任意角的概念與弧度制復(fù)習(xí)課件和練習(xí)

1、第三章 三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形第一節(jié) 任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù)1.角的有關(guān)概念射線旋轉(zhuǎn)象限角正角負(fù)角零角+k360o,kZ2.弧度的定義和公式(1)定義:在以單位長為半徑的圓中,_的弧所對的圓心角為1弧度的角,它的單位符號是_，讀作_.角的弧度數(shù)公式 |= （弧長用l表示）角度與弧度的換算1= rad 1 rad=( ) 弧長公式弧長l=扇形面積公式S= = 單位長度rad弧度r|（2）公式：3.任意角的三角函數(shù)（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)，則sin =_，cos =_，tan = .(2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的

2、幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x 軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是(1,0).vu如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的_，角的_和角的_.正弦線余弦線正切線4.特殊角的三角函數(shù)值 角030456090120150180角的弧度數(shù) 0 sin _cos _tan _010100-110判斷下面結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊保?（1）小于90的角是銳角.( )（2）銳角是第一象限角，反之亦然.( )（3）與45角終邊相同的角可表示為k360+45，kZ或2k+45，kZ.( )（4）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是60.( )（5）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.( )

3、（6）點(diǎn)P（tan ，cos ）在第三象限，則角終邊在第二象限.( )【解析】（1）錯(cuò)誤.負(fù)角小于90但它不是銳角.（2）錯(cuò)誤.第一象限角不一定是銳角，如-350是第一象限角，但它不是銳角.（3）錯(cuò)誤.不能表示成2k+45,kZ，即角度和弧度不能混用.（4）錯(cuò)誤.撥快分針時(shí)，分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)為-60.（5）正確.由誘導(dǎo)公式（一）可知或由三角函數(shù)的定義可得.(6)正確.由已知得tan 0，cos 0，所以為第二象限角.答案：（1） （2） （3） （4） (5) (6)1.終邊落在第二象限的角可表示為( )(A)|90+2k180+2k，kZ(B)| +2k+2k，kZ(C)|90+k1801

4、80+k180，kZ(D)| +k +k，kZ【解析】選B.A錯(cuò)，角度與弧度不能混用.C,D錯(cuò)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)不成立，故選B.2.已知sin 0，tan 0，那么角是( )(A)第一象限角 (B)第二象限角(C)第三象限角 (D)第四象限角【解析】選C.由sin 0，則的終邊在三、四象限，或y軸負(fù)半軸.由tan 0，則的終邊在一、三象限，故是第三象限角.3.已知扇形的面積為2 cm2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】選C.設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r,圓心角為，則 解得r=1,故l=|r=41=4,所以扇形周長為2r+l=21+4=6.4.

5、已知角終邊上一點(diǎn)A(2,2)，則tan =_.【解析】答案：1考向 1 終邊相同的角的表示【典例1】（1）若是第三象限的角，則- 是( )(A)第一或第二象限的角 (B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角 (D)第二或第四象限的角（2）已知角是第一象限角，確定2， 的終邊所在的象限位置.【思路點(diǎn)撥】(1)由為第三象限角求得- 的范圍，通過對k的奇偶性討論可得解.(2)由所在的象限寫出角的范圍，從而得2, 的范圍，最后確定終邊所在的位置.【規(guī)范解答】(1)選B.由得故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)- 在第一象限，當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)- 在第三象限，故選B. (2)是第一象限角，k42k4+,kZ,即2k222k2

6、+,kZ,2的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上.當(dāng)k=2n(nZ)時(shí), 的終邊在第一象限.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),即 的終邊在第三象限.綜上可得 的終邊在第一象限或第三象限.【拓展提升】強(qiáng)化對終邊相同角的表示與應(yīng)用(1)所有與的終邊相同的角都可表示為=+k360,kZ的形式.(2)根據(jù)與終邊相同的角的表達(dá)式,可以寫出一定范圍內(nèi)的角；也可以根據(jù)的終邊所在的象限,判斷的倍數(shù)角所在的象限或范圍.(3)與終邊相同的角的表達(dá)式中一定是k360或k2，兩種單位不能混用.【變式訓(xùn)練】若角與的終邊在一條直線上，則與的關(guān)系是_.【解析】當(dāng)，的終邊重合時(shí)，=+k2,kZ.當(dāng)，的終邊互為反向延長線時(shí)，=

