清華電機系 《自動控制原理》離散控制系統(tǒng)

1、六、離散(lsn)控制系統(tǒng)6.1 引言6.2 z變換和z反變換6.3 脈沖傳遞函數(shù)6.4 離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 6.5 離散系統(tǒng)性能分析6.6 數(shù)字(shz)控制器設(shè)計共五十六頁6.1 引言一個系統(tǒng)中，如果控制器是離散的，對象是連續(xù)的，則稱為(chn wi)采樣離散控制系統(tǒng)。如圖系統(tǒng)，虛框中為離散部分而虛框外為連續(xù)部分。迄今，總共有1億多個離散控制系統(tǒng)。共五十六頁數(shù)字控制(shzkngzh)的優(yōu)點：1，占用空間??；2，成本低；3，靈敏、抗干擾性強；4，方便控制算法的重構(gòu)與復(fù)用。在象Boeing757，767自動駕駛系統(tǒng)中沒有數(shù)字控制器其構(gòu)成是不可想象的。在離散控制系統(tǒng)的分析中為方便起見引入以下假設(shè)

2、：1，定時采樣和A/D轉(zhuǎn)換相當(dāng)于一個每隔T秒瞬時接通一次的理想采樣開關(guān)，采樣時間為0，周期為T。2，D/A相當(dāng)于保持器，將數(shù)字信號變?yōu)檫B續(xù)信號。本課程中假設(shè)保持器均為0階保持器：保共五十六頁持器輸出的值在采樣瞬間等于離散(lsn)信號的值，而在兩個采樣瞬時之間保持為常值且等于前一采樣瞬時上的值。若圖中虛線所示連續(xù)部分為u(t)，采樣后為u*(t)，則其對應(yīng)的拉氏變換為共五十六頁零階保持器的拉氏變換為傳遞函數(shù)是分析(fnx)線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具，但對序列u*(t)和零階保持器的拉氏變換表明：在離散系統(tǒng)中沿用傳統(tǒng)的拉氏變換為分析工具在運算中會出現(xiàn)s的超越函數(shù)，帶來不便，采用z變換則可避免這一問題

3、。6.2 z變換和z反變換共五十六頁若令 或 ，則這是一種由s平面到z平面的保角變換，可視為拉氏變換的一種特殊形式。z變換的性質(zhì)：1，線性 2，位移 3，初值 4，終值 （只有 時x(k)收斂(shulin)情況下才能應(yīng)用） 5，復(fù)位移 共五十六頁6，復(fù)微分7，差分 后向 前向8，卷積 反變換方法：1，冪級數(shù)法（長除法）例，適用于簡單函數(shù)(hnsh)，但難以求閉式解。2，部分分式法 共五十六頁3，留數(shù)法6.3 脈沖傳遞函數(shù)及離散動態(tài)(dngti)方程1，取差分方程（前向）若差分定義如上，則用差分表示動態(tài)系統(tǒng)中動 共五十六頁態(tài)環(huán)節(jié)可得到系統(tǒng)的差分方程模型 (6.1)在零初值條件下取z變換，得則

4、(6.2)定義：線性定常離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出(shch)序列的z變換與輸入序列的z變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或稱z傳遞函數(shù)）共五十六頁。則所得的時間序列為零狀態(tài)響應(yīng)，且僅在采樣時刻有效。若取則 R(z)=1, Y(z)=G(z)R(z)=G(z)設(shè)系統(tǒng)沖擊響應(yīng)序列為g(k)，則即脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)沖擊序列的z變換。若輸入系統(tǒng)的為非沖擊序列r(k), 則2，離散動態(tài)方程由描述(mio sh)離散系統(tǒng)動態(tài)特性的差分方程 (6.1)和 共五十六頁(6.2)，可用狀態(tài)變量為基礎(chǔ)列出系統(tǒng)的離散(lsn)動態(tài)方程（單入單出）： (6.3)a，高階差分方程轉(zhuǎn)為離散狀態(tài)空間方程算法：方

5、程(6.2)，將輸出序列補至m=n，多補出項系數(shù)為零。取狀態(tài)變量為共五十六頁 (6.4) 經(jīng)推導(dǎo)可得下列形式(xngsh)的狀態(tài)方程： (6.5)式中一般地，m0 和 0.63K0 共五十六頁 0K4.35取T=0.1，得 0K r(t)=t*1(t)時若定義(dngy) ，則 Kv ess 0型 01型2型共五十六頁3r(t)=0.5t2*1(t)時若定義 ，則令 ，則 Ka ess0型1型2型 說明(shumng)：有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除與開環(huán)傳遞函數(shù) 共五十六頁和輸入有關(guān)外，還與采樣周期有關(guān)；2，上述結(jié)果僅為采樣時刻穩(wěn)態(tài)誤差，采樣時刻間還將有紋波。3，離散系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)分析若典型(dinxn

