高中數(shù)學(xué)含參數(shù)的一元二次不等式解法一二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)二復(fù)習(xí)新人教A版必修5

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法基礎(chǔ)知識：.一元二次不等式的形式：ax2+bx+c 0 與 ax2+bx+c 0的情形。當(dāng)a0”。.一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系：從函數(shù)的觀點(diǎn)來考慮。設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w0)的圖象是拋物線 L,則不等式ax2+bx+c0, ax2+bx+c v 0的解集分別是拋物線L在x軸上方，在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo) x的集合；二次方程 ax2+bx+c=0的根就是拋物線 L與x軸 的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 =b2 -4acA0 =0A 0的解集x|x x2rJx x,b】可以/一巴卜 2a,R2.一 一一.八ax +bx+c0的解集)c|x x1 或x

2、 之 x2RR2 -ax +bx +c W0的解集x|x1 x x2xx=-1I. 2a,02.一一, 八ax+bx+c0的解集x|x1 x 0 (a 0)或 ax2+bx+c0)。這步可簡記為使 a0。2).計(jì)算 =b2 4ac,判別與求根：解對應(yīng)的二次方程ax2+bx+c=0 ,判別根的三種情況，時求出根。3).寫出解集：用區(qū)間或用大括號表示解集。注意：1.解題策略：使a值為正，求得兩根，則兩根之外；“V”則兩根之內(nèi)。2.不要死記書上的解集表，要抓住對應(yīng)的二次方程的“根”來活記活用。二次不等式的解集求法可用數(shù)軸標(biāo)根。關(guān)于含參數(shù)(單參)的一元二次不等式的解法.二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù).解關(guān)于x的不等

3、式：x2-(m+ 2)x + 2m 0。解：(x - 2)(x - m) 0m 2 時，xC (2 , m)m =2 時，x 0反思：(1)引起討論的原因是什么？ 一一m與2大小的不確定性(2)如何進(jìn)行討論？一一比較大小.解關(guān)于x的不等式：x2 +(a-2)x+a0.解：x2 (a -2)x a 0(1)當(dāng) &=(a_2jUa0= a4+2/時，兩根為、=(2 +(a-2) =a , =(2 7a 2) 4a .(w)解集為(_絲(2 a)與a2 -8a +4 ) = ( (2 a2 8a +4 收)；,22, 一(2)當(dāng) a=4_2j3或 a=4+24 時，A = 0 , (*)解集為(如,

4、& - 1) = ( V31, 收 )；(3)當(dāng) 4 _2j3 a 4+273 時，0 0 ,(用)解集為 R;.二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)3.解關(guān)于x的不等式：m攵一(m+1)x + 1 0,不等式的解為 x 1m W0 時，不等式為 m (x )(x 1) 0 m，不等式的解為 TOC o 1-5 h z m 0.v1mmm 0,不等式為(x )(x 1) 1時，不等式的解為Xx1即0Vm1時，不等式的解為1vxvm若1= 1即m= 1時，x 0 m反思:(1)引起討論的原因是什么？如何進(jìn)行討論？第一層次：一次不等式還是二次不等式的不確定性，對廿0與m= 0進(jìn)行討論第二層次：x2前系數(shù)正負(fù)(不等號方

5、向)的不確定性，對 m 0進(jìn)行討論 第三層次： 工與1大小的不確定性，對 m 1與m= 1進(jìn)行討論m4.解關(guān)于x的不等式：ax2 -(a +1)x +1 1.若 a 0,原不等式 仁(ax1)(x-1) 0u x1. aa1育a a 0)原不等式 (ax1)(x T) ： 0= (x - )(x-1) ：0.()a其解的情況應(yīng)由1與1的大小關(guān)系決定，故(1)當(dāng)a =1時，式(沖)的解集為* ; a(2)當(dāng) a 1 時，式(*)- - x1； a(3)當(dāng) 0a1 時，式(用)= 1x-. a綜上所述，當(dāng)a 0時，解集為 xx 1；a當(dāng)a = 0時，解集為 xx 1；當(dāng)0 a 1時，解集為 x1

6、x1時,解集為x1 ：x ：1）. a5.解關(guān)于x的不等式:2ax ax -1：二0.解：ax2ax -1 ： 0.a=0時，(*)y -1 0或a 0當(dāng) a0 時，A。，/.（”）u2-a - a -4a2a-a +v; a2 +4a 二x:2a a :二 0當(dāng)a0 ,x -a a2 4a 或 x -a- a2 4a2a2a當(dāng)a = 4時，4 = 0,()xRlL x 二當(dāng)-4 a 0 時， 0 ,.(*)= xw R；綜上,可知當(dāng)a a 0時，解集為（-a fa*4a2a當(dāng)一4 0,解集為x|x 0當(dāng)0 V m0,此時 1 +小一m x1 =mx-ifmL、1-mf 1 - 1 - m x