7、+k2=+(2k+1),kZ.答案：=+k2，kZ或=+(2k+1),kZ考向 2 弧度制的應(yīng)用 【典例2】（1）已知扇形OAB的圓心角為120，半徑r=6，求 的長及扇形面積.（2）已知扇形周長為20，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)，它有最大面積，最大面積是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）將圓心角化為弧度，再利用弧度制下的弧長、面積公式求解.（2）利用扇形周長得半徑與弧長的關(guān)系，將面積化為關(guān)于半徑r的二次函數(shù)后求最值.【規(guī)范解答】(1)(2)由已知得l+2r=20，=10r-r2=-（r-5）2+25，所以r=5時(shí)，面積有最大值，且Smax=25,此時(shí)l=10，所以即當(dāng)圓心角為2弧度時(shí)，面積有最大值25.【

8、互動探究】本例題（1）中若求扇形的弧所在的弓形面積，又將如何求解？【解析】由題（1）解析得故弓形的面積為 【拓展提升】弧度制應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)（1）弧度制下，弧長l=|r，扇形面積 此時(shí)為弧度.在角度制下，弧長 扇形面積 此時(shí)n為角度.（2）在解決弧長、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形進(jìn)行求解.【變式備選】已知半徑為10的圓O中，弦|AB|的長為10.(1)求弦|AB|所對的圓心角的大小.(2)求角所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.【解析】(1)由O的半徑r=10=|AB|，知AOB是等邊三角形， (2)由(1)可知弧長l而考向 3 三角函數(shù)的定義【典例3】（1）（2013安

9、慶模擬）已知函數(shù)y=loga(x-1)+3(a0且a1)的圖像恒過點(diǎn)P，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則sin2-2sin cos 的值等于( )(A) (B) (C) (D) （2）已知角的終邊上一點(diǎn)P（ ，m），m0,且 求cos ,tan 的值.【思路點(diǎn)撥】（1）先確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用定義求出sin,cos 即可.（2）先由 并結(jié)合三角函數(shù)的定義建立關(guān)于參數(shù)m的方程，求出m的值，再根據(jù)定義求cos ，tan .【規(guī)范解答】(1)選C.由題意知點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），故 所以因此 (2)由題設(shè)知r2=|OP|2=（- ）2+m2（O為原點(diǎn)），從而于是3+m2=8，解得當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 【互動探究】

10、將本例題（2）中 改為 如何求sin ，cos ？【解析】由已知得，又 得m=-1，【拓展提升】 1.三角函數(shù)定義的推廣在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P(x, y)是角終邊上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|PO|r，則2.定義法求三角函數(shù)值的兩種情況（1）已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)，可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義的推廣求解.（2）已知角的終邊所在的直線方程時(shí)，可分兩種情況先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值.【變式備選】已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan

11、 的值.【解析】角的終邊在直線3x+4y=0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t0),則x=4t,y=-3t,當(dāng)t0時(shí)，r=5t,當(dāng)t0時(shí)，綜上或【易錯(cuò)誤區(qū)】三角函數(shù)定義中忽略分類討論致誤【典例】（2013天津模擬）已知角的終邊上一點(diǎn)P（3a，4a）（a0）,則sin =_.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：由終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)時(shí)，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，即沒有對a的取值進(jìn)行分類討論，而求出r=5a，從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.【規(guī)范解答】x=3a,y=4a,(1)當(dāng)a0時(shí)，r=5a，(2)當(dāng)a0時(shí)，r=-5a，答案： 【思考點(diǎn)評】1.任意角的三角函數(shù)的定義對于三角函數(shù)的定義，如果不是在單

12、位圓中，設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，y），從而|OP|=r= 則sin =2.分類討論思想的應(yīng)用對于利用三角函數(shù)定義解題的題目中，如果含有參數(shù)，一定要考慮運(yùn)用分類討論解題.在分類討論時(shí)要對參數(shù)的所有情況逐類討論，最后要進(jìn)行歸納總結(jié).1.(2013銅川模擬)如果點(diǎn)P(sincos,2cos)位于第三象限,那么角的終邊所在象限是()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限【解析】選B.由點(diǎn)P在第三象限知 所以故角的終邊在第二象限.2.(2013漢中模擬）已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是( )(A)2 (B) (C)2sin 1 (D)sin 2【解析

