2022年16組合與構(gòu)造1981-2018年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽48套真題WORD版分類匯編含詳細(xì)答案

1、1981 年2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題分類匯編 16 組合與構(gòu)造2022A 三、（此題滿分50 分）將3333方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等；如相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同,就稱他們的公共邊為“ 分割邊”；試求分割邊條數(shù)的最小值；解析： 記分割邊的條數(shù)為L(zhǎng) .第一,將方格紙按如下列圖分成三c ,cj色方格1,cj個(gè)區(qū)域,分別染成三種顏色,粗線上均為分割邊,此時(shí)共有56 條分割邊,即L56；下面證明L56. 將方格紙的行從上至下依次記為A ,A , A 33,列從左至右依次記為B ,B , B 33,行iA 中方格顯現(xiàn)的顏色數(shù)記為niA,列B 中方格顯現(xiàn)的

2、顏色數(shù)記為niB,三種顏色分別記為1c ,c ,對(duì)于一種顏色jc ,設(shè)nic是表示含有c 色方格的函數(shù)與列數(shù)之和. 中含有記A i,cj1,A i 中含有cj色方格,同理定義Bi,cj1,B icj色方格,B i中不含cj色方格0,A i 中不含0jBi,3n33333333就nA inBiA i,cjBi,cjA i,ccji1i1j1j1i1j由于染c 色的方格有1332363個(gè),設(shè)含有jc 色方格的行有a 個(gè),列有 b 個(gè),就c 色方3格一定在 這a行和b列的交叉方 格中,因此ab363. 從而iB 中有nc iab2 ab236338即nic39.j,1,2,3由于在行iA 中有niA

3、種顏色的方格,因此至少有niA1條分割邊,同理在行niB種顏色的方格,因此至少有niB1條分割邊,于是,33 33 33 3L n A i 1 n B i 1 n A i n B i 66 n c j 66 i 1 i 1 i 1 j 1下面分兩種情形爭(zhēng)論 . 當(dāng)有一行或有一列全部方格同色時(shí),不妨設(shè)有一行全為 1c 色,從而方格紙的 33 列中均含有 1c 的 方 格 , 由 于 1c 的 方 格 有 363 個(gè) , 故 至 少 有 11 行 中 含 有 1c 色 方 格 ； 于 是n 1c 11 33 44；由得 L n c 1 n c 2 n c 3 66 44 39 39 66 56沒(méi)有

4、一行或沒(méi)有一列全部方格同色時(shí),就對(duì)任意 1 i 33,均有 n iA 2,n B i 2,33從而由知,L n A i n B i 66 33 4 66 56i 1綜上可知,分割邊條數(shù)的最小值為 56；2022A 四、（此題滿分 50 分）；設(shè) m, n 均是大于 1的整數(shù),m n,a 1 , a 2 , , a n 是 n 個(gè)不超過(guò) m 的互不相同的正整數(shù),且 a 1 , a 2 , , a n 互素；證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) x ,均存在一個(gè) i（1 i n）,使得 a i x 2 x,這里 y 表示實(shí)數(shù) y 到它最近的整數(shù)的距離；m m 1 證明： 第一證明兩個(gè)引理：引理 1：存在整數(shù)c 1,c

5、2,nc,滿意c 1 a 1c 2a 2cnan1,并且cim,1in. 由于a1,a2,an互素,即a 1,a2,an1,有裴蜀定理,存在整數(shù)c 1,c 2,nc,滿意c 1 a 1c2a2c na n1；m, 記下 面 證 明 , 通 過(guò) 調(diào) 整 , 存 在 一 組c 1,c2,cn滿 足 , 且ciS 1c 1,c 2,c nc i0,c imS 1c 1,c 2,c ncj0；cjm假如 S 1 0,那么存在 ci m 1,于是 a ic i 1,又 a 1 , a 2 , , a n 是大于 1 的整數(shù),故由可知,存在 jc 0,令 c i /c i a j,c /j c j a i

6、,c k / c k（1 k n,k i , j）,就/ / / / /c 1 a 1 c 2 a 2 c na n 1, 并且 0 m a j c i c i,c j c j a k m,所以 S 1 c 1、, c、2 , , c n / S 1 c 1 , c 2 , , c n,S 2 c 1、, c、2 , , c n / S 2 c 1 , c 2 , , c n假如 S 2 0,就存在 c j m,因此有一個(gè) ic 0 .令 c i / c i a j,c /j c j a i,c k / c k（1 k n,k i , j）,那么成立,并且 m c i / c i , c j

