǎn)；（2）或者直線通過這個平面上的一個點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。

21、ad cnnbdacb【例3.7】 如圖3.31（a）正方形ABCD處于正垂面，已知其左下邊AB的兩面投影，=30，補(bǔ)全其兩面投影。 1) 作正方形ABCD的正面投影：如圖3.31（b），過AB邊的正面投影a(b)作與OX軸成30角的射線，與以a(b)為圓心以ab長為半徑的圓弧相交于一點(diǎn)，（正方形ABCD處于正垂面位置，且=30這樣的正垂面有兩個）此點(diǎn)即是CD邊的正面投影c(d)?！纠?.7】 如圖3.31（a）正方形ABCD處于正垂面，已知其左下邊AB的兩面投影，=30，補(bǔ)全其兩面投影。 2）作正方形ABCD的水平投影：分別過a、b作OX軸的平行線，與過點(diǎn)c、d作OX軸的垂直線分別交于c、d

22、。連接ac、cd、db得正方形ABCD水平投影。3）最后，整理作圖線，得正方形ABCD的兩面投影如圖2.31（c） ee(1)abcabkck 【例3.8】 如圖3.32（a）判斷點(diǎn)K、直線AM是否 在ABC上。（1）判斷點(diǎn)K是否在ABC上。 作圖：如圖3.32（b）假設(shè)K點(diǎn)在ABC上，作AK的正面投影，即連接ak,并延長之與bc交于e。 2)由ae作出其水平投影ae。由于點(diǎn)K的水平投影k在ae上，說明點(diǎn)K在ABC的直線AE上，即K點(diǎn)在ABC上。mm【例3.8】 如圖3.32（a）判斷點(diǎn)K、直線AM是否 在ABC上。hh(2)abcabc（2）判斷直線AM是否在ABC上。分析： 根據(jù)直線在平面

23、上的幾何條件，直線在平面上，直線通過這個平面上的兩個點(diǎn)。 不難看出點(diǎn)A在ABC面上，只要判斷M點(diǎn)是否在ABC平面上就可判斷出AM是否在ABC面上。于是問題轉(zhuǎn)化為第一問。作圖：如圖3.32（b）方法同第一問,只是先作AM的水平投影am，由af作ae。判斷結(jié)果是：直線AM不在ABC上?！纠?.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。分析：由圖可知，只要作出C點(diǎn)的水平投影c，然后順次連接bcd即可。由于ABCD是平面四邊形，所以，AC、BD必相交一點(diǎn)K，連接AK，C點(diǎn)在AK上，可求C點(diǎn)的水平投

24、影?！纠?.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。作圖： 1）如圖分別連接ac、bd其交點(diǎn)為平面四邊形ABCD對角線AC、BD交點(diǎn)K的V面投影 k，2）連接bd,過k作OX軸垂線，與bd相交，得AC和BD的交點(diǎn)K的水平面投影 k。 【例3.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。作圖： 3）連接ak,并延長，與過c作OX軸垂線相交，得C點(diǎn)的水平面投影 c。 4）順次連接bcd得平

25、面四邊形ABCD水平投影abcd。 【例3.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。(2) 在其上取一點(diǎn)M分析：如圖3.33（c），M在H面之上15mm，它一定在平面ABCD內(nèi)距離水平面15mm的水平線EF上；M在V面之前30mm, 所以，它也在平面ABCD內(nèi)距離V面30mm的正平線GH上，直線EF、GH的交點(diǎn)即是所要求的M點(diǎn)?！纠?.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。(2)

26、 在其上取一點(diǎn)M作圖：1）作位于平面ABCD內(nèi)距離水平面15mm的水平線EF的正面投影ef和水平投影ef.【例3.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。(2) 在其上取一點(diǎn)M作圖：2）作位于平面ABCD內(nèi)距離正面30mm的正平線GH的水平投影gh和正面投影gh.【例3.9】 如圖已知平面四邊形ABCD的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm 。(2) 在其上取一點(diǎn)M作圖：3) ef和gh交點(diǎn)m，ef和gh的交點(diǎn)m，

27、分別為所要求的M點(diǎn)的正面投影和水平投影。 3.4 直線與平面及兩平面之間的相對位置3.4.l 平行問題 3.4.2 相交問題 3.4.3 垂直問題 3.4.l 平行問題 1. 直線與平面平行 當(dāng)直線與垂直于投影面的平面平行時，直線的投影平行于平面的有積聚性的同面投影，或者，直線、平面在同一投影面上的投影都有積聚性。 對于一般位置的直線，如平面外的一條直線與平面內(nèi)的某直線平行，則該直線與平面平行。 3.4.l 平行問題 2. 平面與平面平行【例3.10】 如圖2.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于AB

28、C所確定平面。 由初等幾何可知，若一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則兩平面相互平行。3.4.l 平行問題 【例3.10】 如圖2.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面分析：當(dāng)直線平行于某平面時，該直線必平行于該平面內(nèi)的一條直線，因此，在ABC內(nèi)作正平線BD，然后過K點(diǎn)作BD的平行線KE，KE即為所求。3.4.l 平行問題 【例3.10】 如圖3.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)作正平線

