平移與旋轉(zhuǎn)前后聯(lián)系

1、全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于本單元內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)要求第一學(xué)段（13年級） 二、空間與圖形 3圖形與變換 （1）結(jié)合實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象。例：在下列現(xiàn)象中，哪些是平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象? （1）方向盤的轉(zhuǎn)動； （2）水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動； （3）電梯的上下移動； （4）鐘擺的運(yùn)動。（2）能在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。第二學(xué)段（46年級） 二、空間與圖形3圖形與變換 （3）通過觀察實(shí)例，認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90。（4）欣賞生活中的圖案，靈活運(yùn)用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。第三學(xué)段（79年級） 二、空間與圖形2圖形與變換（2）圖形

2、的平移通過具體實(shí)例認(rèn)識平移，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì)。能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，認(rèn)識和欣賞平移在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)通過具體實(shí)例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)。靈活運(yùn)用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。*平移、旋轉(zhuǎn)，再加上已經(jīng)學(xué)習(xí)過的軸對稱，這三種圖形變換，統(tǒng)稱為“全等變換”?！叭茸儞Q”在九年

3、義務(wù)教育的三個(gè)學(xué)段，都安排了學(xué)習(xí)。所以，本單元的基本知識是很簡單的，小學(xué)生都可以掌握好。作為中學(xué)生，在學(xué)習(xí)“全等變換”時(shí)，應(yīng)該注意什么呢？一、概念的準(zhǔn)確掌握。語言敘述的完整和嚴(yán)謹(jǐn)。二、更重要的是體會，“全等變換”在圖形問題的思維中的重要性。平移的定義：將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移。平移的基本性質(zhì)：（1）平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個(gè)圖形是全等形)，只是位置發(fā)生變化。 經(jīng)過平移，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等（對應(yīng)線段相等，即不改變圖形的大?。唤?jīng)過平移，對應(yīng)角相等（對應(yīng)角相等，即不改變圖形的形狀）；經(jīng)過平移，

4、對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行（或共線）且相等（即不改變圖形有方向）； (2)平移是由方向，距離決定的（平移的兩個(gè)要素）。 (3)多次平移相當(dāng)于一次平移。（4）偶數(shù)次軸對稱（對稱軸平行）或中心對稱后（簡說為“2N次對稱后”）的圖形等于平移后的圖形。 平移的畫法：一、根據(jù)平移的定義畫。1、根據(jù)平移的方向和距離，畫出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有要素點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。3、根據(jù)平移后的要素點(diǎn)，畫出平移后的圖形。說明：要素點(diǎn)，即用以確定圖形的形狀的點(diǎn)?？梢栽趫D形上，如線段的端點(diǎn)；也可以不在圖形是，如圓的圓心。二、根據(jù)平移的性質(zhì)畫。（只適用于由直線或線段組成的圖形）1、根據(jù)平移的方向和距離，畫

5、出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有的對應(yīng)線段或直線。平移的思維作用:平移常與 HYPERLINK /view/67614.htm 平行線有關(guān)。所以，畫平行線是解決圖形問題時(shí)，經(jīng)常使用的輔助線。平移可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形平移到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。例1：平行四邊形面積公式，就是用平移的方法得到的。從而得到：等底等高的平行四邊形面積相等。再得到：等底等高的三角形面積相等。例2：求此圖形的周長。圖形由6條線段圍成，且其中4條線段還不知道長度。利用平移，把圖形變換成求長方形的周長。得圖形周長=（3+5）*2=16例3：如圖：長11米寬31米

6、的長方形草地內(nèi)，有兩條寬1米的小道，求陰影部分的面積。利用平移，把小道平移到邊上，這樣就把四個(gè)小塊陰影部分，集中到了一起。得出陰影部分面積=（31-1）*（11-1）=300（平方米）例4：如圖，直角梯形ABCD中，AB=8，CD=2，BC=8，求AD的長。利用平移，將AD移動后，組成直角三角形。由勾股定理得，AD=根號（6方+8方）=10旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，簡稱旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做 HYPERLINK /view/3934559.htm 旋轉(zhuǎn)角。 旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀、大小(旋