7、c /j 0,與上面類似可以證、/、/明到：S 1 c 1 , c 2 , , c n S 1 c 1 , c 2 , , c n,S 2 c 1 , c 2 , , c n S 2 c 1 , c 2 , , c n,即說(shuō)明 S 1與 S 均是非負(fù)整數(shù), 故通過(guò)有限次上述的調(diào)整,可以得到一組使得成立,并且 S 1 S 2 0結(jié)論獲證；引理2：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,均有abab；對(duì)任意整數(shù)1u 和實(shí)數(shù) v ,有,此時(shí)aa,uvuv；由于對(duì)任意整數(shù)u 和實(shí)數(shù) x ,均有uxx,于是不妨設(shè)a,b1,22bb,如ab0,不妨設(shè)a0b,就ab1,1,從而22abababab如ab0,不妨設(shè)a,b同號(hào),就

8、當(dāng)ab1時(shí),有ab1,1,222ab1,故此時(shí)abababab；當(dāng)ab1時(shí),留意到總有22ab1abab；故得證；2又yy,由知,是成立的；c nan1,并且接下來(lái)回到原題,由結(jié)論存在整數(shù)c 1,c 2,cn,滿意c 1 a 1c2a2nci m,1 i n . 于 是,c i a i x x,由 引 理 2 得i 1n n nx c i a i x c i a i x m a i x,i 1 i 1 i 1因此,max ai x 1 x 1 i n mn如 n m2 1,就由知,max 1 i n ai xmn 1xm 2m x1如 n m 1, 就 在 a 1 , a 2 , , a n

9、中 存 在 兩 個(gè) 相 鄰 的 正 整 數(shù) ； 不 妨 設(shè) a 1,a 2 相 鄰 , 就2x 2 xx a 2 x a 1 x a 2 x a 1 x,故 a2 x 與 a1 x 中有一個(gè)不小于；2 m m 1綜上,總存在存在一個(gè) i （1 i n）,使得 a i x 2 xm m 1 2022A 三、（此題滿分 50 分）給定空間 10個(gè)點(diǎn),其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上；將某些點(diǎn)之間用線段相連,如得到的圖形中沒(méi)有三角形也沒(méi)有空間四邊形,試確定所連線段數(shù)目的最大值；解析： 以這 10 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),所連線段為邊,得到一個(gè)10 階簡(jiǎn)潔圖 G,我們證明G 的變數(shù)不超過(guò) 15. 設(shè) G 的頂點(diǎn)為 v

10、1 , v 2 , , v 10,一共有 k 條邊,用 D iv 表示頂點(diǎn) iv 的度；如 D iv 3 對(duì)101 1i ,1 ,2 ,3 , 10 都成立,就 k D iv 10 3 15；2 i 1 2假 設(shè) 存 在 iv 滿 足 D iv 4, 不 妨 設(shè) D v 1 n 4, 且 v 與 v 2 , , v n 1 均 相 鄰 . 于 是v 2 , , v n 1 之間沒(méi)有邊,否就就成三角形,所以 v 與 v 2 , , v n 1 之間恰有 n 條邊 . 對(duì)每個(gè) j （n 2 j 10）,v 至多與 v 2 , , v n 1 中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（否就設(shè) v 與 v ,tv（2 s t

11、 n 1）相鄰,就 v ,2v ,v ,j tv 就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),這與題意沖突）,從而 v 2 , , v n 1 與 v n 2 , , v 10 之間的邊數(shù)至多 10 n 1 9 n 條；在vn2,vn這9n個(gè)頂點(diǎn)之間,由于沒(méi)有三角形,由托蘭定理,至多94n2條邊,因此 G的邊數(shù)kn9n9n299n292515444ABC 的內(nèi)部例如如下列圖的就有15條邊,且滿意要求；綜上所述,所連線段數(shù)目的最大值為15；2022B 四、（此題滿分50 分）設(shè)ABC 是一個(gè)邊長(zhǎng)為23的等邊三角形,在和邊界上任取 11 個(gè)點(diǎn) . 1 證明：肯定存在兩個(gè)點(diǎn),它們之間的距離小于或等于1；（20

12、 分）對(duì)于中間的圖2 證明：肯定存在兩個(gè)點(diǎn),它們之間的距離嚴(yán)格小于1；（30 分）證明： 1如左下圖 1,我們將ABC分成16個(gè)邊長(zhǎng)為3 的小等邊三角形；22 中六個(gè)灰色的小三角形,我們將它們剖分成三個(gè)全等的三角形；這樣,我們就可以看出ABC 就可以被右圖3 的10個(gè)正六邊形所掩蓋；圖 3 圖 1 圖 2 不難看出,這里的 10 個(gè)正六邊形的直徑為 1,它們可以被看做 10只“ 抽屜”,對(duì)于三角形ABC 內(nèi)部和邊界上任取 11個(gè)點(diǎn),依據(jù)抽屜原理,至少有一個(gè)正六邊形包含兩個(gè)點(diǎn)；而在這個(gè)正六邊形中,任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò) 1,這樣便證明白我們所要的結(jié)論；（要留意,我們的抽屜的構(gòu)造并不是唯獨(dú)的,我們