13、】選B.過圓心作弦的垂線l，設(shè)半徑為r,則 故 所以弧長l3.(2013吉安模擬）P（3，y)為終邊上一點(diǎn)，則tan =( )(A) (B) (C) (D) 【解析】選D.由題意知 解得y=4.當(dāng)y=4時(shí)， 當(dāng)y=-4時(shí)， 故選D.4.（2013南昌模擬）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4,y)是角終邊上一點(diǎn)，且則y=_.【解析】由P（4，y）是角終邊上一點(diǎn)，且 可知y0， 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得 化簡得y2=64，解得y=-8.答案：-81.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成

14、的一個(gè)大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為大正方形的面積為1，直角三角形中較小的銳角為，那么sin2-cos2的值為( )(A)1 (B) (C) (D) 【解析】選D.依題意設(shè)直角三角形中較小的直角邊長為x,較大的直角邊長為y,則解得： 故選D.2.直角三角形POB中，PBO=90，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于A點(diǎn)，若弧AB等分三角形POB的面積，且AOB=rad，則( )(A)tan =(B)tan =2(C)sin =2cos (D)2sin =cos 【解析】選B.設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為 直角三角形POB中，|PB|=rtan ,POB的面積為 由題意得tan =2

15、，故選B.一、我們因夢想而偉大，所有的成功者都是大夢想家：在冬夜的火堆旁，在陰天的雨霧中，夢想著未來。有些人讓夢想悄然絕滅，有些人則細(xì)心培育維護(hù)，直到它安然度過困境，迎來光明和希望，而光明和希望總是降臨在那些真心相信夢想一定會成真的人身上。威爾遜二、夢想無論怎樣模糊，總潛伏在我們心底，使我們的心境永遠(yuǎn)得不到寧靜，直到這些夢想成為事實(shí)才止；像種子在地下一樣，一定要萌芽滋長，伸出地面來，尋找陽光。林語堂三、多少事，從來急；天地轉(zhuǎn)，光陰迫。一萬年太久，只爭朝夕。毛澤東四、擁有夢想的人是值得尊敬的，也讓人羨慕。當(dāng)大多數(shù)人碌碌而為為現(xiàn)實(shí)奔忙的時(shí)候，堅(jiān)持下去，不用害怕與眾不同，你該有怎么樣的人生，是該你親

16、自去撰寫的。加油！讓我們一起捍衛(wèi)最初的夢想。柳巖五、一個(gè)人要實(shí)現(xiàn)自己的夢想，最重要的是要具備以下兩個(gè)條件：勇氣和行動。俞敏洪六、將相本無主，男兒當(dāng)自強(qiáng)。汪洙七、我們活著不能與草木同腐，不能醉生夢死，枉度人生，要有所作為。方志敏八、當(dāng)我真心在追尋著我的夢想時(shí)，每一天都是繽紛的，因?yàn)槲抑烂恳粋€(gè)小時(shí)都是在實(shí)現(xiàn)夢想的一部分。佚名九、很多時(shí)候，我們富了口袋，但窮了腦袋；我們有夢想，但缺少了思想。佚名十、你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會吃得起苦。屠格涅夫十一、一個(gè)人的理想越崇高，生活越純潔。伏尼契十二、世之初應(yīng)該立即抓住第一次的戰(zhàn)斗機(jī)會。司湯達(dá)十三、哪里有天才，我是把別人喝咖啡的工夫都用在工作上的。魯

17、迅十四、信仰，是人們所必須的。什麼也不信的人不會有幸福。雨果十五、對一個(gè)有毅力的人來說，無事不可為。海伍德十六、有夢者事竟成。沃特十七、夢想只要能持久，就能成為現(xiàn)實(shí)。我們不就是生活在夢想中的嗎？丁尼生十八、夢想無論怎樣模糊，總潛伏在我們心底，使我們的心境永遠(yuǎn)得不到寧靜，直到這些夢想成為事實(shí)。林語堂十九、要想成就偉業(yè)，除了夢想，必須行動。佚名二十、忘掉今天的人將被明天忘掉。歌德二十一、夢境總是現(xiàn)實(shí)的反面。偉格利二十二、世界上最快樂的事，莫過于為理想而奮斗。蘇格拉底二十三、“夢想”是一個(gè)多么“虛無縹緲不切實(shí)際”的詞啊。在很多人的眼里，夢想只是白日做夢，可是，如果你不曾真切的擁有過夢想，你就不會理解

