垂向二階導(dǎo)數(shù)正演原理

1、2方法原理2.1方法的提出將重力觀測(cè)值轉(zhuǎn)換為重力的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，也可以使異常成份發(fā)生變化，達(dá)到劃分異常的目的。重力位高階導(dǎo)數(shù)法主要用來(lái)突出局部異常，特別是對(duì)體積小、埋藏淺的物體引起的局部異常。用平均場(chǎng)法等方法效果較差，但用高階導(dǎo)數(shù)可以得到良好的效果。此外，高階導(dǎo)數(shù)法也是重力位場(chǎng)變中應(yīng)用很廣泛的方法之一，它從另一個(gè)方面，對(duì)重力異常解釋提供新的信息，豐富我們對(duì)重力異常的認(rèn)識(shí)。2.2方法原理2.2.1方法的實(shí)質(zhì)重力異常場(chǎng)在場(chǎng)源外滿(mǎn)足拉普拉斯方程。據(jù)此可將重力垂向二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求取沿x、y兩個(gè)方向的二階導(dǎo)數(shù)，即:d2Agdz2=-（沁+沁）dx2dy22-1）重力高階導(dǎo)數(shù)解釋法的實(shí)質(zhì)就是

2、在對(duì)重力資料成果進(jìn)行推斷解釋時(shí)，我們不再試圖把實(shí)際觀測(cè)的重力場(chǎng)人為的劃分為區(qū)域場(chǎng)和局部場(chǎng)兩個(gè)組成部分，而是根據(jù)位場(chǎng)的有關(guān)理論，將觀測(cè)場(chǎng)換算為位場(chǎng)的高次導(dǎo)數(shù)。如重力的垂向梯度叟或垂向二階導(dǎo)數(shù)沁等，在這些換算后的結(jié)果中，同樣包括區(qū)域因素與局部因素兩部分的影響，但比2二者所占的比重已發(fā)生顯著地變化，即局部因素的影響在位場(chǎng)的較高次導(dǎo)數(shù)中將占有極為顯著地地位，從而可以突出地表現(xiàn)出來(lái)。設(shè)球體的質(zhì)量為M,球體的中心埋深為乙球體的各階導(dǎo)數(shù)極大值如下列各式所示:1TOC o 1-5 h z二GM（2-2）Z1二g二GM（2-3）ZZ21二g二GM（2-4）zzzZ31二g二GM（2-5）zzzzzZ4質(zhì)量相等的

3、物體，埋深分別為0.5Z、Z和2Z的時(shí)候，引力位各階導(dǎo)數(shù)的極值之比為: HYPERLINK l bookmark18 （V）:（V）:（V）=16:4:1（2-7）Z0.5ZZZZ2Z(V):(V):(V)=64:8:1(2-7)ZZ0.5ZZZZZZ2Z(V):(V):(V)二256:16:1(2-8)ZZZ0.5ZZZZZZZZ2Z由式子(2-2)到(2-8)可得：(1)同一埋深的高階導(dǎo)數(shù)衰減更快。(2)同次導(dǎo)數(shù)，不同埋深，高階導(dǎo)數(shù)的差別更大，也就是說(shuō)高階導(dǎo)數(shù)對(duì)深度的變化最敏感。這兩點(diǎn)都說(shuō)明，埋深大的地質(zhì)體引起的高階導(dǎo)數(shù)異常是非常小的，或者說(shuō)埋深大的地質(zhì)體基本上不引起高階導(dǎo)數(shù)的異常，只有埋

