高中數(shù)學(xué)講義微專題22恒成立問題-參變分離法

1、微專題22成立問題參變分離法、基礎(chǔ)知識(shí):1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)）可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍： 判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則：（1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個(gè)字

2、母的關(guān)系過于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無法分離的情 21 X形，此時(shí)要考慮其他方法。例如：X 1logax, e ax 1等1 x（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。（可參見”恒成立問題一一最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)X為自變量，其范圍設(shè)為 D, f X為函數(shù);a為參數(shù)，g a為其表達(dá)式）（1）若f x的值域?yàn)閙, Mx D,g a f x ,則只需要g a f x由所mx D，g x f x，則只需要g a f x min m X D,g a f x

3、,則只需要 g a f x max=Mx D,g a f x ,則只需要 g a f x max =M X D,g a f x ,則只需要 g a f x max MX D，g a f x，則只需要 g a f X max M X D,g a f X ,則只需要 g a f x min mX D,g a f x ,則只需要 g a f x min m（2）若f x的值域?yàn)閙,MD,g則只需要gD,g則只需要g（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）2) xD,g則只需要gD,g則只需要g（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）D,g則只需要g（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）D,g則只需要gD,g則只需要

4、g（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）D,g則只需要g5、多變量恒成立問題：對(duì)于含兩個(gè)以上字母（通常為3個(gè)）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個(gè)是所求的參數(shù),然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個(gè)已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離。則不含參數(shù)的一側(cè)可以解出最值（同時(shí)消去一元），進(jìn)而多變量恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問題了。（2）將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，即不等號(hào)一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可。二、典型例題:例1 :已知函數(shù)f xaef（x） 2，3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是思路：首先轉(zhuǎn)化不等式,(x)2點(diǎn)恒成立,觀察

5、不等式a與ex便于分離，考慮利用參變分離法，使a, x分居不等式兩側(cè),2.3ex ,若不等式恒成立，只需 aex 22，3ex,令max2、3ex式可看做關(guān)于ex的二次函數(shù)，故配方求最值）g x max3,所以a2x在1,上恒成立，則 a的取值范圍是答案：a 3a 一例2：已知函數(shù) f x ln x 一，若f x思路：恒成立的不等式為lnx a x2,便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法 x解：ln x a x2xlnx a x3 a xlnx x3,其中 x 1,x TOC o 1-5 h z 33只需要 a xln x x ，令 g x xln x xmax,21g （x） 1 ln x

6、3x（導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導(dǎo)即可將lnx變?yōu)橐唬砸浑A導(dǎo)x一、一， ，、，、一、 一，一一 、，一 一一一、., .函數(shù)的單調(diào)性可分析，為了便于確jEg x的符號(hào)，不妨先驗(yàn)邊界值）g 1化判斷的過程）2, gSx-0,（判斷單調(diào)性時(shí)一定要先看定義域，有可能會(huì)簡(jiǎn)g x在1, 單調(diào)遞減,g x g 10 g(x)在1, 單調(diào)遞減xg x g 11 a 1答案：a 1小煉有話說：求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判 斷符號(hào)時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān) 鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號(hào)。3例3：右對(duì)任息x

7、R ,不等式3x 2ax x 一恒成立，則實(shí)數(shù) a的范圍是. 4思路：在本題中關(guān)于 a,x的項(xiàng)僅有2ax一項(xiàng)，便于進(jìn)行參變分離，但由于 x R,則分離參數(shù)時(shí)要對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論，并且利用x的符號(hào)的討論也可把絕對(duì)值去掉，進(jìn)而得到a的范圍,3x2 2 ax一 -23 -一2ax 3x x -，當(dāng) x 0 時(shí)，2a43x 14 x min3x 1 3x 14x 4x2. 3x 31 2 4x2a 2 a 1；當(dāng)x 0時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)x 0時(shí)，2a3x4x max4x3x34x2a1綜上所述： 1 a 1答案：1 a 1小煉有話說：（1）不等式含有絕對(duì)值時(shí)，可對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而去

8、掉絕對(duì)值，在本題中對(duì)x進(jìn)行符號(hào)討論一舉兩得： 一是去掉了絕對(duì)值， 二是參變分離時(shí)確定不等號(hào)的是否變號(hào)。(2)在求X解析式最值時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)巧妙使用均值不等式，替代了原有的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)出最值的方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。(3)注意最后確定a的范圍時(shí)是三部分取交集，因?yàn)槭菍?duì)x的取值范圍進(jìn)行的討論， 而無論x所以取交集。取何值，a的值都要保證不等式恒成立，即a要保證三段范圍下不等式同時(shí)成立,3例4:設(shè)函數(shù)f (x) X 1 ,對(duì)任息的X , f24m2 f (x)f (x1) 4f (m)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是思路:先將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得:2X2一 1 4m m最小值24m4m2X2 2x 3,便于進(jìn)行

9、分離，考慮不等式兩邊同時(shí)除以2X2 2x 32Xmin2X2 2x 32X3x1,24m12m4 5m23m24m2得：m答案：m 小煉有話說：本題不等式看似復(fù)雜，化簡(jiǎn)后參變分離還是比較容易的，從另一個(gè)角度看本題 所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數(shù)圖像來解決呢？并不是一個(gè)很好的辦法，因 為二次項(xiàng)系數(shù)為關(guān)于 m的表達(dá)式且過于復(fù)雜，而對(duì)稱軸的形式也不利于下一步的計(jì)算。所以 在解題時(shí)要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，能夠預(yù)想到某種方法所帶來的運(yùn)算量，進(jìn)而做出選擇例5：若不等式x22x32xax對(duì)x0,4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 思路:x2 2x3 2xax a值內(nèi)部進(jìn)行符號(hào)討論，x2 2 在 72,

