測量誤差的合成和分配

1、2.4 測量誤差的合成和分配 誤差合成理論研究在間接測量中，如何根據(jù)若干個(gè)直接測量量的誤差求總測量誤差的問題；誤差分配理論則研究在給定系統(tǒng)總誤差的條件下，如何將總誤差分配給各測量分項(xiàng)，即如何對各分項(xiàng)誤差提出要求，以達(dá)到系統(tǒng)測量精度要求。1誤差傳遞公式 設(shè)一個(gè)被測量 由兩個(gè)分項(xiàng) 、 ，其函數(shù)表達(dá)式為 則絕對誤差傳遞公式為 式中 被測量 的絕對誤差； 直接測量量 的絕對誤差； 直接測量量 的絕對誤差。 2.4.1 測量誤差的合成(2-18)(2-19) 相對誤差傳遞公式為 式中 被測量 的相對誤差； 直接測量 的絕對誤差； 直接測量 的絕對誤差。(2-20) 同理，當(dāng)被測量 由m個(gè)分項(xiàng)合成時(shí),誤差

2、傳遞公式為 式中 第i個(gè)測量分項(xiàng)的測量值； 直接測量量 的絕對誤差。一般，若 的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，常先求總合的絕對誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對誤差比較方便。 (2-21) (2-22)例1：用間接測量法測量電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流測量相對誤差分別為 、 和 ，問所求功率的相對誤差為多少？例2：用伏安法測電阻時(shí)，若測量電壓和電流的相對誤差為 、 ，試問所求電阻的相對誤差為多少？若 為4%， 為3%， 為多少？ 2系統(tǒng)誤差的合成 若測量中各種隨機(jī)誤差可以忽略，則總和的系統(tǒng)誤差可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成。 式中 系統(tǒng)誤差的總和； 直接測量各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差。

3、(2-23)3隨機(jī)誤差的合成 若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零，則同理可求總合的隨機(jī)誤差 式中 隨機(jī)誤差的總和； 直接測量各分項(xiàng)的隨機(jī)誤差。(2-24)已知各分項(xiàng)方差，求總合方差的公式為 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為 (2-25)(2-26)1等準(zhǔn)確度分配 當(dāng)總誤差中各分項(xiàng)性質(zhì)相同（量綱相同）、大小相近時(shí)，采用等準(zhǔn)確度分法，即分配給各分項(xiàng)的誤差彼此相同。 若總誤差為 ，各分項(xiàng)的誤差為 ；標(biāo)準(zhǔn)差為 ，令 ； ，則分配給各項(xiàng)的誤差為 2.4.2 測量誤差的分配(2-27) (2-28)例：有一個(gè)電源變壓器，已知初級(jí)線圈與兩個(gè)次級(jí)線圈的匝數(shù)比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程為500V的交流電壓表測量次級(jí)線

4、圈的總電壓，要求相對誤差小于2%，問應(yīng)該選用哪個(gè)級(jí)別的電壓表？2等作用分配 當(dāng)分項(xiàng)誤差性質(zhì)不同時(shí)，采用等作用分配方法。在這種分配方式中，分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上不一定相等，但它們對測量誤差總和的作用是相同的。 對于系統(tǒng)誤差，在式（2-23）中，令 。則分配給各分項(xiàng)的誤差為 (2-29)對于隨機(jī)誤差，在式（2-25）中，令 ，則分配給各分項(xiàng)的誤差為 (2-30) 例：間接測量電阻上消耗的功率，已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差不大于5mW，問電壓和電流的測量誤差應(yīng)在多大范圍內(nèi)，才能保證上述功率誤差的要求。3抓住主要誤差

5、項(xiàng)進(jìn)行分配 當(dāng)分項(xiàng)誤差中某項(xiàng)誤差特別大時(shí)，就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差，或酌情分給次要分項(xiàng)少量誤差比例，確保主要項(xiàng)的誤差小于總合的誤差。 若主要誤差項(xiàng)有若干項(xiàng)，這時(shí)可把誤差在這幾個(gè)主要誤差項(xiàng)中分配，考慮采用等準(zhǔn)確度或等作用分配原則。2.5 測量結(jié)果的描述與處理 對測量結(jié)果可采用正確度，精密度和準(zhǔn)確度三種評價(jià)方法。1正確度 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小程度。系統(tǒng)誤差愈大，正確度愈低；系統(tǒng)誤差愈小，正確度愈高。2.5.1 測量結(jié)果的評價(jià)2精密度 表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度，也簡稱為精度。隨機(jī)誤差的大小可用測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 來衡量, 越小，測量值越集中，測量的精密度越高；反之，標(biāo)準(zhǔn)確偏差 越大，測