13、仍可以用下圖 掩蓋 ABC ,也可以得到同樣的結(jié)論）4 所示的 10個(gè)直徑為 1的圓圖 4 圖 5 2這部分要求證明的是嚴(yán)格不等號(hào)；我們要證明在 11個(gè)點(diǎn)中存在兩個(gè)點(diǎn),他們間的距離嚴(yán)格小于 1,留意到直徑為 1的正六邊形中,間距恰好為 1的兩個(gè)點(diǎn)肯定是距離最遠(yuǎn)的一對(duì)點(diǎn),另一方面,上面所構(gòu)造的正六邊形抽屜在邊和頂點(diǎn)處是由重復(fù)的,我們通過(guò)指定一條邊或者頂點(diǎn)屬于那一個(gè)特定的正六邊形來(lái)改造我們的“ 抽屜”,使得每一個(gè)抽屜不包含正六邊形中距離為 1的頂點(diǎn)對(duì),當(dāng)然,在目前的情形我們只需關(guān)懷怎么改造頂點(diǎn)即可；我們?cè)诿恳粋€(gè)正六邊形抽屜上去掉一些頂點(diǎn),使得每一個(gè)抽屜不在包含正六邊形中距離為 1的頂點(diǎn)對(duì),如圖 5

14、 就是一個(gè)方法,圖中空心的點(diǎn)表示正六邊形中去掉該點(diǎn),不難看出,這樣的改造仍是掩蓋了原先得三角形 ABC ,且每一個(gè)抽屜不在包含正六邊形中距離為 1的頂點(diǎn)對(duì),依據(jù)抽屜原理,我們就證明白：任取 11個(gè)點(diǎn),肯定存在兩個(gè)點(diǎn),它們之間的距離嚴(yán)格小于1；（這樣的抽屜構(gòu)造也是不唯獨(dú)的）2022B 四、（此題滿分50 分）用如干單位小正方形和由三個(gè)單位小方格組成的n3形“ 磚”鋪滿一個(gè) 2 n 的方格棋盤的全部不同可能鋪法的數(shù)目是T 下面的圖是時(shí)的兩種不同的鋪法：求T 10；求T 2022的個(gè)位數(shù)T225,23,我們證明： 由題意明顯T 11,當(dāng)n3時(shí),我們從左向右地鋪n的方格棋盤,無(wú)論哪一種鋪法,至多鋪到一

15、 定會(huì) 完成 一個(gè)2k（k,123, ,） 的矩 形； 這樣 我們 運(yùn)算T 時(shí) , 就可 以去 查找 與3Tn1,Tn2,Tn3的關(guān)系,又由下圖我們得到T nTn14 Tn22 T n由T 11,T 25,得T 311,T433,T587,依次下去可得T 1013377由TnT n14 Tn22 Tn3,T 11,T 25,T 311,可知,T 肯定是奇數(shù)； 我們由mod5運(yùn)算T2022,對(duì)每一個(gè)T ,我們有：2,T 61,T 70,T 83,T90,T 102,T 113,T 11,T20,T 31,T43,T 5T 12 1 , T 13 2 , T 14 2 , T 15 2 , T 1

16、6 4 , T 17 1 , T 18 1 , T 19 3 , T 20 4 , T 21 3 , T 22 0, T 23 0 , T 24 1 , T 25 1 , T 26 0 , T 27 1 , T 28 3 , T 29 2 , T 30 1 , 可知,T 的個(gè)位數(shù)的周期是 24 ；而 2022 21 mod 24,又 mod 5 等于 3的奇數(shù) mod 10 也肯定等于 3,所以 T 2022 的個(gè)位數(shù)為 3 ；2022A 三、（此題滿分 50 分）設(shè) P P P 2 , , P 是平面上 n 1 個(gè)點(diǎn),它們兩兩間的距離的最小值為 d d 0,求證：P P 0 1 P P 0

