§ p15 53 正定二次型與對(duì)稱(chēng)正定矩陣

1、5.3.1、正(負(fù))定二次型的概念5.3 正定二次型與對(duì)稱(chēng)正定矩陣 由定義可知，正定矩陣必是半正定矩陣，但是半正定矩陣不一定是正定矩陣。1為正定二次型為負(fù)定二次型例如 一個(gè)二次型既不是半正定的，也不是半負(fù)正定的，則稱(chēng)是不定的二次型。為半正定二次型。為半負(fù)定二次型。為不定二次型。2定理1 非退化線(xiàn)性變換不改變二次型的正定性，證明：設(shè)A是正定的，與定理1等價(jià)的有定理2 合同變換不改變對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性，35.3.2、正(負(fù))定二次型的判別定理3 設(shè)n元實(shí)二次型的秩為r，正慣性指標(biāo)為p, 負(fù)慣性指標(biāo)為q，則二次型為(1) 正定的充要條件是p=n,(2) 負(fù)定的充要條件是q=n,(3) 不定的充要條件是

2、0prn, 0q4定理4 設(shè)A是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則有(1) A是正定的充要條件是A的特征值全是正數(shù)。(2) A是正定的充要條件是A與單位陣合同，(3) A是正定的，則|A|05定理5 對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式為正，即對(duì)稱(chēng)矩陣A 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即6設(shè)二次型是正定的，對(duì)每個(gè)k，1kn,令證明 必要性：7定理6 設(shè)B是mn矩陣，則BTB是對(duì)稱(chēng)半正定矩陣。如果B的秩是n，那末BTB還是正定矩陣。如果B的秩是n，即B的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此當(dāng)X0時(shí)，必定有Y=BX0，從而有所以這時(shí)BTB是正定矩陣。證明：由(BTB)T=BT(BT)T=

3、BTB,可見(jiàn)BTB是對(duì)稱(chēng)矩陣。所以BTB是半正定矩陣。8正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)9例1 判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.10例2 判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣，11例3 判別二次型的正定性.解12例4 設(shè)矩陣判斷矩陣A是否為正定，是否為負(fù)定?解 取向量13所以A不是正定的。14例5 判別二次型解 二次型的對(duì)應(yīng)矩陣為的正定性.15A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可。162A的全部順序主子式都大于0. A正定，f正定.17例6 判斷n階(n2)矩陣A是否是正定陣. 18解法1 順序主子式： 正定19解法2 求A的特征值.得A的特征值為全大于零. 故A正定. 解法3 見(jiàn)p233例5.3.220例7 設(shè)A,B是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，其中A正定, 試證當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大時(shí)，tA+B也正定.仍是對(duì)稱(chēng)陣，故存在正交陣R，證 由A正定，存在可逆陣Q使A=QTQ，即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E，令P=Q-1，則有PTAP=E.21使其中是的特征值.22當(dāng)時(shí)，全大于零，正定，從而正定。這時(shí)23242.正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.5.3.4、小結(jié)1.正定二次