平移與旋轉(zhuǎn)前后聯(lián)系

1、全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于本單元內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)要求第一學(xué)段（13年級(jí)） 二、空間與圖形 3圖形與變換 （1）結(jié)合實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱現(xiàn)象。例：在下列現(xiàn)象中，哪些是平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象? （1）方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)； （2）水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)； （3）電梯的上下移動(dòng)； （4）鐘擺的運(yùn)動(dòng)。（2）能在方格紙上畫出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。第二學(xué)段（46年級(jí)） 二、空間與圖形3圖形與變換 （3）通過觀察實(shí)例，認(rèn)識(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90。（4）欣賞生活中的圖案，靈活運(yùn)用平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。第三學(xué)段（79年級(jí)） 二、空間與圖形2圖形與變換（2）圖形

2、的平移通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì)。能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形。利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，認(rèn)識(shí)和欣賞平移在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形。能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)。靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。*平移、旋轉(zhuǎn)，再加上已經(jīng)學(xué)習(xí)過的軸對(duì)稱，這三種圖形變換，統(tǒng)稱為“全等變換”?！叭茸儞Q”在九年

3、義務(wù)教育的三個(gè)學(xué)段，都安排了學(xué)習(xí)。所以，本單元的基本知識(shí)是很簡(jiǎn)單的，小學(xué)生都可以掌握好。作為中學(xué)生，在學(xué)習(xí)“全等變換”時(shí)，應(yīng)該注意什么呢？一、概念的準(zhǔn)確掌握。語言敘述的完整和嚴(yán)謹(jǐn)。二、更重要的是體會(huì)，“全等變換”在圖形問題的思維中的重要性。平移的定義：將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。平移的基本性質(zhì)：（1）平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個(gè)圖形是全等形)，只是位置發(fā)生變化。 經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等（對(duì)應(yīng)線段相等，即不改變圖形的大小）；經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)角相等（對(duì)應(yīng)角相等，即不改變圖形的形狀）；經(jīng)過平移，

4、對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行（或共線）且相等（即不改變圖形有方向）； (2)平移是由方向，距離決定的（平移的兩個(gè)要素）。 (3)多次平移相當(dāng)于一次平移。（4）偶數(shù)次軸對(duì)稱（對(duì)稱軸平行）或中心對(duì)稱后（簡(jiǎn)說為“2N次對(duì)稱后”）的圖形等于平移后的圖形。 平移的畫法：一、根據(jù)平移的定義畫。1、根據(jù)平移的方向和距離，畫出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有要素點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。3、根據(jù)平移后的要素點(diǎn)，畫出平移后的圖形。說明：要素點(diǎn)，即用以確定圖形的形狀的點(diǎn)?？梢栽趫D形上，如線段的端點(diǎn)；也可以不在圖形是，如圓的圓心。二、根據(jù)平移的性質(zhì)畫。（只適用于由直線或線段組成的圖形）1、根據(jù)平移的方向和距離，畫

5、出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有的對(duì)應(yīng)線段或直線。平移的思維作用:平移常與 HYPERLINK /view/67614.htm 平行線有關(guān)。所以，畫平行線是解決圖形問題時(shí)，經(jīng)常使用的輔助線。平移可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形平移到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。例1：平行四邊形面積公式，就是用平移的方法得到的。從而得到：等底等高的平行四邊形面積相等。再得到：等底等高的三角形面積相等。例2：求此圖形的周長(zhǎng)。圖形由6條線段圍成，且其中4條線段還不知道長(zhǎng)度。利用平移，把圖形變換成求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。得圖形周長(zhǎng)=（3+5）*2=16例3：如圖：長(zhǎng)11米寬31米

6、的長(zhǎng)方形草地內(nèi)，有兩條寬1米的小道，求陰影部分的面積。利用平移，把小道平移到邊上，這樣就把四個(gè)小塊陰影部分，集中到了一起。得出陰影部分面積=（31-1）*（11-1）=300（平方米）例4：如圖，直角梯形ABCD中，AB=8，CD=2，BC=8，求AD的長(zhǎng)。利用平移，將AD移動(dòng)后，組成直角三角形。由勾股定理得，AD=根號(hào)（6方+8方）=10旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做 HYPERLINK /view/3934559.htm 旋轉(zhuǎn)角。 旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀、大小(旋