17、2 P P 0 n d n n 1.3 證 明 ： 證 法 一 : 不 妨 設(shè) P P 0 1 P P 0 2 P P 0 n . 先 證 明 : 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) k , 都 有dP P k 13明顯 , P P k d dk 1 對(duì) k 1,2, ,8 均成立 , 只有 k 8 時(shí)右邊取等號(hào) 10 分3所以 , 只要證明當(dāng) k 9 時(shí), 有 P P k dk 1 即可 . 3以 iP i 0,1,2, , 為圓心 , d 為半徑畫 k 1 個(gè)圓 , 它們兩兩相離或外切 ; 以 0P 圓心,2P P k d為半徑畫圓,這個(gè)圓掩蓋上述 k 1 個(gè)圓 20 分2所以 P P k d 2 k

18、 1 d 2P P k d k 1 1 30 分2 2 2由 k 9 易知 k 1 1 k 1 40 分2 3所以 P P k dk 1 對(duì) k 9 時(shí)也成立 . 3綜上 , 對(duì)任意正整數(shù) k 都有 P P k dk 1 . 3d n因而 P P 1 P P 2 P P n n 1. 50 分3證法二 : 不妨設(shè) P P 1 P P 2 P P n .以 iP i 0,1,2, , 為圓心 , d 為半徑畫 k 1 個(gè)圓 , 它們兩兩相離或外切 ; 10 分2設(shè) Q 是是圓 iP 上任意一點(diǎn) , 由于P Q P P PQ P P d P P k 1 P P k 3 P P 20 分2 2 23

19、因而 , 以 P 為圓心 , P P k 為半徑的圓掩蓋上述個(gè)圓 30 分2故 3P P k 2 k 1 d 2P P k dk 1 k 1,2, , n 40 分2 2 3所以 P P 1 P P 2 P P n d n n 1. 50 分32022A 四、（此題滿分 50 分）設(shè) A 是一個(gè) 3 9 的方格表,在每一個(gè)小方格內(nèi)各填一個(gè)正整數(shù)稱 A 中的一個(gè) m n 1 m 3 , 1 n 9 方格表為“ 好矩形”,如它的全部數(shù)的和為 10的倍數(shù)稱 A 中的一個(gè) 1 1 的小方格為“ 壞格”,如它不包含于任何一個(gè)“ 好矩形”求 A 中“ 壞格” 個(gè)數(shù)的最大值解析： 第一證明 A 中“ 壞格”

20、 不多于25 個(gè)由表格的用反證法假設(shè)結(jié)論不成立,就方格表A 中至多有1 個(gè)小方格不是“ 壞格”對(duì)稱性,不妨假設(shè)此時(shí)第1 行都是“ 壞格”T 9都是模設(shè)方格表A 第 i 列從上到下填的數(shù)依次為ai,bi,ci,i,12,9kk記S kai,T kbic i,k,1,02,9,這里S0T00i1i1我們證明：三組數(shù)S0,S 1,S 9；T0,T 1,T9及S0T0,S 1T 1,S 910 的完全剩余系事實(shí)上,假如存在m ,n,0mn9,使SmS nmod10,就,就na iSnSm0 mod10,im1即第 1 行的第m1至第 n 列組成一個(gè)“ 好矩形”,與第 1 行都是“ 壞格” 沖突又假如存

21、在m ,n ,0mn9,使TmTnmod10nbiciT nTm0 mod10,2 個(gè)小方格不是 “ 壞im11列至第 n 列組成一個(gè) “ 好矩形” ,從而至少有即第 2 行至第 3 行、第m格” ,沖突類似地,也不存在m ,n,0mn9,使SmT mS nTnmod10因此上述斷言得證故99995 mod10,S kT kS kTk012k0k0k0999所以SkTkSkTk550mod10,10 的小方格都是“ 壞格”k0k0k0沖突！故假設(shè)不成立,即“ 壞格” 不行能多于25 個(gè)另一方面,構(gòu)造如下一個(gè)39的方格表,可驗(yàn)證每個(gè)不填此時(shí)有 25 個(gè)“ 壞格” 1 1 1 2 1 1 1 1

22、10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 2 綜上所述,“ 壞格” 個(gè)數(shù)的最大值是252022B 四、（此題滿分50 分）給定n個(gè)不同實(shí)數(shù),其全部全排列組成的集合為A .對(duì)于a a2,anA ,如恰有兩個(gè)不同的整數(shù)i j1,2,. ,n1使得aia i1,ajaj1成立,就稱該排列為“ 好排列”.求A 中“ 好排列” 的個(gè)數(shù)解析： 第肯定義：對(duì)于 A 中的一個(gè)排列a 1,a2,an,假如滿意a 1a2an,就稱該排列為自然排列；對(duì)于 A 中的一個(gè)排列 a 1 , a 2 , , a n,假如有整數(shù) i ,1 2 , , n 1,使得 a i a i 1 就稱i