18、夢想的珍貴。柳巖二十四、生命是以時(shí)間為單位的，浪費(fèi)別人的時(shí)間等于謀財(cái)害命，浪費(fèi)自己的時(shí)間，等于慢性自殺。魯迅二十五、夢是心靈的思想，是我們的秘密真情。杜魯門卡波特二十六、堅(jiān)強(qiáng)的信念能贏得強(qiáng)者的心，并使他們變得更堅(jiān)強(qiáng)。白哲特二十七、既然我已經(jīng)踏上這條道路，那么，任何東西都不應(yīng)妨礙我沿著這條路走下去?？档露?、青少年是一個(gè)美好而又是一去不可再得的時(shí)期，是將來一切光明和幸福的開端。加里寧二十九、夢想家命長，實(shí)干家壽短。約奧賴?yán)⑶嗄陼r(shí)準(zhǔn)備好材料，想造一座通向月亮的橋，或者在地上造二所宮殿或廟宇?；畹街心?，終于決定搭一個(gè)棚。佚名三十一、在這個(gè)并非盡善盡美的世界上，勤奮會得到報(bào)償，而游手好閑則要受

19、到懲罰。毛姆三十二、在科學(xué)上沒有平坦的大道，只有不畏勞苦，沿著陡峭山路攀登的人，才有希望達(dá)到光輝的頂點(diǎn)。馬克思三十三、在勞力上勞心，是一切發(fā)明之母。事事在勞力上勞心，變可得事物之真理。陶行知三十四、一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨。蕭絳三十五、沒有一顆心會因?yàn)樽非髩粝攵軅?，?dāng)你真心想要某樣?xùn)|西時(shí)，整個(gè)宇宙都會聯(lián)合起來幫你完成。佚名三十六、夢想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，你們會沐浴在夢想的光輝之中。佚名三十七、一塊磚沒有什么用，一堆磚也沒有什么用，如果你心中沒有一個(gè)造房子的夢想，擁有天下所有的磚頭也是一堆廢物；但如果只有造房子的夢想，而沒有磚頭，夢想也沒法實(shí)現(xiàn)。俞敏洪三十八、如意算盤，不

20、一定符合事實(shí)。奧地利三十九、志向不過是記憶的奴隸，生氣勃勃地降生，但卻很難成長。莎士比亞四十、如果失去夢想，人類將會怎樣？熱豆腐四十一、無論哪個(gè)時(shí)代，青年的特點(diǎn)總是懷抱著各種理想和幻想。這并不是什么毛病，而是一種寶貴的品質(zhì)。佚名四十二、夢想絕不是夢，兩者之間的差別通常都有一段非常值得人們深思的距離。古龍四十三、夢想家的缺點(diǎn)是害怕命運(yùn)。斯菲利普斯四十四、從工作里愛了生命，就是通徹了生命最深的秘密。紀(jì)伯倫四十五、窮人并不是指身無分文的人，而是指沒有夢想的人。佚名四十六、不要懷有渺小的夢想，它們無法打動人心。歌德四十七、人生最苦痛的是夢醒了無路可走。做夢的人是幸福的；倘沒有看出可以走的路，最要緊的是

21、不要去驚醒他。魯迅四十八、浪費(fèi)別人的時(shí)間是謀財(cái)害命，浪費(fèi)自己的時(shí)間是慢性自殺。列寧四十九、意志薄弱的人不可能真誠。拉羅什科五十、夢想絕不是夢，兩者之間的差別通常都有一段非常值得人們深思的距離。古龍五十一、得其志，雖死猶生，不得其志，雖生猶死。無名氏五十二、所慮時(shí)光疾，常懷緊迫情，蹣跚行步慢，落后最宜鞭。董必武五十三、夢想只要能持久，就能成為現(xiàn)實(shí)。我們不就是生活在夢想中的嗎？丁尼生五十四、很難說什么是辦不到的事情，因?yàn)樽蛱斓膲粝耄梢允墙裉斓南Ｍ?，并且還可以成為明天的現(xiàn)實(shí)。佚名五十五、要用你的夢想引領(lǐng)你的一生，要用感恩真誠助人圓夢的心態(tài)引領(lǐng)你的一生，要用執(zhí)著無懼樂觀的態(tài)度來引領(lǐng)你的人生。李開復(fù)五