4、深小的地質(zhì)體才能引起明顯的高階導(dǎo)數(shù)異常。當(dāng)場(chǎng)源埋深不同的地質(zhì)體共同引起的異常Ag換算成g以后，埋深大的場(chǎng)源引起zz的g幾乎衰減殆盡，埋深小的場(chǎng)源引起的g也衰減，但相對(duì)于埋深大的來(lái)說(shuō)，衰減zzzz小很多，因而埋深小的高階導(dǎo)數(shù)異常得到相對(duì)突出，一般區(qū)域場(chǎng)由埋深較大的地質(zhì)體引起，將Ag異常換算成g以后，區(qū)域場(chǎng)基本上衰減完，局部異常得到相對(duì)突出，所zz以，在一定的意義上說(shuō)，高階導(dǎo)數(shù)異常就是局部異常。這也是高階導(dǎo)數(shù)劃分區(qū)域異常和局部異常與其他劃分異常方法的不同之處。2.2.2基本原理在重力勘探中所講的重力異常就是地質(zhì)體的剩余質(zhì)量所產(chǎn)生的引力在重力方向的分量，若地質(zhì)體的密度小于圍巖密度，則剩余密度為負(fù)值，

5、剩余質(zhì)量也為負(fù)值。residualdensity地質(zhì)體密度(o)和圍巖密度(oO)的差值，稱(chēng)為剩余密度。residualmass地質(zhì)體的剩余密度和它體積的乘積稱(chēng)為地質(zhì)體的剩余質(zhì)量。圖2-1計(jì)算地質(zhì)體重力異常示意圖要計(jì)算某個(gè)地質(zhì)體產(chǎn)生的重力異常，可以根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力公式來(lái)計(jì)算，通常是計(jì)算地質(zhì)體的剩余質(zhì)量產(chǎn)生的引力位，然后再求天虎引力位重力方向的導(dǎo)數(shù)，其方法如下：以地面上某一點(diǎn)0作為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z軸垂直向下，X,Y軸在水準(zhǔn)面上。d=dgdqd匚若地質(zhì)體與圍巖的密度差為b，地質(zhì)體內(nèi)任一體積單元v其坐標(biāo)為，其剩余質(zhì)量為m5J，令計(jì)算點(diǎn)為d計(jì)算點(diǎn)的距離r,則(x,y,z),剩余質(zhì)量單元m到r=I_x+6-

6、y丄+匕一z則地質(zhì)體剩余質(zhì)量在計(jì)算點(diǎn)A處產(chǎn)生的引力位為：V(x,y,z)=GBJVbdgdqdq皆一x+G一y+匕-z!(2-9)=Vz疇=G川EBE(2-10)(2-11)(2-12)(2-13)因?yàn)閆的方向即為重力方向，所以重力異常就是剩余質(zhì)量引力位沿Z方向的導(dǎo)數(shù)，即為：由此可以推到出重力異常水平梯度和垂向梯度的計(jì)算公式：V旦=(代-z)十dvXZ飯占一x+G一y+匕一zVGbBlK-d上-以丄-十dvZZ比叫一xG+z)4V二倍二GbB!-豐艇-Z-此-y+x2JvZZZ比2V鮎一x+G一y+(q一zJ對(duì)于地下的復(fù)雜形體，由于地質(zhì)體的形狀、構(gòu)造和剩余密度各異，怎么選擇一個(gè)合適的模型進(jìn)行模

7、擬計(jì)算不僅關(guān)系到對(duì)地質(zhì)體的形狀和空間位置的確定，而且關(guān)系到工作的效率。對(duì)于礦巢、巖珠及近似等軸狀的地質(zhì)體，都可以近似的看做球體。球體半徑為R,埋藏深度為h,取其中心在地面的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z軸垂直向下，X,Y軸水平。根據(jù)場(chǎng)論的知識(shí)，質(zhì)量均勻分布的球體，對(duì)于外部空間各點(diǎn)的引力位，等于全部質(zhì)量集中于求新的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的情況，即：vV二Gb(2-14)r式中：R二北_x+G_y+匕_z,v為球體的體積，V為點(diǎn)(x,y,z)的引力位，b為球體與圍巖的密度差。因?yàn)榘亚蝮w看作質(zhì)點(diǎn)，所以g二0，耳二0,二h，又因?yàn)槲覀冄刂鳻(Y=Z=O)方向觀測(cè)，即：(2-15)將上述各量代入(2-14)得:4兀R3Gbh(2-