23、a 和 ia 1 構(gòu)成一個(gè)“ 相鄰逆序”；對(duì)于 a 1 , a 2 , , a n A,假如它恰有一個(gè)“ 相鄰逆序”,就稱該排列為“ 一階好排列”,A 中全部“ 一階好排列”的個(gè)數(shù)記為 f 1n ；假如它恰有兩個(gè) “ 相鄰逆序”,就稱該排列為 “ 二階好排列” , A 中全部“ 二階好排列” 的個(gè)數(shù)記為f2n；依題意知,f2n恰好是要求的A中“ 好排列” 的個(gè)數(shù)；由題意知：1f 1 0,1f 2 1,f 2 1 f 2 2 0,2f 3 1；以下為了表達(dá)簡(jiǎn)便,我們把由給定的 k 個(gè)不同實(shí)數(shù)的全部全排列構(gòu)成的集合記為 A k（k ,1 2 , , n）,其次求 f 1n ；我們先來(lái)考察 f 1k

24、 1 與 f 1k 之間的遞推關(guān)系；對(duì) A k 1 中的每一個(gè)“ 一階好排列”（記為 a ）,我們考慮從中取出最大的數(shù) a k 1 后剩下的k 個(gè)數(shù) a 1 , a 2 , , a k 按原先的次序構(gòu)成的排列（記為 b ）；假如排列 b 是 A 中的“ 一階好排列”,且“ 相鄰逆序” 為 a i a i 1,那么,在排列 a 中,a k 1 的位置只能在 a ia i 1 之間或最終；假如排列 b 不是 A 中的“ 一階好排列”,就排列 b 中的“ 相鄰逆序” 的個(gè)數(shù)不為 1,顯然排列 b 中“ 相鄰逆序” 的個(gè)數(shù)不能大于 1（否就,排列 a 不是“ 一階好排列”,理由是：因?yàn)?a k 1 是

25、最大的數(shù),所以排列 a 中“ 相鄰逆序” 的個(gè)數(shù)肯定不少于排列 b 中“ 相鄰逆序” 的個(gè)數(shù)）,從而排列 b 中“ 相鄰逆序”的個(gè)數(shù)為 0,此時(shí)排列 b 是一個(gè)自然排列, 而排列 a 是“ 一階好排列” ,所以ak1的位置不能在最終（有k 種可能的位置） ；kkk,即綜合上面的分析可知：f1k1 2f1f1k1 k1 12f1kk1,a1后剩下的 k所以f1nn142n2,即f1n 2nn1；最終求f2n ；我們先來(lái)考察f2k1與f2k之間的遞推關(guān)系；對(duì)A k1中的每一個(gè) “ 二階好排列” （記為c）,我們考慮從中取出最大的數(shù)個(gè)數(shù)a1,a2,ak按原先的次序構(gòu)成的排列（記為d ）；假如排列 d

26、 是 A 中的“ 二階好排列”,且“ 相鄰逆序” 為 a i a i 1,a j a j 1,那么在排列 c 中,a k 1 的位置只能在 a ia i 1 之間或 a ja j 1 之間,或者排在最終；假如排列 d 不是 A 中的“ 二階好排列”,就它肯定是 A 中的“ 一階好排列”,設(shè)“ 相鄰逆序” 為 a i a i 1,由于排列 c 是“ 二階好排列”,所以 a k 1 的位置不能在 a i a i 1 之間,也不能排在最終,其余位置都行,有 k 1 種可能；綜合上面分析可知：f 2 k 1 3 f 2 k k 1 f 1 k ,又 f 1 n 2 nn 1,所以f 2 k 1 3 f

27、 2 k k 1 2 kk 1 ,變形為f 2 k 1 k 2 2 k 1 1 k 1 k 2 3 f 2 k k 1 2 k 1 k k 1 2 2所 以 f 2 n n 1 2 n 1n n 1 27 3 n 3,即2f 2 n 3 n n 1 2 n 1n n 1,2因此 A 中“ 好排列” 的個(gè)數(shù)為 3 n n 1 2 n 1 n n 1 個(gè)；22022A 四、（此題滿分 50 分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正 n 邊形 A 1 A 2 A n 的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值 0 和 1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè),同時(shí)在每個(gè)頂點(diǎn)處染紅、藍(lán)兩種顏色之一,使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同.問(wèn)：這種密