7、轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等形)，但是方向和位置發(fā)生變化。 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)線段相等（即不改變圖形的大?。?；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)角相等（即不改變圖形的形狀）；(2)旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度。 注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形變換的結(jié)果就會不一樣。 (3)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（可聯(lián)想到扇形，等腰三角形）。（4）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（5）對應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。 （6）繞同一個(gè)定點(diǎn)多次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)。（7）偶數(shù)次軸對稱（對稱軸交于一點(diǎn)）后的圖形等于旋轉(zhuǎn)后的圖形。 旋轉(zhuǎn)的畫法：一般旋轉(zhuǎn)沒有什么特別的畫法，就是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫。旋轉(zhuǎn)對稱圖形把一個(gè)圖形

8、繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè) HYPERLINK /view/524959.htm 角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（ 0度 旋轉(zhuǎn)角360度）。常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有： HYPERLINK /view/476943.htm 線段、 HYPERLINK /view/793578.htm 正多邊形、 HYPERLINK /view/124728.htm 平行四邊形、 HYPERLINK /view/323536.htm 圓 等。 例（1） 正多邊形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，偶數(shù)邊的正多邊形還是中心對稱圖形。正多邊形最小旋轉(zhuǎn)角等于360除以邊數(shù)。 例（

9、2）線段、長方形、平行四邊形、圓是中心對稱圖形；等腰梯形不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。 注：所有的 HYPERLINK /view/314203.htm 中心對稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。 圓的旋轉(zhuǎn)角為任意角。旋轉(zhuǎn)的思維作用:旋轉(zhuǎn)與平移一樣，可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形移動到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。旋轉(zhuǎn)常與旋轉(zhuǎn)對稱圖形有關(guān)，而且由于旋轉(zhuǎn)時(shí)“對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”，所以等腰三角形也會使用到旋轉(zhuǎn)。（對于等腰三角形，也可以看是線段旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成兩腰。）再由等腰三角形拓展，當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩條線段長度相等地，且有一個(gè)公共端點(diǎn)，則可能使用旋轉(zhuǎn)方法。例1：等邊三角形ABC中有一點(diǎn)D，使得DA

10、=3，DC=4，DB=5，求角ADC分析：由3，4，5很容易想到勾股定理，可是它們并不在一個(gè)三角形中，怎么辦？旋轉(zhuǎn)呀！將三角形ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60度到三角形ACE。則三角形ADE是等邊三角形，角ADE是60度，DE=AD=4，又CE=BD=5得角EDC=90度最后得角ADC=90度+60度=150度。*例2：如圖，B在AD上，三角形ABC和BDE都是等邊三角形，請說明CD和AE的關(guān)系。分析：CD在三角形CDB中，另兩邊CB和BD分別是兩等邊三角形的邊。同樣，AE在三角形AEB中，另兩邊AB和BE分別是兩等邊三角形的邊。且有一個(gè)公共點(diǎn)B?？捎眯D(zhuǎn)說明，三角形ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60度，可得到三角形C

11、BD，所以，AE=CD。*例3：如圖，正方形ABCD中，E在BC上，F(xiàn)在CD上，BE+DF=EF，求角EAF。分析：條件中BE+DF=EF，而BE和DF不在一起，應(yīng)該想辦法移到一起，而正方形鄰邊相等，正好做旋轉(zhuǎn)。將直角三角形ADF繞A旋轉(zhuǎn)90度到三角形ABP，則角PAF=90度，PE=EF，AP=AF即三角形PAE與FAE成軸對稱，得角EAF=90度/2=45度。*例4：如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，角ABC+角AED=180度，請說明AD平分角CDE。分析：此題同樣是出現(xiàn)了有公共端點(diǎn)且相等的兩邊，也出現(xiàn)了已知條件中不在一起的線段BC和DE，不在一起的角ABC和角AE

12、D，利用旋轉(zhuǎn)。將三角形ADE旋轉(zhuǎn)到三角形AFB，得FC=CD，AF=AD，進(jìn)而得角ADC=角AFC=角ADE從而說明AD平分角CDE。中心對稱把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。中心對稱是旋轉(zhuǎn)的特殊情況，旋轉(zhuǎn)角是180度，正好成一條直線。中心對稱可以簡稱為點(diǎn)對稱，軸對稱可以簡稱為線對稱，一般說“對稱”，就是說這兩種情況。中心對稱的性質(zhì)關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形。 即對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（軸對稱

