電磁場與電磁波答案

1、第5章時(shí)變電磁場5.1有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動(dòng)，整個(gè)裝置位于正弦時(shí)變磁場B=Q5costmT之中，如題6.1圖所示?；奈恢糜蓌=0.35(1-cos.t)m確定，軌道終端接有電阻R=0.2，試求電流i.ab000110.2mR:o0OQ14d2I0.7m題6.1圖解穿過導(dǎo)體回路abcda的磁通為-B|_dS二ezBJezadab=5cos，t0.2(0.7-x)cost0.7-0.35(1-cos，t)=0.35cost(1cost)故感應(yīng)電流為.Ein1dIRRdt10.35sint(12cost)-1.75sint(12cost)mAR5.2根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻

2、磁場B=ezB0中與z軸平行。設(shè)棒以角速度繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度、體積內(nèi)和表面上單位長度的極化電荷。解介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為r處的感應(yīng)電場為E二vB二erezB0二err-B0故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強(qiáng)度為P=Xe%E=er(%1)気B=erC)B極化電荷體密度為1鬥1鬥P(rP)(；-；0)r2B0rcrrcr-2p)B。極化電荷面密度為p=Pn=erQ齢)rcoBerr=(名B則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長度的極化電荷分別為QP二二a21二-2二a2(；-；0)，B02Qps=2二a16=2二a(；-；0)七05.3平行雙線傳輸線與一矩形回路共面，如題6.3圖所示。設(shè)a=0.2m、b=c=

3、d=0.1m、i=1.0cos(2兀x107t)A，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解由題給定的電流方向可知，雙線中的電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，垂直于紙面向內(nèi)的。故回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為d在回路中都是式中Ein-JdtBdSFB左dSB右dS%iEin址B2兀(b+c+d_r)bc,_oiB左dS二*s0aibcadr=ln()2二r2-b.嚴(yán)%iaib+cB右dS-adr-ln()sd2二(bcd-r)2二b-2迪心)dt2二b一加1n(bC)Q1.0cos(2二107t)r，a2b2bdtx10Jx0277ln2sin(2二107t)2二107VJI=3.484sin(2二107t)V5.4供應(yīng)電壓

4、解有一個(gè)環(huán)形線圈，導(dǎo)線的長度為I，分別通過以直流電源供應(yīng)電壓U（t）。討論這兩種情況下導(dǎo)線內(nèi)的電場強(qiáng)度設(shè)導(dǎo)線材料的電導(dǎo)率為，橫截面積為S,則導(dǎo)線的電阻為lR=YS而環(huán)形線圈的電感為L,故電壓方程為U二RiL電dtdi-0當(dāng)U=U時(shí)，電流i也為直流，dtU0和時(shí)變電源。故U。二Ri二JS二丄J=E此時(shí)導(dǎo)線內(nèi)的切向電場為E=U：叫0當(dāng)U=U(t)時(shí)，dt，故U(t)二Ri(t)L警二RE(t)SL(E(t)S)dtdt二丄E(t)SLS也SdtdE(t)IE(t)U(t)dtLS一LS求解此微分方程就可得到E(t)。5.5一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，長為I。設(shè)外加電壓為Uos

5、i，試計(jì)算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。解當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時(shí)，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時(shí)的電場分布可視為相同(準(zhǔn)靜態(tài)電場)，即U0sincotE=errIn(ba)故電容器兩極板間的位移電流密度為:DU0coster二.rIn(ba)id二Jds2二；IdS；ererrddzrIn(ba)亦U0COStCU0COSt.:t2二；IDd.二訪.TT7d，dS=qsE=erq4二；r2C=式中，ln(ba)是長為I的圓柱形電容器的電容。流過電容器的傳導(dǎo)電流為ic=CC；Uocostdt可見id-ic6.6由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度

