泛函分析復(fù)習(xí)提要

1、泛函分析復(fù)習(xí)提要一、填空設(shè)X是度量空間，E和M是X中兩個(gè)子集，如果，則稱集M在集E中稠密。如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱X是 空間。設(shè)X是度量空間，M是X中子集，若，則稱M是第一綱集。 設(shè)T為復(fù)Hilbert空間X上的有界線性算子，若對(duì)任何x e X，有上，T| |， 則T為 算子。(Hilbert空間H上的有界線性算子T是正常算子的充要條件 。)若復(fù)Hilbert空間X上有界線性算子T滿足對(duì)一切x e X， Tx, x是實(shí)數(shù)，則T為 算子。(Hilbert空間H上的有界線性算子T是自伴算子的充要條件 。) 設(shè)X是賦范線性空間，X，是X的共軛空間，泛函列fn e X(n = 1,2,)，如果

2、存在f e X，使得對(duì)任意的x e X，都有，則稱fn弱*收斂于f。 設(shè)X,Y是賦范線性空間，T.e B(X,Y)，n = 1,2,，若存在T e B(X, Y)使得 對(duì)任意的x e X，有，則稱T 強(qiáng)收斂于T。n完備的賦范線性空間稱為 空間，完備的內(nèi)積空間稱為 空間賦范線性空間X到賦范線性空間Y上的有界線性算子T的范數(shù)|T| =設(shè)X是內(nèi)積空間，則稱 是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)。設(shè)X是賦范空間，X的范數(shù)是由內(nèi)積引出的充要條件是。設(shè)Y是Hilbert空間的閉子空間，則Y與Y.滿足。 設(shè)X是賦范空間，T :D(T) u X t X的線性算子，當(dāng)T滿足 時(shí)， 則t是閉算子。二、敘述下列定義及定理里斯(Rie

3、sz)定理；實(shí)空間上的漢恩-巴拿赫泛函延拓定理;一致有界性定理(共鳴定理)；逆算子定理；閉圖像定理Banach壓縮映象原理內(nèi)積空間賦范線性空間三、判斷題距離空間中的收斂點(diǎn)列必是柯西點(diǎn)列.距離空間中兩個(gè)不相交的閉集的距離一定大于零.柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列.賦范線性空間上的范數(shù)一定可以由內(nèi)積導(dǎo)出.設(shè)T是賦范線性空間X到賦范線性空間y的線性算子，若T的零空間是閉集, 則T 一定有界.賦范線性空間的共軛空間是Banach空間.Hilbert空間中任一非空子集的正交補(bǔ)必是閉線性子空間.在賦范線性空間中，弱收斂的點(diǎn)列必定強(qiáng)收斂.任一非零Hilbert空間都有完全規(guī)范正交系.疏朗集沒(méi)有內(nèi)點(diǎn).賦范線性空間上的連續(xù)

4、線性泛函一定有界.Hilbert空間上的自伴算子必為正常算子.度量空間中的單點(diǎn)集是疏朗集.四、證明題Hilbert空間X中的正交投影算子為有界線性算子。設(shè) H 是內(nèi)積空間，x ,x, y , y g H，則當(dāng) x x, y y 時(shí)，；x , y x, y；：,n nnn n n即內(nèi)積關(guān)于兩變?cè)B續(xù)。證明Ca, b完備，并敘述證明空間完備的一般步驟。證明II x 11= maxx(t)為Ca,b上范數(shù)，并論述證明范數(shù)的一般步驟tG a ,b 若(X,P)是度量空間，則d =L也使X成為度量空間。1+P設(shè)X是賦范線性空間，證明當(dāng)Y是Banach空間，B(X,Y)也是Banach空間。設(shè)X是Banach空間，A , B 是X上的兩列有界線性算子，設(shè)A 和B 分別強(qiáng)收斂于A和B，求證A B 強(qiáng)收斂于AB。若H是Hilbert空間，M是H的線性子空間，則：M = M1 ；M = (M1) 1設(shè)T是賦范線性空間X到賦范線性空間Y中的線性算子，則T為有界算子的充 要條件為T(mén)是X上的連續(xù)算子。求證：P是Hilbert空間X上的投影算子的充要條件是P2 = P且P* = P。設(shè)T為定義在復(fù)Hilbert空間X上的有界線性算子，若存在常數(shù)a 0使0a 0 ，證明此算子必有有