高中08排列組合、二項定理、概率與統(tǒng)計

1、.分類計數原理(加法原理)N =m1 +m2十|+mn.分步計數原理(乘法原理) N = m1Mm2Mli |父mi.排列數公式n!* 一An =n(n 1)(n m +1)=.( n , mCN,且 mwn).(n -m)Aln!=n(n-1)(n-2)？ -(he n*)注：規(guī)定0!=1.組合數公式八 m Am n(n -1) (n -m 1) n*Cn = = -=(nCN, m=N,且 mwn).Am12 m m! (n - m)!組合數的幾個性質m n mm m mn =CnCn +Cn =Cn 1nc Cn =c； +c：+c： +c； +Cn =2n 注：規(guī)定 co =1.r 0

2、.排列組合應用題原則：分類后分步，先選后排，先特殊后一般解法：相鄰問題“捆綁法”，不相鄰“插空法”，特殊元素“定位法”，復雜問題“排除法”依據：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合規(guī)律：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法，還記得什么時候用隔板法？.二項式定理(a +b)n =C；an +C：anb + C：an/b2 +C；anbr 十一 +Cnbn ；二項展開式的通項公式Tr+1= C； an-rbr (r =0,1,2，n).備注：C：-第r+1項二項式系數性質：所有二項式系數和為 2n中

3、間項二項式系數最大f (x) =(ax +b)n =為 +ax +a2x2 +|+anXn 的展開式的系數關系：a。+a+a2 + 川+an =f(1); a。a1 + a2+111+(-1)% = f (T); a。= f (0)。.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取;系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個數較多時，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個；分層 抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個個體被抽到 的概率相等。用總體估計樣本的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。.確定性事件

4、：必然事件不可能事件隨機事件：0 WP（A）W1樣本相關系數的計算公式n _ _（知如切r二P - 2n ZZ（xrx）z i （yry）1=18.古典概型:mA包含的基本事件個數（）=n（總的基本事件個數）求基本事件個數：列舉法、圖表法9.幾何概型A的區(qū)域長度（面積或體區(qū)域總長度（面積或體積)W注：試驗出現(xiàn)的結果無限個.常用抽樣（不放回）簡單隨機抽樣：逐個抽?。▊€數少）系統(tǒng)抽樣：總體均分，按規(guī)則抽?。▊€數多）分層抽樣：總體分成幾層，各層按比例抽取（總體差異明顯）.用樣本估計總體眾數：出現(xiàn)次數最多的數據一1 n平均數：x = 為n i 1中位數：按從小到大，處在中間的一個數據（或中間兩個數的平

5、均數）一一 21 J , 一、八 一萬差S = Z （Xi - x）標傕差s 極差S超大數-最小數 n yXX 2Xn212/、2/、2r平均數：X = 萬差：s = (x1 - x) + (x2 -x) + (xn - x)nn標準差：s= 1(X1 X)2 +(X2 X)2 + (Xn X)212.方差公式.2. 2. 2D = % -EpiX2 -EP2 HI xn-Epn 山標準差C- = , D .方差的性質:D(a： +b 尸a2Dt .(2)若七B(n, p)則 DU =np(1 p).若乂服從幾何分布，且P仔=k）=g（k，p） =qk,p,則(4)方差與期望的關系：D： =E

6、 （E* ）.方差與期望的關系D =E，2 -(EL)：.頻率分布直方圖一、.一, 頻率 u 小長方形面積=組距x 1=頻率組距各小長方形面積之和為眾數一最高矩形中點的橫坐標中位數一垂直于X軸且平分直方圖面積的直線與X軸交點的橫坐標.莖葉圖：由莖葉圖可得到所有的數據信息如眾數、中位數、平均數等16.條件概率公式（理）P(B|A)=P(ABP互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件p a!Jb)=p(A) p(B)對立事件：兩個互斥事件必有一個發(fā)生互斥事件A B分別發(fā)生的概率的和n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和17.獨立事件 A B同時發(fā)生的概率獨立事件同時發(fā)生的概率n個獨立事件同時發(fā)生的概率n次獨立重復