6、量值越分散，測量精密度越低。3準(zhǔn)確度 是測量結(jié)果系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合，表示測量結(jié)果與真值的一致程度。在一定的測量條件下，總是力求測量結(jié)果盡量接近真值，即力求準(zhǔn)確度高。圖2.3 測量結(jié)果的圖形評價(jià)（a）正確度高、精密度低 精密度、正確度均高（b）精密度高、正確度低 1.誤差位對齊法 誤差位對齊法采用的方法是測量誤差的小數(shù)點(diǎn)后面有幾位，則測量數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后面也取幾位。2.5.2 測量數(shù)據(jù)的整理例：用一塊0.5級(jí)的電壓表測量電壓，當(dāng)量程為10V時(shí)，指針落在大于8.5V的附近區(qū)域，這時(shí)測量數(shù)據(jù)應(yīng)取幾位？例：用一塊0.5級(jí)電壓表的100V量程進(jìn)行測量，指示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。2有效

7、數(shù)字表示法（1）有效數(shù)字 所謂有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字算起到含有存疑數(shù)字為止的各位數(shù)字。一般數(shù)據(jù)的最后一位是欠準(zhǔn)確度的估計(jì)字，稱為存疑數(shù)字。（2）數(shù)字的舍入規(guī)則（1） 小于5舍去舍去部分的數(shù)值小于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位不變。（2） 大于5進(jìn)1舍去部分的數(shù)值大于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位增1。（3） 等于5時(shí)，取偶數(shù)舍去部分的數(shù)值恰好等于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，則當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，末位增1（將末位湊成偶數(shù)）。例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.

8、3217.695517.70 123.1150123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯(cuò)誤做法是： 0.694990.69500.6950.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。 常用被測量的量值和它的不確定度共同表示測量結(jié)果，表達(dá)式為 式中 測量值的算術(shù)平均值； 被測量的不確定度，一般為 在實(shí)際應(yīng)用中，常以絕對誤差的形式表示。 2.5.3 測量結(jié)果的表示方法(2-31)(2-32)1將測量數(shù)據(jù)按先后次序列表。2用公式 求算術(shù)平均值。3用公式 求每一次測量值的

9、剩余誤差。4用公式 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) 值 。 2.5.4 等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理5.按萊特準(zhǔn)則判斷粗大誤差，即根據(jù) 剔除壞值。6.重新計(jì)算 和 ，再判別有無粗大誤差。7.用公式 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn) 差估計(jì)值。8.用公式 求算術(shù)平均值的不確定度。9.寫出測量結(jié)果的表達(dá)式 。 實(shí)驗(yàn)曲線的繪制，通常采用平滑法和分組平均法。1平滑法作圖 如圖2.4（a）所示，先將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 標(biāo)在直角坐標(biāo)上，再將 各點(diǎn)用折線依次相連，然后從起點(diǎn)到終點(diǎn)作一條平滑曲線，使其滿足以下等量關(guān)系 式中 曲線以下的面積和； 曲線以上的面積和。2.5.5 實(shí)驗(yàn)曲線的繪制(2-33)平滑法作圖示意0 xy0 xy 如圖2.4(b)，將

10、所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 標(biāo)在坐標(biāo)上，先標(biāo)出相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，再將所有中點(diǎn)連成一條光滑的曲線；或用3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的重心點(diǎn)連成一條光滑曲線。由于取中點(diǎn)（或重心點(diǎn)）的過程就是取平均值的過程，所以減小了隨機(jī)誤差的影響。2分組平均法 分組平均法作圖示意0 xy2.6 最佳測量方案選擇 最佳測量方案是使總誤差為最小的測量方案，是使系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都減少到最小的測量方案。即做到即上述和式中每一項(xiàng)都達(dá)到最小時(shí)，總誤差就會(huì)最小。例：測量電阻R消耗的功率時(shí)，可間接測量電阻值R，電阻上的壓降U，流過電阻的電流I，設(shè)電阻、電壓、電流測量的相對誤差分別為R=2%，U=2%， I=3%，試確定測量的最佳方案。本章小結(jié) 由于儀器誤差、人身誤差、方法誤差和環(huán)境誤差的原因，所有的測量結(jié)果與真值都會(huì)有誤差。 誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。 絕對誤差僅能說明測量結(jié)果偏離實(shí)際值的情況；相對誤差可以說明測量的準(zhǔn)確度，可分為實(shí)際相對誤差、示值相對誤差、滿度相對誤差。 根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。 在實(shí)際測量時(shí)應(yīng)根據(jù)誤差性質(zhì)進(jìn)行判斷和處