29、平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面作圖： 1）如圖2.36（b）所示，過b作bd平行于OX軸交ac于d，按投影特性作bd 的正面投影bd，得ABC內(nèi)正平線BD的兩面投影。2）作直線kebd，kebd，得直線KE的兩面投影。 3.4.l 平行問題 【例3.10】 如圖3.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面分析：根據(jù)兩平面平行的幾何條件，可過K點(diǎn)作兩條直線分別平行于AB

30、C內(nèi)兩條直線，此兩條直線所確定的平面即為所求的平 面 3.4.l 平行問題 【例3.10】 如圖3.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面作圖： 如圖3.36（c）所示，過k分別作kf bc，kgac，按投影特性由kf 、kg作出其正面投影kfbc , kgac得過K點(diǎn)的直線KF、KG的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為所求。3.4.l 平行問題 【例3.10】 如圖2.36（a），已知ABC所確定平面及平面外 一點(diǎn)K的兩面投影，（1）過K點(diǎn)

31、作正平線平行于ABC所確定平面；（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。（2）過K點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面作圖： 如圖3.36（c）所示，過k分別作kf bc，kgac，按投影特性由kf 、kg作出其正面投影kfbc , kgac得過K點(diǎn)的直線KF、KG的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為所求。3.4.2 相交問題 1. 直線與平面相交 在直線與平面、平面與平面的相對位置中，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。以下討論直線或平面處于特殊位置，即直線或平面垂直于投影面情況下，此時，直線與平面、平面與平面相交所具有的投影特點(diǎn)。1）直線與垂直于投影面的平面相交3.4.2 相交問題 1.

32、 直線與平面相交3.4.2 相交問題 1）平面與投影面垂直面相交aa bd(e)ebdh(f)cfch1(2 ) 平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。 求交線 判別可見性 點(diǎn)在MC上，點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見。作圖21 mmnn2. 平面與平面相交3.4.2 相交問題 2. 平面與平面相交2）兩個與投影面垂直的平面相交可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析 平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投

33、影，交線的水平投影垂直于OX軸。 求交線 判別可見性作圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。nm能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。能否不用重影點(diǎn)判別？3.4.3 垂直問題 垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平面垂直于投影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。1. 直線與平面垂直 1) 當(dāng)直線與垂直于投影面的平面相垂直時，直線一定平行與該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有積聚性的同面投影。 如圖2.41所示，直線MN垂直于鉛垂面ABC，則MN一定是水平線，且mnabc。3.4.3 垂直問題 垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平

34、面垂直于投影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。1. 直線與平面垂直 2) 當(dāng)平面與投影面垂直線相垂直時，平面一定平行于該直線所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于該直線的投影。如圖2.42所示，平面ABC垂直于鉛垂線MN，所以，平面ABC一定平行于水平面，且mnabc。3.4.3 垂直問題 2. 平面與平面垂直 若空間兩平面垂直相交，且兩平面都垂直與一個投影面時，兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂直線。 如圖2.43所示，鉛垂面ABCD和鉛垂面CDEF互相垂直，因此，它們的水平面有積聚性投影互相垂直，其交線CD為鉛垂線。3.5 換面 法 3.5.1 換面法的基本概念

35、 3.5.2 點(diǎn)的投影換面規(guī)律 3.5.3 換面法的基本作圖3.5.4 換面法的解題舉例3.5.1 換面法的基本概念 當(dāng)幾何元素在兩個互相垂直的投影面體系中對某一投影面處于特殊位置時,可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。 像上述這樣幾何元素在兩投影面體系中不處于特殊位置時, 可以保留一個投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更換另一投影面, 組成一個新的兩投影面體系，使幾何元素在新投影面體系中對新投影面處于便利解題的特殊位置，在新投影面體系中作圖求解，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。 3.5.1 換面

36、法的基本概念 當(dāng)幾何元素在兩個互相垂直的投影面體系中對某一投影面處于特殊位置時,可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。應(yīng)用換面法解題時應(yīng)遵循下列兩條原則： （1）新投影面應(yīng)選擇在新投影面體系中使幾何元素處于便利解題的位置。 （2）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個投影面,并與它組成新投影面體系。必要時可連續(xù)交替變換。3.5.2 點(diǎn)的投影換面規(guī)律 點(diǎn)是最基本的幾何元素。要學(xué)會運(yùn)用換面法解決問題，首先應(yīng)該掌握點(diǎn)的投影變換規(guī)律。1. 點(diǎn)的一次換面VHXX1a1ax1V1V1HX1(1)點(diǎn)的新投影和保留的投影面原投

