2.基本不等式

1、基本不等式小店一中 任慧芳思考：這會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1ab問2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它們的面積和是S=問1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為S=，問3：S與S有什么樣的關(guān)系？ 從圖形中易得，s s,即探究1探究2問題1：s, S有相等的情況嗎？何時相等？ 圖片說明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 形的角度數(shù)的角度 當(dāng)a=b時a2+b22ab=(ab)2=0結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成

2、立此不等式稱為重要不等式探究2問題2：當(dāng) a,b為任意實數(shù)時， 成 立嗎？ 類 比 聯(lián) 想 推 理 論 證 （特別的）如果 也可寫成 a0 ,b0 , 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時“”號成立 此不等式稱為基本不等式探究3概念算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)(1)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平 均數(shù).(2)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.aboABPQ對基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究:如圖,AB是圓o的直徑，Q是AB上任一點，AQ=a,BQ=b,過點Q作垂直于AB的弦PQ，連AP,BP,則PQ=_,半徑AO=_幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長探究4 已知 都是正數(shù)，試探究：（1）如果積 是定值P

3、，和 是否有最小值？若有，那么當(dāng) 時，最小值為：（2）如果和 是定值S，積 是否有最大值？若有，那么當(dāng) 時，最大值為探究5例1：（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m. 等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. 強(qiáng)調(diào)：兩個正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時取最值。（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最

4、大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 則 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜園的面積為xym2=18/2=9得 xy 81當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時，等號成立 因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2強(qiáng)調(diào)：兩個正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時取最值。應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a與b為正實數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大強(qiáng)調(diào)：求最值時要考慮不等式是否能取到“”應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a與b為正實數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最

5、大強(qiáng)調(diào)：求最值時要考慮不等式是否能取到“”例2:某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析:水池呈長方體形,它的高是3m,底面的長與寬沒有確定.如果底面的長與寬確定了,水池的總造價也就確定了.因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。解:設(shè)底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元.根據(jù)題意,有:由容積為4800m3,可得:3xy=4800因此 xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得即 當(dāng)x=y,即x=y=40時,等號成立 所以,將水池的地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價為297600元.練一練練習(xí)1：練習(xí)2：若的最小值。求1. 兩個不等式（1）（2） 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立注意：1.兩公式條件，前者要求a,b為實數(shù)；后者要求a,b為正數(shù)。 2.公式的正向、逆向使用的條件以及“=”的成立條件。2.不等式的簡單應(yīng)用：主