7、轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等形)，但是方向和位置發(fā)生變化。 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)線段相等（即不改變圖形的大?。?；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)角相等（即不改變圖形的形狀）；(2)旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度。 注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形變換的結(jié)果就會(huì)不一樣。 (3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（可聯(lián)想到扇形，等腰三角形）。（4）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（5）對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。 （6）繞同一個(gè)定點(diǎn)多次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)。（7）偶數(shù)次軸對(duì)稱（對(duì)稱軸交于一點(diǎn)）后的圖形等于旋轉(zhuǎn)后的圖形。 旋轉(zhuǎn)的畫法：一般旋轉(zhuǎn)沒有什么特別的畫法，就是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形

8、繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè) HYPERLINK /view/524959.htm 角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（ 0度 旋轉(zhuǎn)角360度）。常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有： HYPERLINK /view/476943.htm 線段、 HYPERLINK /view/793578.htm 正多邊形、 HYPERLINK /view/124728.htm 平行四邊形、 HYPERLINK /view/323536.htm 圓 等。 例（1） 正多邊形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，偶數(shù)邊的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形。正多邊形最小旋轉(zhuǎn)角等于360除以邊數(shù)。 例（

9、2）線段、長(zhǎng)方形、平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形；等腰梯形不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 注：所有的 HYPERLINK /view/314203.htm 中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 圓的旋轉(zhuǎn)角為任意角。旋轉(zhuǎn)的思維作用:旋轉(zhuǎn)與平移一樣，可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形移動(dòng)到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。旋轉(zhuǎn)常與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有關(guān)，而且由于旋轉(zhuǎn)時(shí)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”，所以等腰三角形也會(huì)使用到旋轉(zhuǎn)。（對(duì)于等腰三角形，也可以看是線段旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成兩腰。）再由等腰三角形拓展，當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩條線段長(zhǎng)度相等地，且有一個(gè)公共端點(diǎn)，則可能使用旋轉(zhuǎn)方法。例1：等邊三角形ABC中有一點(diǎn)D，使得DA

10、=3，DC=4，DB=5，求角ADC分析：由3，4，5很容易想到勾股定理，可是它們并不在一個(gè)三角形中，怎么辦？旋轉(zhuǎn)呀！將三角形ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60度到三角形ACE。則三角形ADE是等邊三角形，角ADE是60度，DE=AD=4，又CE=BD=5得角EDC=90度最后得角ADC=90度+60度=150度。*例2：如圖，B在AD上，三角形ABC和BDE都是等邊三角形，請(qǐng)說明CD和AE的關(guān)系。分析：CD在三角形CDB中，另兩邊CB和BD分別是兩等邊三角形的邊。同樣，AE在三角形AEB中，另兩邊AB和BE分別是兩等邊三角形的邊。且有一個(gè)公共點(diǎn)B?？捎眯D(zhuǎn)說明，三角形ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60度，可得到三角形C

11、BD，所以，AE=CD。*例3：如圖，正方形ABCD中，E在BC上，F(xiàn)在CD上，BE+DF=EF，求角EAF。分析：條件中BE+DF=EF，而BE和DF不在一起，應(yīng)該想辦法移到一起，而正方形鄰邊相等，正好做旋轉(zhuǎn)。將直角三角形ADF繞A旋轉(zhuǎn)90度到三角形ABP，則角PAF=90度，PE=EF，AP=AF即三角形PAE與FAE成軸對(duì)稱，得角EAF=90度/2=45度。*例4：如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，角ABC+角AED=180度，請(qǐng)說明AD平分角CDE。分析：此題同樣是出現(xiàn)了有公共端點(diǎn)且相等的兩邊，也出現(xiàn)了已知條件中不在一起的線段BC和DE，不在一起的角ABC和角AE

12、D，利用旋轉(zhuǎn)。將三角形ADE旋轉(zhuǎn)到三角形AFB，得FC=CD，AF=AD，進(jìn)而得角ADC=角AFC=角ADE從而說明AD平分角CDE。中心對(duì)稱把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特殊情況，旋轉(zhuǎn)角是180度，正好成一條直線。中心對(duì)稱可以簡(jiǎn)稱為點(diǎn)對(duì)稱，軸對(duì)稱可以簡(jiǎn)稱為線對(duì)稱，一般說“對(duì)稱”，就是說這兩種情況。中心對(duì)稱的性質(zhì)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。 即對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。（軸對(duì)稱