37、影的連線垂直于新的投影軸 ；(2)點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被更換的原投影到原投影軸的距離。 a1aaXVH立體圖 b) 投影圖圖2.45 點(diǎn)的一次投影變換（變換V 面）Aaxaa同樣也可 變換H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1 用正垂面H1來代替H面，H1面和V面組成新投影體系V/H1，投影體系由V/H變換為V/H1。新舊兩體系具有同一個V面，因此a1ax1=Aa =aax。 a aXVH立體圖 b) 投影圖圖2.46 點(diǎn)的一次投影變換（變換H面）Aaxaa 2點(diǎn)的二次變換 在實(shí)際應(yīng)用中，有時變換一次還不能解決問題，必須變換兩次，即在第一次換面之后的基礎(chǔ)上，以第一次的投影體

38、系V1/H (或V/H1)中的投影面V1(或H1)為不變投影面，用與其垂直的新投影面H2(或V2)進(jìn)行二次更換投影面，組成新的投影體系V1/H2 (或V2/H1)。 a2V1X2H2圖2.47 點(diǎn)的二次投影換面a) 立體圖 b) 投影圖V1HX1a1aaXVH3.5.3 換面法的基本作圖 如何將一般位置直線或平面變換為特殊位置直線或平面，是換面法的基本作圖問題，主要有四種情況。1. 將一般位置直線變換為投影面平行線3.5.3 換面法的基本作圖2. 將投影面平行線變換為投影面垂直線 新軸與新的水平投影垂直；新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。1c(d1)圖2.49 投影面平行線變換成投影面

39、垂直線a) 立體圖b) 投影圖X1HV1O13.5.3 換面法的基本作圖一般位置直線變換為正垂線一般位置直線一次變換平行線二次變換垂直線V1H1X2垂直a2(b2)圖4-8 一般位置直線變換成垂直線V1HX1aa bbVXHa1實(shí)長平行b13.5.3 換面法的基本作圖3. 將一般位置平面變?yōu)橥队懊娴拇怪泵?分析 ： 將一般位置平面變換為投影面垂直面，可在新投影面上求得該平面對原投影面的傾角 .如圖2.51所示。其方法是讓所作的新投影面同時垂直于給定的一般位置平面ABC 和原體系中保留的投影面，則平面ABC與保留的投影面在新投影面上的投影積聚為兩條直線，它們之間的夾角即為兩平面之間的二面角，亦即

40、該平面ABC對保留的投影面的傾角。 圖2.51 一般位置平面變換為投影面鉛垂面a) 立體圖b) 投影圖3.5.3 換面法的基本作圖VHXaxabX1V1cckkBK新投影面應(yīng)垂直于平面內(nèi)的平行線！圖4-10 一般位置平面變換為正垂面直觀圖ax1cx1bx1abbxAC a1(k1)b1c13. 將一般位置平面變?yōu)橥队懊娴拇怪泵?.5.3 換面法的基本作圖kkb1c1HV1X1垂直平面有積聚性的投影步驟：找平面內(nèi)的水平線;平面變成垂直面，有積聚性，反映平面與H面的夾角。建新軸V1/H垂直于ak，AK變成正垂線;圖4-11 一般位置平面變換為正垂面投影圖作圖: 將一般位置平面變?yōu)檎姑娴耐队皥D。a

41、aXVHcbcba1 (k1)3.5.3 換面法的基本作圖4. 將投影面垂直面變?yōu)橥队懊娴钠叫忻?將投影面垂直面變換為投影面平行面，可在新投影面上得到該平面的實(shí)形。如圖2.52(a)所示，欲求作鉛垂面ABC的實(shí)形，須保留H面，作新投影面V1平行于ABC。顯然，此時V1也同時垂直于H面，并與H面組成了一個新的投影體系V1/H ，ABC則變換成了該體系中的正平面。作圖時如圖2.52(b)所示，首先作X1軸平行于ABC的水平積聚性投影abc，然后應(yīng)用投影換面規(guī)律求出ABC各頂點(diǎn)在新投影面的新投影a1、b1、c1，最后連成a1b1c1即是ABC的實(shí)形。圖2.52 鉛垂面變換為正平面a) 立體圖 b)

42、投影圖3.5.3 換面法的基本作圖 一般位置平面變換為投影面的平行面，必須經(jīng)過二次換面。V1H2X2a2b2c2平 行實(shí)形圖2.53 一般位置平面變換為水平面aaXVHcbcbkkb1c1HV1X1a1 (k1)3.5.4 換面法的解題舉例 掌握了換面法，我們在圖解、圖示幾何問題時，就可以利用它把一般位置的直線或平面變換成特殊位置的，從而達(dá)到解題的目的。【例2.11】 如圖2.54所示，求一般位置直線MN與ABC平面的交點(diǎn)K，并判斷MN的可見性。分析: 由圖2.54(a)所示,直線與平面都是一般位置,若其中之一垂直于投影面時，那么可利用積聚性直接作圖。因此，可將ABC平面變換成投影面垂直面或?qū)⒅本€變換成投影面垂直線，而后者則需兩次變