6、公式和泊松方程。解點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程據(jù)散度定理，上式即為利用球?qū)ΨQ性，得故得點(diǎn)電荷的電場表示式由于lE=0，可取E，則得7:D-E-2=P即得泊松方程5.7試將麥克斯方程的微分形式寫成八個(gè)標(biāo)量方程:坐標(biāo)中；(3)在球坐標(biāo)中。解(1)在直角坐標(biāo)中;在圓柱(2)(1)在直角坐標(biāo)中汨z汨ycz汨X出z；z.:x:Hy:y-:Ez：Ey:y.:z:Ex遲:z:x:Ey遲.X：Bxy.X:y：Dy:x仁Hz：H-r:zrHr汨z:z:r1亠(rH)-r:r仁Ez:E.r:.z：Ez在圓柱坐標(biāo)中二JxDx；：t：Dyy；：t:Q；:tjt=Hy=:：tHo:z.-z:tJ牛仁Hr=jr：z

7、(3)在球坐標(biāo)系中:z：r：t1仁Eri-(EA-.:Hz從J1(rBr)皂=0r.rr-z仁(D)-衛(wèi)至r.rr/.z-亠（sinH）-rsin11；Hrrsin；：嚴(yán))JcDr=Jr；：tqrtJ冶屮ctct1牴*(列7警、rH(r2Br)丘邙曲旳丘手=1；：21；：1：Dr1片（rHJr；r1rsin一r5.8提示解將已知的式中已知在空氣中E色in10二xcos：偵-，求日和二:將E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可求得：。電場E應(yīng)滿足波動(dòng)方程-21“E-%心ctE二eyEy代入方程，得-22:zEy.:x2-2:Ey小2x:Ey2:z=0-2.:Ey廠=0.:t2-0.1（10：）2sin10

8、二xcos（6109t-4）=0.1sin10二x-：2cos（6二109t-Z）故得則由竺一092ct=0.1%；sin10：x-（6二109）2cos（6109t-1z）-（10二）2-12%；o（6二109）2=0:二300=54.41rad/m.H-:t:H11r：Ey：EyqE-exez.:t丄0J0Z；x1_ex0.1：sin10二xsin(6二109t-z)J09fez0.110二cos10二xcos(6二10t-z)將上式對(duì)時(shí)間t積分，得1H-ex0.1：sin10二xcos(6二109t-z._06-10口ez二cos10二xsin(6二10t：z)=-ex2.310sin1

9、0二xcos(6二10-t-54.41z)-ez1.3310，cos10二xsin(6二10t-54.41z)A/m5.9已知自由空間中球面波的電場為E=e寸Eosinvcos(t-kr)求H和k。解可以和前題一樣將E代入波動(dòng)方程來確定k,也可以直接由麥克斯韋方程求與E相伴的磁場H。而此磁場又要產(chǎn)生與之相伴的電場，同樣據(jù)麥克斯韋方程求得。將兩個(gè)電場比較，即可確定k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。由.H.:t-eE0sinTcos(t-kr)r:r將上式對(duì)時(shí)間將上式對(duì)時(shí)間kt積分，得E0sinrsin(t-kr)kH=eE0sinvcos(，tkr)(1)呱r將式(1)代入旦Ht；0er-01:1

10、乙2(rsi門汕)-e(rsinH)rsinrsin.r2kE0,、k2E0sin日“,J,2cost_kr)_e日0sint_kr)將上式對(duì)時(shí)間t積分，得k2E2匕S何一燈忘SC0S紐一Ek2E2匕S何一燈忘SC0S紐一E將已知的將已知的E=eEosincos（，tkr）r與式（2）比較，可得1含孑項(xiàng)的Er分量應(yīng)略去，且k=.吐。；0，即k將k=護(hù)忑代入式（1），得H=eE0sincos(，tkr)0r二e二e-Esin日cost-kr)A%r5.10試推導(dǎo)在線性、無損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用解注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)7；是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此5.10試推導(dǎo)在線性、無損耗、各向同性的非均勻