28、碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置；解析： 對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置,假如相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同,在它們所在的邊上標(biāo)上 a,假如顏色不同,就標(biāo)上 b,假如數(shù)字和顏色都相同,就標(biāo)上 c于是對(duì)于給定的點(diǎn) A 上的設(shè)置（共有 4 種）,依據(jù)邊上的字母可以依次確定點(diǎn) A 2 , A 3 , , A 上的設(shè)置為了使得最終回到 A 時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同,標(biāo)有 a 和 b 的邊都是偶數(shù)條所以這種密碼鎖的全部不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記 a,b,c,使得標(biāo)有 a 和 b 的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的 4 倍設(shè)標(biāo)有 a 的邊有 2i 條,0 i n,標(biāo)有 b 的邊有 2 j 條,0 j n 2 i選取

29、2i 條2 22i 2 j邊標(biāo)記 a 的有 C n 種方法,在余下的邊中取出 2 j 條邊標(biāo)記 b 的有 C n 2 i 種方法,其余的邊標(biāo)記 c由乘法原理,此時(shí)共有2i C nC2j2i種標(biāo)記方法對(duì)i,j 求和,密碼鎖的全部不同的密碼n設(shè)置方法數(shù)為nn2i1a,42C2i22 C nj2ini0j0n2i這里我們商定C010當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),n2i0,此時(shí)2C n 2ji2n2 i2nj0n2i1nn2 in2C2i2C2ji42C2i222C2in 22i代入式中,得4nn2nn 1ni0j0i0i0nCk2n knCk2n kk 12n 12nnk0k0in,就式仍舊成立；如in 2,就

30、正 n 邊形的全部邊都標(biāo)記n 31當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),如2此時(shí)只有一種標(biāo)記方法于是,當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí),全部不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為4inC2in2iC2j2 i41n01C2i2n2i124in2 C nin 22 i1n 3322220nj0nin0綜上所述,這種密碼鎖的全部不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是：當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)有 3n1種；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)有 3n3種2022* 四、（此題滿分 50 分）在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的39數(shù)表x11x 12x 13x 14x 15x16x 17x18x 19x 17x28x390,Px21x22x 23x24x25x26x27x28x 29x31x 32x 33x 34x35

31、x36x37x38x 39中 每 行 的 數(shù) 互 不 相 同 , 前 6 列 中 每 列 的 三 數(shù) 之 和 為 1 ,x11x 12x 13滿意如x27,x37,x18,x38,x19,x29均大于 1；假如 P 的前三列構(gòu)成的數(shù)表Sx21x22x 23x31x32x 33使得x1 k,123,下性質(zhì)（ O）：對(duì)于數(shù)表 P 中任意一列x2k（k,12 ,9,）均存在某個(gè)ix3kx 12x 1kx1 kuiminxi1,xi2,x 13；求證：最小值uiminx i1,x i2,x 13,i,1,23肯定來(lái)自數(shù)表S 的不同列；存在數(shù)表 P 中唯獨(dú)的一列x 1k,k1 2,3,使得33數(shù)表Sx

32、11x 2kx21x 22x2k仍x 3kx31x 32x3k然具有性質(zhì)（ O ）；證明：（i ）假設(shè)最小值 u i min x i 1 , x i 2 , x i 3 , i 1 , 2 3, 不是取自數(shù)表 S 的不同列；就存在一列不含任何 iu . 不妨設(shè) u i x i 2i ,1 2 3, . 由于數(shù)表 P 中同一行中的任何兩個(gè)元素都不等,于是 u i x i 2i ,1 2 3, . 另一方面,由于數(shù)表 S 具有性質(zhì)（）,在（ 3）中取 k =2,就存在某個(gè)0i ,1 2 3, 使得 x i 02 u i 0 . 沖突；ii 由抽屜原理知 min x 11 , x 12 , min

33、x 21 , x 22 , min x 31 , x 32 中至少有兩個(gè)值取在同一列；不妨設(shè) min x 21 , x 22 x 22 , min x 31 , x 32 x 32 . 由前面的結(jié)論知數(shù)表 S 的第一列肯定含有某個(gè) iu ,所以只能是 x 11 u 1 . 同樣, 其次列中也必含某個(gè) ui ,i ,1 2 . 不妨設(shè) x 22 u 2 . 于是 u 3 x 33,即 iu 是數(shù)表 S 中的對(duì)角線上數(shù)字：x 11 x 12 x 13S x 21 x 22 x 23x 31 x 32 x 33記 M= 1,2,., 9,令集合 I k M | x ik min x i 1 , x

34、i 2 , i 3,1 明顯 I k M | x 1 k x 11 , x 3 k x 32 且 ,1 ,2 3 I . 由于 x 18 , x 38 1 x 11 , x 32,所以 8 I . 故 I . 于是存在 k * I 使得 x 2 k * max x 2 k | k I . 明顯,*k ,1 ,2 3 .x 11 x 12 x 1 k *下面證明 3 3 數(shù)表 S x 21 x 22 x 2 k * 具有性質(zhì)（）. x 31 x 32 x 3 k *從上面的選法可知 u i : min x i 1 , x i 2 , x ik* min x 1 , x i 2 , i ,1 3