6、g)輸入信號為1(t)，則 (6.14)故 (6.15)共五十六頁設(shè)其中A0為階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值，其余為暫態(tài)過程。1， 正實數(shù)(shsh)極點， ， 單調(diào)發(fā)散 單調(diào)衰減 等幅序列2，負(fù)實數(shù)極點， ，振蕩頻率 發(fā)散振蕩 衰減振蕩 等幅振蕩3，共軛復(fù)極點， ，ri能控性系統(tǒng) 共五十六頁是否存在控制序列U(0),U(1),U(n-1)使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài) 開始轉(zhuǎn)移(zhuny)，在第n步達到由離散狀態(tài)方程遞推解法則 (6.18)則上式有解的充要條件是n個方程線性無關(guān)，或 且 p=1時 有唯一解；p1時有無窮多解。 共五十六頁例6.9 系統(tǒng)其中(qzhng) 試判別其能控性。解：b*T=1,0,1時則系統(tǒng)

7、能控，b*T=1,2,1時 共五十六頁故系統(tǒng)(xtng)不能控。2，系統(tǒng)能觀性系統(tǒng)是否能由序列y(0), y(1), , y(n-1)唯一地確定初始狀態(tài) ，若能，則稱系統(tǒng)可觀。由系統(tǒng)方程寫成矩陣形式，有 共五十六頁 (6.19)q=1時，rankV=n，（6.19)有唯一解。q1時，有唯一解或最小二乘解。例6.10 離散系統(tǒng)其中(qzhng)C*=c*T=0,1,0或 , 判別其能觀性。 共五十六頁解：C*=0，1，0時系統(tǒng)(xtng)能觀。當(dāng) ，系統(tǒng)不能觀。共五十六頁連續(xù)系統(tǒng)(xtng)與其離散化的相應(yīng)離散系統(tǒng)(xtng)關(guān)系：* 連續(xù)系統(tǒng)A,B,C不能控（或不能觀），則A*,B*,C*必不

8、能控（或不能觀）。*連續(xù)系統(tǒng)A,B,C能控（或能觀），則A*,B*,C*不一定能控（或能觀），能否能控或能觀取決于采樣周期T的選擇，但符合以上判據(jù)。6.6 數(shù)字控制器設(shè)計如圖，若將A-B以下視為連續(xù)系統(tǒng)，則系統(tǒng)變?yōu)檫B續(xù)系統(tǒng)。若將AB以上視為離散系共五十六頁統(tǒng)。 共五十六頁1，模擬化設(shè)計方法若采樣頻率比系統(tǒng)工作頻率高得多（ ），忽略采保引入的影響，可將離散部分用連續(xù)控制器代替，用模擬化方法設(shè)計得模擬控制器后，再用適當(dāng)方法（如雙線性變換）離散化得到Gc(z)以便用微機實現(xiàn)。關(guān)于系統(tǒng)的截止頻率和采樣頻率關(guān)系不一定(ydng)總滿足，這種方法有時有較大誤差，此處不再展開。2，數(shù)字化設(shè)計方法采用數(shù)字化設(shè)

9、計方法，可不忽略采保影響。其思路為首先將連續(xù)部分離散化，然后與數(shù)字控共五十六頁制器Gc(z)串聯(lián)，把整個系統(tǒng)作為完全的離散系統(tǒng)按數(shù)字化方法設(shè)計。A，最少拍控制系統(tǒng)的z域設(shè)計法如圖系統(tǒng)Gp(z)包含零階保持(boch)器和被控對象， Gc(z)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。則 (6.20) (6.21)共五十六頁 設(shè) （6.22)代表不同(b tn)的典型輸入，若最少拍系統(tǒng)使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0，則 （6.23)式中MN，F(xiàn)(z)為不含(1-z-1)因子的z-1多項式，通常取M=N, F(z)=1, 則 (6.24)式中B(z)為階次為（N-1）的z的多項式。則 (6.25)共五十六頁為使(6.25)

10、中Gc(z)可實現(xiàn)，設(shè)n、m分別為對象Gp(z)分母和分子多項式階次，則 或 (6.26) 也就是說，對象極點數(shù)只能比零點數(shù)多1，否則F(z)=1時Gc(z)不可(bk)實現(xiàn)。這種情況下要實現(xiàn)Gc(z)必須使 ，此處不再展開。例6.11系統(tǒng)如圖所示，Gh(s)為零階保持器，共五十六頁 ，設(shè)采樣周期T=1s，當(dāng)輸入為速度信號時，按最少拍設(shè)計數(shù)字控制器Gc(z)。解：系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)為對速度信號，最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為因n=2, m=1, Gc(z) 按(6.25)可實現(xiàn)(shxin)，則則單位速度輸入作用下有共五十六頁單位(dnwi)階躍輸入作用下有 共五十六頁內(nèi)容摘要六、離散控制系統(tǒng)。本課程中假設(shè)保持器均為0階保持器：保。若差分定義如上，則用差分表示動態(tài)(dngti)系統(tǒng)中動。脈沖傳遞函數(shù)實現(xiàn)至離散狀態(tài)