7、 =或 x0,其解集為x xl；m 1時，此時A v 0,故其解集為R.m 0當(dāng) m0,此時 x -1+1-my -1-1m .，解集為 * 1+、后1 -丁石 卜.mm三.正反思維：已知一元二次不等式解集，求參數(shù)問題x1 一、x2x 一、x、思考1:能否寫出一個解集為（一2, 1）的一元二次不等式？這樣的不等式有幾個？22vxv1 u （x +2）（x - 1） 0的解集為（8, 1） u （3 ,）,求a、b值。解法一：（x + 1）（x -3） 0 = x 2-2x-30,即 2x2 4x60 比較可知：a = 4, b=- 6解法二：不等式的解集區(qū)間端點(diǎn)值-1 , 3是不等式相應(yīng)方程的

8、根，-1+3=a2h / c b -1 3 =2I a = 4b - -6例.已知不等式 ax2+bx+c 0的解集為x|2 x4,則不等式cx2+bx + a 0的解集為.解法一：由解集*|24可得(*2)他4)0的解集為*|2*4,不妨假設(shè) a = 1,b =6,c = -8,則 cx2 +bx +a 0 即為8x2 +6x-1 0-1,、1斛得x|x或 x一.24解法二：由題意2, 4是不等式相應(yīng)方程的根:a 一或 x一.242 ： 4 二一二 8 acx2 +bx +a 0 即 x2 c c變式：1.若不等式ax 2+5x+b0的解集為x| Ivxv,則a、b的值分別是2.已知ax2+

9、bx +c a0的解集為x | 0父口 x P,則不等式cx2 -bx + a a 0的解集是四.一元二次不等式解集為R或0問題7.不等式(a2-1 ) x2-(a-1)x-1 0 的解集為R,求a的取值范圍。當(dāng) a2-1=0 時 a=1,有 x C R.當(dāng) a2-1w 0 時，a2-10 且 = ( a-1 ) 2+4(a2-1)=5a 2-2a-30 時解集為 R 即 _3a15綜上所述：_3 a0的解集為0 ?解：(1) k +1W0 即 kw 1 時，卜+10得卜 一1a k-24 -4(k 1)2 0 k 0,不符合題意。由(1)(2)可知：kw2時，不等式解集為 0。反思：(1)要

10、對不等式的類型進(jìn)行討論，即對x2前系數(shù)進(jìn)行討論；(2)若是一元二次不等式，對應(yīng)二次函數(shù)圖象開口向下，與 x軸最多有一個交點(diǎn)。變式1:已知不等式kx2 +kx+1 0的解集為R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍2.已知關(guān)于x的不等式(a2 4)x2 +(a+2)x -1至0解集為* ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍3.已知不等式2x -1 m(x2 -1)(1)若對于所有實(shí)數(shù) x不等式恒成立，求 m的取值范圍？(2)若對于mW -2,2不等式恒成立，求實(shí)數(shù) x的取值范圍？.已知 A=x|x2 3x+2M0, B =x|x2 (a+1)x + aM0,(1)若A占B ,求a的取值范圍;解：A=x|1 x 1 時，B =x|

11、1 wx wa;當(dāng) a =1 時，B =1;當(dāng) a2；一 a 2(2)若 B = A,當(dāng)a =1時，滿足題意；當(dāng) a1時，a W2,此時1a三2;當(dāng)a0恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)如果對xe-3,1, f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解：(1) A=4(a2)2 160= 0a4； pa -2) 1 ,f(-3) 0.A；0f (1) .0 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 解得a w 4或1 Wa 4或_! a 1,，a的取值范圍為(4) . 22,.已知二次函數(shù)f (x) =ax2 +bx + c

12、的圖象過點(diǎn)(-1,0),問是否存在常數(shù)a,b,c ,使不等式x f(x) 0 1且FK0，即；a0且產(chǎn)烏ma)、。18a(2a-1)0(1 -4a)2 0)2mo存在常數(shù)a=1 b=1 c=1使不等式xf(x) mJ0+x2)對一切xw R都成立 4,2,42.已知不等式kx2-2x+6k0(1)若不等式的解集是x|x-2,求k的值；(2)若不等式的解集是全體實(shí)數(shù)集R,求k的值 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document .已知不等式 x2 -4x+30；x2 -6x +8 0；2x2 9x + m 0的解集是(一一，2),對于a, b,c有以下結(jié)論：a

13、0；b0；c0； 2a叱+o。；ab+c0 .其中正確的有 、.若0wx2+ax+5W4有且只有一解，則實(shí)數(shù) a的值為.9在R上定義運(yùn)算 : x y =x(1-y).若不等式(x-a) (x+a) 1對任意實(shí)數(shù)x成立，求a的取值范圍.何值時，關(guān)于x的方程x2+(m1)x+1 = 0的兩根中一根介于(0, 1)之間，另一根介于(1 , 2)之間?.函數(shù)y= mx?6x+m+8的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍12方程(k+1)x 2 +4kx+3k-2=0有兩個負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù) k的取值范圍|解：要使原方程有兩個負(fù)實(shí)根，必須2 k +1) #0A之0XiX20k +i #02k +k-2 02(k +i)k #_i-2k 0或k 2或 k 0 =xi x20一 2 一一(m -2) -i6(m-5)_0-m2040,4m2 -20m 84 _0m5J_m i6或 m _ i4