35、. 這說(shuō)明x 1 k* min x 11 , x 12 u 1 , x 3 k* min x 31 , x 32 u 3又由 S 滿意性質(zhì)（）,在（3）中取 k k *,推得 x k * u 2 , 于是 u 2 min x 21 , x 22 , x 2 k * x 2 k *下 證 對(duì) 任 意 的 k M , 存 在 某 個(gè) i ,1 2 3, 使 得 u i x ik . 假 如 不 然 , 就x ik min x i 1 , x i 2 , i 3,1 且 x 2 k x 2 k * . 這與 x 2k * 的最大性沖突；因此,數(shù)表 S 滿意性質(zhì)（）；x 11 x 12 x 1 k下證

36、唯獨(dú)性；設(shè)有 k M 使得數(shù)表 S ,S . x 21 x 22 x 2 kx 31 x 33 x 3 k具 有 性 質(zhì) （） . 不 失 一 般 性 , 我 們 假 定 u 1 min x 11 , x 12 , x 13 x 11（ 4 ）u 2 min x 21 , x 22 , x 23 x 22,u 3 min x 31 , x 32 , x 33 x 33；x 32 x 31由 于 x 32 x 31,x 22 x 21, 及 （ i ）,有 u . 1 min x 11 , x 12 , x 1 k x 11 . 又 由 （ i 知 ： 或者 a u . 3 min x 31 ,

37、 x 32 , x 3 k x 3 k,或者 b u . 2 min x 21 , x 22 , x 2 k x 2 k .假如 a 成立,由數(shù)表 S.具有性質(zhì)（）,就 u . 1 min x 11 , x 12 , x 1 k x 11,（5）u . 2 min x 21 , x 22 , x 2 k x 22,u . 3 min x 31 , x 32 , x 3 k x 3 k由數(shù)表 S.滿意性質(zhì)（）,就對(duì)于 3 M 至少存在一個(gè) i ,1 2 , 3 使得 u . i x i 3,又由（ 4）,（5）式知,u . 1 x 11 x 13 , u . 2 x 22 x 23 . 所以只能

38、有 u . 3 x 3 k x 33 . 同樣由數(shù)表 S 滿意性質(zhì)（）,可推得 x 33 x 3 k . 于是 k 3,即數(shù)表 S S .如 果 b 成 立 , 就 u . 1 min x 11 , x 12 , x 1 k x 11,u . 1 min x 11 , x 12 , x 1 k x 11,（ 6 ）u . 2 min x 21 , x 22 , x 2 k x 2 k,u . 3 min x 31 , x 32 , x 3 k x 32由數(shù)表 S.滿意性質(zhì)（）,對(duì)于 k * M,存在某個(gè) i ,1 2 3, 使得 u . i x ik *,由 k * I 及（ 4）和（ 6）式

39、知,x 1 k * x 11 u . 1 , x 3 k * x 32 u . 3 .于是只能有 x 2 k* u . 2 x 2 k . 類似地, 由 S 滿意性質(zhì) （）及 k M 可推得 x 2 k u 2 x 2 k *,從而 k * k；2007* 二、（此題滿分 40 分）；如下列圖, 在 7 8 的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格的中心點(diǎn)各放一個(gè)棋子； 假如兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或者共頂點(diǎn),那么稱這兩個(gè)棋子相連；現(xiàn)從這 56 個(gè)棋子中取出一些,使得棋盤上剩下的棋子,沒(méi)有五個(gè)在一條直線（橫豎斜方向） 上依次相連；問(wèn)最少取出多少個(gè)棋子才能滿意要求？并說(shuō)明理由；解析：解： 最少要取出 11 個(gè)棋

40、子,才可能滿意要求；其緣由如下：假如一個(gè)方格在第 i 行第 j 列,就記這個(gè)方格為 i,j；第一步證明如任取 10 個(gè)棋子,就余下的棋子必有一個(gè)五子連珠,即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連；用反證法；假設(shè)可取出 10 個(gè)棋子,使余下的棋子沒(méi)有一個(gè)五子連珠；如圖 1,在每一行的前五格中必需各取出一個(gè)棋子,后三列的前五格中也必需各取出一個(gè)棋子；這樣,10 個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部分；同理,由對(duì)稱性,也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分；第1、2 行必在每行取出一個(gè),且只能分布在 1,4、1,5、2,4、2,5這些方格；同理6,4、6,5、7,4、 7, 5這些方格上至少要取出