10、4x2 2單調(diào)遞增,x3 2xminx2 2x3 2x2-x ,0 xmin答案:x2在o,、.2單調(diào)遞減,可求出2.22.2a 2,2例6:設(shè)正數(shù)f x,g,對(duì)任意x1 ,x20,- g x，不等式-一f x2恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是（思路：先將k放置不等號(hào)側(cè)，可得g xikf x2,所以k 1kf x2x1maxg x的最大值，ge x,可得g x在0,1單調(diào)遞增,1,單調(diào)遞減。故 g x max g1e,所以若原不等式恒成立，只需kf x2e,不等式中只含k,xi ,可以考慮再進(jìn)行變分離kf x2則只需fx2min 2. e2xf x2min 2e1- 2e解得:答案：k 1例7:已

11、知函數(shù)f x2 ax2a 1 xIn x,aR,g x1 ,若對(duì)于任意的X 0,x2 R,不等式fxg x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路：f x含有參數(shù)a ,而g x為常系數(shù)函數(shù)，且能求出最值，所以以 g x為入手點(diǎn):若f % g X2恒成立，則只需f X1g X min?？汕蟪鰃 x min 0,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為 Xi0,2a 1 x1 1nxi0恒成立，此不等式不便于利用參變分離求解,考慮利用最值法分類討論解決“ L斛：* f X g x2恒成立由 g xex x 1 得：g xg x在 ,0單調(diào)遞減，在g x g 00min2xi0, axi2a 1只需 f % g x minex i,

12、令 g x 0 解得：x 00, 單調(diào)遞增xiIn xi0恒成立max即只需2i2 ax2a i x i2 ax i x if x 2ax 2a i xxx當(dāng)a 0時(shí)，令x2a2a i2a ii一 一In -a-In 2 -0,與 f x 0矛盾aa當(dāng) a 0時(shí)，2ax i 0f x 0解得x if x在0,i單調(diào)遞增，在 i, 單調(diào)遞減maxa 2a ia i 0 a i綜上所述：a i,0小煉有話說：（i）在例6,例7中對(duì)于多變量恒成立不等式，都是以其中一個(gè)函數(shù)作為突破口求得最值，進(jìn)而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。2a I（2）在本題處理 f x 0恒成立的過程中，對(duì)

13、令 x 這個(gè)反例，是通過以下兩點(diǎn)確a定的：a 0時(shí)估計(jì)f x函數(shù)值的變化，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 時(shí)，ax2 2a i x 0（平方比一次函數(shù)增長(zhǎng)的快）在選取特殊值時(shí)，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)x I時(shí)，In x已然為正數(shù)，所以只需前面兩項(xiàng)相消即可,所以解方程2ax 2a 1 x1 c 一一 0,剛好符合反 a例的要求。例8:若不等式x2 2xyax y對(duì)任意正數(shù)x, y恒成立，則正數(shù)a的最小值是（）A. 1B.C.D.思路：本題無論分離x還是分離2y都相對(duì)困難，所以考慮將2.2 1x,y歸至不等號(hào)的一側(cè)，致力于去求x,y表達(dá)式的最值：x 2 J2xy a x,從22xy入手考max慮使用均值不等式：2 2xy 2 x 2

14、y x2y x 2 而x y土2-2,所以答案：B小煉有話說：（1）在多變量不等式恒成立問題上處理方式要根據(jù)不等式特點(diǎn)靈活選擇合適的方法，本題分離a與x, y很方便，只是在求二元表達(dá)式最值上需要定的技巧。（2）本題在求匚打包的最大值時(shí)，還可以從表達(dá)式分子分母齊次的特點(diǎn)入手,同時(shí)除以x 2 2xyx （或 y ）：2y在通過換元t/義轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，再求最值即可。例9:已知函數(shù)fIn x,如果當(dāng)x 1時(shí)，不等式f x取值范圍.思路：恒成立不等式為由于x 1, x 1 0,x 1 1 ln x解:1 ln xk,只需不等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘以x 1也不存在不等號(hào)變號(hào)問題。則可得:即可，設(shè)minx 1 1

15、 ln xx / 11nx kx 1x 1 1 In xk恒成立，求實(shí)數(shù)k的x 1x 1即可進(jìn)行參變分離，且x 1 1 ln x，只需嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)求得最小值,即只需要x 1 1 ln x k minx 1 1 ln xx 1 1 ln x x x 1 1 ln x x 1nxlnx（分子的符號(hào)無法直接判斷，所以考慮再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分析）在1,十單調(diào)遞增1,+單調(diào)遞增g x min g1答案：k 2例10：已知函數(shù)xlnx,若 k Z,且 kf x 對(duì)任忌x 1x 1恒成立，則k的最大值為思路：恒成立不等式x x x ln xx xln xx xln xminx ln x x 考慮分子h x xln x1,單調(diào)遞增。盡管不能夠確定零點(diǎn)，但可以通過零點(diǎn)存在性定理大致的確定零點(diǎn)所在的ln3 0,h 42 ln2b 3,4使得h b1,b ,h xb,時(shí)，g x 0 ,所以g x在1,b單調(diào)遞減，在b,單調(diào)遞增。minb blnbb 1b lnb 2 0ln b答案：3小煉有話說:3,4k b kmax 3(1)本題的一個(gè)重要技巧在于對(duì)h x零點(diǎn)的“設(shè)而不求”,在求得h x單調(diào)增的前提下,判斷h x的符號(hào)零點(diǎn)必不可少，但方程x lnx 2 0無法求出解。那么卡在這一步是否