2.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組

1、2.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 2.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 一. 定義 如果向量組1, 2, , s的部分組 滿足以下條件: , , i1 , i2 ir 線性無(wú)關(guān); , , i1 (1) , i2 ir (2) 1, 2, , s中任一向量都可由線性表示, , , i1 , i2 ir 極大線性無(wú)關(guān)組(maximal linearly independent subset).為1, 2, , s的一個(gè) , , i1 則稱 , i2 ir 12.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 二. 有關(guān)結(jié)論 定理2.5. 秩為r的向量組1, 2, , s一定有由 r個(gè)向

2、量構(gòu)成的極大無(wú)關(guān)組. 命題2.1. 秩為r的向量組中任何r個(gè)線性無(wú)關(guān)的 向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. 22.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 定理2.6. 一個(gè)向量組的任何兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組 都是等價(jià)的, 因而任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)都相同, 且等于這 個(gè)向量組的秩. 命題2.2. 一個(gè)向量組與它的任何一個(gè)極大無(wú) 關(guān)組都是等價(jià)的. 32.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 三. 計(jì)算 理論依據(jù): (1) 命題2.1(2) 定理1.11 (初等變換不改變矩陣的秩). 例2.8. 已知向量組1, 2, 3線性無(wú)關(guān), 求 1 2, 2 3, 3 1 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

3、 42.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 列向量組相關(guān)計(jì)算問(wèn)題1.求向量組的秩：初等行變換化為行階梯形，行階梯形的非零行數(shù)等于矩陣的秩，等于行（列）向量組的秩。2. 判斷向量組的線性關(guān)系：初等行變換化為行階梯形，判斷秩與向量個(gè)數(shù)的大小，秩小于個(gè)數(shù)，向量組線性相關(guān)，秩等于個(gè)數(shù)，向量組線性無(wú)關(guān)。初等行變換不改變列向量組之間的線性關(guān)系。52.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 3.求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組：初等行變換化為行階梯形，原矩陣中與行階梯形非零行非零首元所在的列相同位置的幾個(gè)列向量一定4. 用極大無(wú)關(guān)組線性表示其余向量：初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，依3方法找到一組極

4、大無(wú)關(guān)組，在行最簡(jiǎn)形中將非零首元不在列分別由非為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。個(gè)數(shù)和秩相同。零首元所在列線性表示，再將表達(dá)式轉(zhuǎn)換到原向量組中即可。62.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 第二章 n維列向量 例2.9設(shè)A = 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4, 求A的列向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. 1 6 4 1 40 4 3 1 10 0 0 4 10 0 0 0 0解: A =3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4初等行變換可見(jiàn)A的第1, 2, 4列構(gòu)成A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.7例2.10 已知參數(shù)a, b互異，求向量組的極大無(wú)關(guān)組解：由于三個(gè)2維向量