13、是垂直平分） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。（又是平行且相等，不過，與平移不同的是，對(duì)應(yīng)線段的方向是相反的。） 中心對(duì)稱的畫法一是根據(jù)定義畫。即用旋轉(zhuǎn)的方法。但由于180度的特殊性，不使用量角器即可畫出。1、從要素點(diǎn)開始，連接對(duì)稱中心，并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上取要素點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。對(duì)稱中心是要素點(diǎn)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)。2、用上1 方法，畫出所有要素點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。3、連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，畫出中心對(duì)稱后的圖形。二、根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)畫。（只適用于由直線或線段組成的圖形）1、用“一“的方法畫出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有的對(duì)應(yīng)線段或直線。（注意：方向相反）中心對(duì)稱圖

14、形在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形一樣，都是描述圖形的整體特征對(duì)稱性的。我們?cè)谟^察或描述一個(gè)圖形時(shí)，首先要看整體，即對(duì)稱性；再分別看邊、角、對(duì)角線等。中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。（對(duì)稱中心是中點(diǎn)，所以，中心也就可能成為對(duì)稱中心。） 過對(duì)稱中心的任意一條直線，可以把圖形分成全等的成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形。（包括面積相等哦。）常見中心對(duì)稱圖形 HYPERLINK /view/150124.htm t _blank 矩形， HYPER

15、LINK /view/133728.htm t _blank 菱形， HYPERLINK /view/56164.htm t _blank 正方形， HYPERLINK /view/124728.htm t _blank 平行四邊形， HYPERLINK /view/323536.htm t _blank 圓,正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)），線段，直線等。此外，以后要學(xué)的函數(shù)圖像中，反比例函數(shù)的圖像雙曲線是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。實(shí)際上，除了直線外，所有中心對(duì)稱圖形都只有一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。注意：正偶邊形是中心對(duì)稱圖形，正奇邊形不是中心對(duì)稱圖形 。說下語文某對(duì)稱（包括中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等）

16、，是說兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。某對(duì)稱在使用時(shí)，應(yīng)該說：兩圖形“成”某對(duì)稱，或者，兩圖形“關(guān)于某點(diǎn)（或某線）”對(duì)稱。*某對(duì)稱圖形，是說一個(gè)圖形的整體特征。某對(duì)稱圖形在使用時(shí)，應(yīng)該說：圖形是某對(duì)稱圖形。*從以上可以看出，某對(duì)稱圖形是名詞，而某對(duì)稱是形容詞，并引申為動(dòng)詞。中心對(duì)稱的思維作用中心對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)、平移一樣，可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形移動(dòng)到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。中心對(duì)稱圖形中用到中心對(duì)稱就不多說了。在下一章“平行四邊形”中，會(huì)經(jīng)常用到。由于對(duì)稱中心平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線，即對(duì)稱中心是兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)，所以，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，可使用中心對(duì)稱。如果題目已出現(xiàn)平行，

17、則可選非平行線的中心做對(duì)稱中心。由于對(duì)應(yīng)線段平行且相等，使用中心對(duì)稱時(shí)，所用輔導(dǎo)線就是平行線。由于過對(duì)稱中心的任意直線將中心對(duì)稱圖形分成全等且成中心對(duì)稱的兩部分。所以，涉及面積平分，也使用中心對(duì)稱，不過這時(shí)是找對(duì)稱中心。例1：梯形的面積公式就使用了中心對(duì)稱。因兩底平行，利用腰上的中點(diǎn)做中心對(duì)稱?？梢宰兂善叫兴倪呅?，平行四邊形的底是梯形的（上底+下底）/2?？尚淖兂扇切危切蔚牡资翘菪蔚纳系?下底。都得到梯形面積公式：（上底+下底）*高/2而且第一種，還得到梯形中位線公式。（這在以后會(huì)學(xué)到用到。）*例2：如圖，BC平分EF，BE=CF，試說明AB=AC。條件中的BE=CF，兩線段沒有直接關(guān)系，得移動(dòng)，再加上D是EF中點(diǎn)，選擇中心對(duì)稱。做EG平行AF，交BC于G，因中心對(duì)稱，得EG=CF=BE然后你就會(huì)說明AB=AC了。*例3：如圖，將類似L型的圖形面積平分。把圖形用割或補(bǔ)的方法，變出兩個(gè)中心對(duì)稱圖形，再取兩個(gè)對(duì)稱中心，過兩對(duì)稱中心的直線，將圖形面積平分。如果你觀察細(xì)心，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？不錯(cuò)，符合要求的三條直線L1、L2、L3都交于一點(diǎn)。而且過這一交點(diǎn)的所有直線都可以將圖形面積平分。因?yàn)檫@一交點(diǎn)，就是該圖形的重