11、媒質(zhì)中用解注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)7；是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此E和B表示麥克斯韋方程。=亦11BB42卩而11BB42卩而j衛(wèi)“3二j三t撫ct因此，麥克斯韋第一方程.:t變?yōu)镋1、B-Jt；-丄*!BCt卩又D-（；E）=EE二亍故麥克斯韋第四方程D=-變?yōu)椤則在非均勻媒質(zhì)中，用、E則在非均勻媒質(zhì)中，用二丄；EE和B表示的麥克斯韋方程組為B；工丄ZBct4、E=:B.:tn題6.12圖abcda,ab=cd二I,bc=da二：h0對(duì)該閉合路徑應(yīng)用麥克斯韋第一方程可得QbcHdlaHdlbHCdad|cHd|dHdl二啊0(.Jds-dS)SS(1)5.11寫出在空氣和二的理想磁介質(zhì)之間分界面上

12、的邊界條件。解空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為nE=0n漢H=Js根據(jù)電磁對(duì)偶原理，采用以下對(duì)偶形式EH.-E.JsrJms即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件H2nH=0nE=-Jms式中，Jms為表面磁流密度。5.12提出推導(dǎo)nH1二Js的詳細(xì)步驟。y-co解如題6.12圖所示，設(shè)第2區(qū)為理想導(dǎo)體（2-）o在分界面上取閉合路徑.D因?yàn)閞t為有限值，故上式中rcDIjmdS=0h：0s；：t而（1）式中的另一項(xiàng)因故式（1）可表示為為閉合路徑所包圍的傳導(dǎo)電流。取N為閉合路徑所圍面積的單位矢量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關(guān)系），則有I工(Nn)I(2)(Hr-H2)(Nn)I=J

13、sNI應(yīng)用矢量運(yùn)算公式A(BC)=(CA)B，式(2)變?yōu)閚比-H2NJsN故得n(H1-H2)=Js由于理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率2=：:,故必有E2=0,H2=0，故式(3)變?yōu)閚H1=Js5.13在由理想導(dǎo)電壁(=二)限定的區(qū)域0乞x豈a內(nèi)存在一個(gè)由以下各式表示的電磁場：aT!xEy二Ho=：()sin()sin(kz-，t)TOCo1-5hz兀aa兀xHx二Hok()sin()sin(kz-t)兀a兀xHz二Hocos()cos(kz-t)ax:?.jr_Jrjr.jrjrJr/jfrjrjjr_jrjrao11題6.13圖這個(gè)電磁場滿足的邊界條件如何？導(dǎo)電壁上的電流密度的值如何？解如題6.13

14、圖所示，應(yīng)用理想導(dǎo)體的邊界條件可以得出在x=0處，Ey=0,Hx=0Hz=Hcos(kz-，t)在x=a處，Ey=,Hx=Hz-H0cos(kz-，t)上述結(jié)果表明，在理想導(dǎo)體的表面，不存在電場的切向分量Ey和磁場的法向分量Hx。另外，在x=0的表面上，電流密度為Js二nHlx/ex何Hx飛乙氏)=ex沃ezHz乂出=eyH。cos(kzcot)在x=a的表面上，電流密度則為Js=ZH|x孑Yx“exHx+。乙出兒三=_只ezHzx=-eyH0cos(kz_cot)5.14海水的電導(dǎo)率=4S/m，在頻率f=1GHz時(shí)的相對(duì)介電常數(shù)；r：81。如果把海水視為一等效的電介質(zhì)，寫出H的微分方程。對(duì)于

15、良導(dǎo)體，例如銅，；r=1,=5.710S/m比較在f=1GHz時(shí)的位移電流和傳導(dǎo)電流的幅度?？梢钥闯觯词乖谖⒉l率下，良導(dǎo)體中的位移電流也是可以忽略的。寫出H的微分方程。解對(duì)于海水，H的微分方程為YH=Jjj；E=jG-j-)Ecoy呂c=名一j一即把海水視為等效介電常數(shù)為-的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)，得、E=j2-109(8110J36742二109二j(4.5-j4)E=(4j4.5)E對(duì)于銅，傳導(dǎo)電流的幅度為E，位移電流的幅度，；E。故位移電流與傳導(dǎo)電流的幅度之比為192-f102f-r-0二Y-5.7X107=9.7510-13f可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計(jì)的