22、十六、人類也需要夢想者，這種人醉心于一種事業(yè)的大公無私的發(fā)展，因而不能注意自身的物質(zhì)利益。居里夫人五十七、一個(gè)人的理想越崇高，生活越純潔。伏尼契五十八、夢想一旦被付諸行動，就會變得神圣。阿安普羅克特五十九、一個(gè)人追求的目標(biāo)越高，他的才力就發(fā)展得越快，對社會就越有益。高爾基六十、青春是人生最快樂的時(shí)光，但這種快樂往往完全是因?yàn)樗錆M著希望，而不是因?yàn)榈玫搅耸裁椿蛱颖芰耸裁础Ｘ?、生命里最重要的事情是要有個(gè)遠(yuǎn)大的目標(biāo)，并借助才能與堅(jiān)毅來完成它。歌德六十二、沒有大膽的猜測就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)。牛頓六十三、夢想，是一個(gè)目標(biāo)，是讓自己活下去的原動力，是讓自己開心的原因。佚名六十四、人生太短，要干的事

23、太多，我要爭分奪秒。愛迪生六十五、一路上我都會發(fā)現(xiàn)從未想像過的東西，如果當(dāng)初我沒有勇氣去嘗試看來幾乎不可能的事，如今我就還只是個(gè)牧羊人而已。牧羊少年的奇幻之旅六十六、一個(gè)人越敢于擔(dān)當(dāng)大任，他的意氣就是越風(fēng)發(fā)。班生六十七、貧窮是一切藝術(shù)職業(yè)的母親。托里安諾六十八、莫道桑榆晚，為霞尚滿天。劉禹錫六十九、一切活動家都是夢想家。詹哈尼克七十、如果一個(gè)人不知道他要駛向哪個(gè)碼頭，那么任何風(fēng)都不會是順風(fēng)。小塞涅卡七十一、人性最可憐的就是：我們總是夢想著天邊的一座奇妙的玫瑰園，而不去欣賞今天就開在我們窗口的玫瑰。佚名七十二、一個(gè)人如果已經(jīng)把自己完全投入于權(quán)力和仇恨中，你怎么能期望他還有夢？古龍七十三、一個(gè)人有

24、錢沒錢不一定，但如果這個(gè)人沒有了夢想，這個(gè)人窮定了。佚名七十四、平凡樸實(shí)的夢想，我們用那唯一的堅(jiān)持信念去支撐那夢想。佚名七十五、最初所擁有的只是夢想，以及毫無根據(jù)的自信而已。但是，所有的一切就從這里出發(fā)。孫正義七十六、看見一個(gè)年輕人喪失了美好的希望和理想，看見那塊他透過它來觀察人們行為和感情的粉紅色輕紗在他面前撕掉，那真是傷心?。∪R蒙托夫七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的靈魂深處；做一個(gè)悠遠(yuǎn)的夢吧，每個(gè)夢想都會超越你的目標(biāo)。佚名七十八、正如心愿能夠激發(fā)夢想，夢想也能夠激發(fā)心愿。佚名七十九、夢想一旦被付諸行動，就會變得神圣。阿安普羅克特八十、對于學(xué)者獲得的成就，是恭維還是挑戰(zhàn)？我需要的是后者，因?yàn)榍罢咧荒苁谷颂兆矶笳邊s是鞭策。巴斯德八十一、冬天已經(jīng)到來，春天還會遠(yuǎn)嗎？雪萊八十二、一個(gè)人想要成功，想要改變命運(yùn)，有夢想是重要的。我覺得每個(gè)人都應(yīng)該心中有夢，有胸懷祖國的大志向，找到自己的夢想，認(rèn)準(zhǔn)了就去做，不跟風(fēng)不動搖。同時(shí)，我們不僅僅要自己有夢想，你還應(yīng)該用自己的夢想去感染和影響別人，因?yàn)槌晒φ咭欢ㄊ怯米约旱膲粝肴c(diǎn)燃別人的夢想，是時(shí)刻