13、是垂直平分） 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。（又是平行且相等，不過，與平移不同的是，對應(yīng)線段的方向是相反的。） 中心對稱的畫法一是根據(jù)定義畫。即用旋轉(zhuǎn)的方法。但由于180度的特殊性，不使用量角器即可畫出。1、從要素點(diǎn)開始，連接對稱中心，并延長，在延長線上取要素點(diǎn)的對稱點(diǎn)。對稱中心是要素點(diǎn)和對應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)。2、用上1 方法，畫出所有要素點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。3、連接對應(yīng)點(diǎn)，畫出中心對稱后的圖形。二、根據(jù)中心對稱的性質(zhì)畫。（只適用于由直線或線段組成的圖形）1、用“一“的方法畫出一個(gè)“要素點(diǎn)”的對應(yīng)點(diǎn)。2、用畫平行線的方法，畫出所有的對應(yīng)線段或直線。（注意：方向相反）中心對稱圖

14、形在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心。中心對稱圖形與軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形一樣，都是描述圖形的整體特征對稱性的。我們在觀察或描述一個(gè)圖形時(shí)，首先要看整體，即對稱性；再分別看邊、角、對角線等。中心對稱圖形的性質(zhì)中心對稱圖形上每一對對稱點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。（對稱中心是中點(diǎn)，所以，中心也就可能成為對稱中心。） 過對稱中心的任意一條直線，可以把圖形分成全等的成中心對稱的兩個(gè)圖形。（包括面積相等哦。）常見中心對稱圖形 HYPERLINK /view/150124.htm t _blank 矩形， HYPER

15、LINK /view/133728.htm t _blank 菱形， HYPERLINK /view/56164.htm t _blank 正方形， HYPERLINK /view/124728.htm t _blank 平行四邊形， HYPERLINK /view/323536.htm t _blank 圓,正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)），線段，直線等。此外，以后要學(xué)的函數(shù)圖像中，反比例函數(shù)的圖像雙曲線是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形。實(shí)際上，除了直線外，所有中心對稱圖形都只有一個(gè)對稱點(diǎn)。注意：正偶邊形是中心對稱圖形，正奇邊形不是中心對稱圖形 。說下語文某對稱（包括中心對稱、軸對稱等）

16、，是說兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。某對稱在使用時(shí)，應(yīng)該說：兩圖形“成”某對稱，或者，兩圖形“關(guān)于某點(diǎn)（或某線）”對稱。*某對稱圖形，是說一個(gè)圖形的整體特征。某對稱圖形在使用時(shí)，應(yīng)該說：圖形是某對稱圖形。*從以上可以看出，某對稱圖形是名詞，而某對稱是形容詞，并引申為動詞。中心對稱的思維作用中心對稱與旋轉(zhuǎn)、平移一樣，可以將一個(gè)角,一條線段,一個(gè)圖形移動到另一個(gè)位置,使分散的條件集中到一起,使問題得到解決。中心對稱圖形中用到中心對稱就不多說了。在下一章“平行四邊形”中，會經(jīng)常用到。由于對稱中心平分對應(yīng)點(diǎn)之間的連線，即對稱中心是兩對應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)，所以，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，可使用中心對稱。如果題目已出現(xiàn)平行，

17、則可選非平行線的中心做對稱中心。由于對應(yīng)線段平行且相等，使用中心對稱時(shí)，所用輔導(dǎo)線就是平行線。由于過對稱中心的任意直線將中心對稱圖形分成全等且成中心對稱的兩部分。所以，涉及面積平分，也使用中心對稱，不過這時(shí)是找對稱中心。例1：梯形的面積公式就使用了中心對稱。因兩底平行，利用腰上的中點(diǎn)做中心對稱?？梢宰兂善叫兴倪呅?，平行四邊形的底是梯形的（上底+下底）/2?？尚淖兂扇切?，三角形的底是梯形的上底+下底。都得到梯形面積公式：（上底+下底）*高/2而且第一種，還得到梯形中位線公式。（這在以后會學(xué)到用到。）*例2：如圖，BC平分EF，BE=CF，試說明AB=AC。條件中的BE=CF，兩線段沒有直接關(guān)系，得移動，再加上D是EF中點(diǎn)，選擇中心對稱。做EG平行AF，交BC于G，因中心對稱，得EG=CF=BE然后你就會說明AB=AC了。*例3：如圖，將類似L型的圖形面積平分。把圖形用割或補(bǔ)的方法，變出兩個(gè)中心對稱圖形，再取兩個(gè)對稱中心，過兩對稱中心的直線，將圖形面積平分。如果你觀察細(xì)心，你會發(fā)現(xiàn)什么？不錯(cuò)，符合要求的三條直線L1、L2、L3都交于一點(diǎn)。而且過這一交點(diǎn)的所有直線都可以將圖形面積平分。因?yàn)檫@一交點(diǎn)，就是該圖形的重