8、16)球體重力異常：Ag二fyx2+h2/球體重力異常垂向二階導(dǎo)數(shù)：VZZZ4兀R3Gbh3Ch29X2(2-17)g的換算zz已知在場(chǎng)源外部，引力位是空間坐標(biāo)的調(diào)和函數(shù)，滿(mǎn)足拉普拉斯方程V2V二竺+竺+乜二00 x2dy2dz2(2-18)(0V)0(02V02V02V)+(0Z丿0Z(0 x20y20z2丿二0對(duì)于劣，由于V2(2-19)所以在場(chǎng)源外部空間有：(2-20)03V+03V+0J00 x20z20y20z0z3其中：d=空0 x20z0 x203V02V03V02g70y20z0y20z302z(2-21)代入解得：譽(yù)02gj0 x2至今，導(dǎo)出的g計(jì)算公式很多，然而基本原理相似

9、，下面具體介紹幾個(gè)常用公zz式。若用符號(hào)g(R)表示以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，R為半徑的一個(gè)圓周上重力異常的平均值，則：g(R)=J2兀g(R,(2-22)2兀o式中g(shù)(R,q)為圓周上某一點(diǎn)的重力值，由于它是坐標(biāo)位置的調(diào)和函數(shù)，因此，當(dāng)R不大時(shí)，g(R,q)可以寫(xiě)成對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的臺(tái)勞展開(kāi)式：g6,q)=g(x,y)=gG,0)+佇J-x+-y丿(Qy丿00+2!1+3!Qx2丿0QxQy丿0-xyQx3丿-X3+1+4!Qx4丿0+(2-23)考慮到x=Rcosx，y=Rsinq，并將代入直接積分后得:(2-24)g(R)=a+aR2+aR4+12其中R為奇次項(xiàng)在積分后代入上、ao=g(0，0)下限

10、時(shí)均已消去。aoa，1的表達(dá)式為：(2-25)Qx2丿0Qy2丿o4(Qz2丿(2-26)1a=_264Qx4丿0(+2(Qx2Qy2丿Q4gJQy4丿o(2-27)這樣，計(jì)算原點(diǎn)0的重力垂向二階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，就變成了確定上中的系數(shù)a了,1求得a再乘以(-4),就可得到計(jì)算點(diǎn)的g值，即:1zz(2-28)g厶=_4azzQz21當(dāng)采用不同方法確定系數(shù)a時(shí)，就可以得到不同的計(jì)算公式。1由上可知，各種公式的推導(dǎo)，其原理一致，都采用級(jí)數(shù)逼近的近似解，只在處理方法上各不相同，從而計(jì)算的效果也不同。羅森巴赫公式在推導(dǎo)中因保留了四次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且是直接解出g的，故具有精度較高的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)對(duì)局部干擾也十分敏感，

11、zz故一般適用于精度較高情況的重力資料處理；而艾勒金斯公式只保留了R2項(xiàng)，又用最小二乘法求解，起到平滑的作用，故計(jì)算結(jié)果精度較低，異常幅值衰減很大，但受局部干擾的影響也小，因而適應(yīng)精度較低，較平緩的異常的處理。這些公式的取數(shù)點(diǎn)位置見(jiàn)取數(shù)量板圖。圖2-2計(jì)算g的取數(shù)量板zz圖2-3艾勒金斯和羅森巴赫計(jì)算盤(pán)板2.2.3經(jīng)典公式垂向二階導(dǎo)數(shù)法作為一種已經(jīng)成熟的處理方法，前人已經(jīng)做過(guò)許多的研究，并且得到許多實(shí)際可靠的公式。其中包括：1.哈克公式4gzz=-4a1二R(2-29)2.艾勒金斯公式艾勒金斯第I公式為1g（0）-8g（R）-16gg=zz60R2艾勒金斯第II公式t116g(0)+8g(R)-24g40g(5Rg二zz28R2艾勒金斯第III公式1也4g(0)+16g(R)12gV2R)-48gg=zz62R2(2-30)(