7、試驗中某事件恰好發(fā)生P(A)=1 - P(B)P(A + B)=P(A) + P(B).P(A1 + A2+ + An)=P(A1)+ P(A2)+ +P(An).P(A B)= P(A) P(B).P(A B)= P(A) P(B);P(A1 -2n)=P(A 1) P(A2) P(Ak 次的概率：Pn（K ）=C：pk（1 p 尸18.常用分布兩點分布 B(1,P)： E(X) = p二項分布B(n,P):期望公式 E(X)=np方差公式 D(X)=np(1 P)P(X=k)=C：pkqn”超幾何分布H（N,M,n）：E(X)二n MM D(X)-n(1 -N、N - nj P(x=k)

8、= ?19.數學期望Et=xiP +x2p2+n|H-xnP1 +m數學期望的性質:（i）E(a +b) =aE)+b.(2)若巴B（n，p），則 E：=ripk E：若服從幾何分布，且耍=k） =g（k, p） =q7P，則p。120.正態(tài)分布留度函數：f (x )= e xW (-0cl +看)2 62、的概率:仃（仃0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差.）對于N（N尸），取值小于,x _ N )F (x尸【仃JP x1 : x0 : x2= P x : x2 )-P x : x1o性質：曲線在x軸上方、關于x= N對稱,曲線與x軸圍成面積為1變量在區(qū)間（a,b）內取值的概率等于密度曲

9、線與x軸、直線x = a、x = b 所圍成曲邊梯形的面積Xy標準正態(tài)分布曲線x2）e （ 2明中陰影部分面積表示概率P（x ： X0 ）13.標準正態(tài)分布N（0,1）:X E(X) =0,D(X) = 1P(X a) =(a)可查表P(a :二 Jb) = (b) _ (a) a :二 0, (a) =1 - (-a) a = 0, (0) =0.5正態(tài)分布N（N,。2）：E( X)=，D(X) = :-2.a -P(X ：二 a) = F(a)=()crP(a b) = F (b) - F (a)P(X - a) =1 -P(X :二 a).21.回歸直線方程（最小二乘法）回歸直線方程：y

10、=a+bx,其中v X -X y -y回歸系數： (x -x fa = y -bxna Z (修。)(y廣7)i=l2i=lnE城i=l-nxla = y-bx92-2n（ac -bd）K 二.性檢驗（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.古典概型的計算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復、不遺漏）統(tǒng)計.總體和樣本：在統(tǒng)計學中，把研究對象的全體叫做總體.把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數叫做總體容量.為了研究總體x的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：M, %,，4研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.2、簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就

11、是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同。（總體個數較少）3、簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機數表法；計算機模擬法；4、系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（總體個數較多）K （抽樣距離）=N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）5、分層抽樣：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。先以

12、分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）6、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表一一數據詳實頻率分布直方圖一一分布直觀頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數重復寫。概率一、概念1、事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；（1）必然事件：在條件 S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件 S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的

13、不可能事件；（3）隨機事件：在條件 S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果；古典概型的特點：基本事件可列舉；每個基本事件都是等可能發(fā)生概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率p（A）=mn3、幾何概型：特點：所有的基本事件是無限個；每個基本事件都是等可能發(fā)生。構成事件A的區(qū)域長度（面積或體 積）幾何概型概率計算公式：試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）。4、若An B= 6 ,即不可能同時發(fā)生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互斥；5、若A A B為不可

14、能事件，AU B為必然事件，即不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；二、概率的基本性質：1）必然事件概率為 1,不可能事件概率為 0,因此0WP（A）W1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P（AU B）= P（A）+ P（B）;3）若事件A與B為對立事件，則 A U B為必然事件，所以 P（A U B）= P（A）+ P（B）=1 ,于是有 P（A）=1 P（B）;4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件 B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而