16、。故對(duì)于銅,為、HiE=5.7107EH的微分方程5.15計(jì)算題6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬時(shí)能流密度矢量為S=EH二eyEyGHxezHz)二exEyHz-ezEyHx=exHo?sin(x)cosx)sin(kz-t)cos(kz-，t)兀aa2a221X2ezH0，k()sin()sin(kz：t)兀a-exH：sin()cos()sin2(kz-，t)2aa2a22：1X-ezHk()2sin2()1-cos2(kz-，t)兀a為求平均能流密度矢量，先將電磁場各個(gè)分量寫成復(fù)數(shù)形式.ax-ikz士2Ey二H。丄()sin()e2兀aanx-ikzHx=Hk()sin(

17、)e2兀aHz=H0cos(-)eza故平均能流密度矢量為11*Sa2ReEH*=?ReexEyHz-ezEyHx.JI12iax、/二x、j2iReexH0sin()cos()e2-ezH0兀aak(a)2sin2(x)=-ezH；-兀a22sin2(Ja5.16寫出存在電荷和電流密度J的無損耗媒質(zhì)中E和H的波動(dòng)方程。解存在外加源和J時(shí)，麥克斯韋方程組為IH7；主(1)-:t(2)(3)(4)對(duì)式（1）兩邊取旋度，得7:7:H二血JCE)ct7:7:H-H2H、CH=2H二、JCE)et(5)將式（2）和式（3）代入式（5），得%曲空=%過2這就是H的波動(dòng)方程，是二階非齊次方程。同樣，對(duì)式（

18、2）兩邊取旋度，得7:7:ECct、（、Ej，ECHct將式（1）和式（4）代入式（6），得-2-2E=1丄、ra2撫農(nóng)此即E滿足的波動(dòng)方程。對(duì)于正弦時(shí)變場，可采用復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程表示H=Jj；EE=-jlHH=0廠Pz對(duì)式（7）兩邊取旋度，得7:H=J-j沁它E利用矢量恒等式二：H-（IH-v2H得、（、H?2H二Jj；譏化E將式（8）和式（9）代入式（11），得V2H+2；H二J此即H滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對(duì)式（8）兩邊取旋度，得7:E=_八H即C-E_、2H=H(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)將式（7）和式（：10）代入式（12），得221、

19、E+，；E二jJJ-此即E滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍茲方程。5.17在應(yīng)用電磁位時(shí)，如果不采用洛倫茲條件,試導(dǎo)出A和所滿足的微分方程。解將電磁矢量位A的關(guān)系式而采用所謂的庫侖規(guī)范，令A(yù)二i.，B=亦A和電磁標(biāo)量位;：的關(guān)系式;A：=t代入麥克斯韋第一方程cDVH二J土1門HC?A)二J,&(“=J+s京申；:t利用矢量恒等式A八(；?A)_I2Ac-A(、A-、2A=J(A).:t(1)又由E=、(、.)Ct按庫侖規(guī)范，令2（A）二-:t;A=0,將其代入式（1）和式（2）得罟A科2AAJ小產(chǎn)（）Ct2Ctp2=-式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時(shí)，電磁場A和所滿足的微分方程。(2)(3)(4)5.18設(shè)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為E=EoCOSt-e）H=H0COStZm）證明其坡印廷矢量的平均值為1SavpE0HoCOSe-J)解坡印廷矢量的瞬時(shí)值為S=EH二EoCOS,：；-,tJe)H0COS(，tm)1E0H0COSCte亠Ctm)COSte-tm1E0H0【COS