41、 2 個(gè)棋子；在第 1、2、3 列,每列至少要取出一個(gè)棋子,分布在 3,1、3,2、3,3、4,1、 4, 2、4,3、5,1、5,2、5,3 所在區(qū)域,同理 3,6、3,7、3,8、 4, 6、4,7、4,8、5,6、5,7、5,8所在區(qū)域內(nèi)至少取出 區(qū)域內(nèi)至少已取出了 10 個(gè)棋子；3 個(gè)棋子；這樣,在這些因此,在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子；由于、這 4 個(gè)棋子至多被取出 2 個(gè),從而,從斜的方向看必有五子連珠了；沖突；圖 1 圖 2 其次步構(gòu)造一種取法,共取走11 個(gè)棋子,余下的棋子沒(méi)有五子連珠；如圖2,只要取出有標(biāo)號(hào)位置的棋子,就余下的棋子不行能五子連珠；綜上所述,最少要取走a11 個(gè)

42、棋子,才可能使得余下的棋子沒(méi)有五子連珠；. 將全部吉利數(shù)從小2005* 12、假如自然數(shù)a 的各位數(shù)字之和等于7 ,那么稱 a 為“ 吉利數(shù)”到大排成一列a1,a2,3,如an2005,就a5n 答案： 5200解析：由于方程 x 1 x 2 x k m 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 C m mk 1,而使 1x 1,ix 0（i 2）的整數(shù)解個(gè)數(shù)為 C m m 1k 2；現(xiàn)取 m 7,可知, k 位吉利數(shù)的個(gè)數(shù)為 p k C k 65由于 2005是形如 2 abc 的數(shù)中最小的一個(gè)吉利數(shù),且 p 1 1,p 2 7,p 3 28,對(duì)6四位吉利數(shù) 1 abc,其個(gè)數(shù)為滿意 a b c 6 的非負(fù)整數(shù)

43、解的個(gè)數(shù),即 C 6 3 1 28 個(gè)；又 2005是第 1 7 28 28 1 65 個(gè)吉利數(shù),即 a 66 2005,從而 n 65,5n 325；又 p 4 84,p 5 210,而 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 330所以從大到小最終六個(gè)五位吉利數(shù)依次是 70000 , 61000 , 60100 , 60010 , 60001 , 52000,所以第 325個(gè)吉利數(shù)是 52000,即 a 5n 520002003* 三、（此題滿分 50 分）；由 n 個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的 l 條連線段組成一個(gè)空間圖形,其中2 1 2n q q 1,l q q 1 1,q 2,q N；已知此圖

44、中任四點(diǎn)不共面,每點(diǎn)至少2有一條連線段,存在一點(diǎn)至少有 q 2 條連線段證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形 即由四點(diǎn)A ,B ,C,D和四條連線段AB,BC,CD,DA組成的圖形 證明：證明：設(shè)點(diǎn)集為VA 0,A 1,A n1,與iA 連線的點(diǎn)集為B ,且B ib i于是11bin1又明顯有n1b i2 lqq122,i0如存在一點(diǎn)與其余點(diǎn)都連線,不妨設(shè)b 0n1就B 中n1個(gè)點(diǎn)的連線數(shù)lb 01qq121n1 留意：2qq1q2qn1 1q1n11n11q1n11n211 由q2 22但如在這n1 個(gè)點(diǎn)內(nèi),沒(méi)有任一點(diǎn)同時(shí)與其余兩點(diǎn)連線,就這n1個(gè)點(diǎn)內(nèi)至多連線n21條,故在B 中存在一點(diǎn)iA ,它

45、與兩點(diǎn)jA 、A i,j,k互不相等,且i,j,k1連了線,于是A 0,A j,A i,A k連成四邊形現(xiàn)設(shè)任一點(diǎn)連的線數(shù)n2且設(shè)b 0q2n2且設(shè)圖中沒(méi)有四邊形于是當(dāng)ij時(shí),iB 與B 沒(méi)有公共的點(diǎn)對(duì),即B iBj1 0i,jn1 記B 0VB 0,就由BiB 01,得BiB 0bi1 i,12 ,n1 ,且當(dāng)1i,jn1且ij時(shí),n1BiB 0與BjB 0無(wú)公共點(diǎn)對(duì)從而B(niǎo) 中點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)B iB 0 中點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)即i1C2b0n1C2B0n12 C b i11n12 b i3 b i21n11n1b i23n1b i2nni1B ii1i1i1i122 由平均不等式 111n12 l0b 02n

46、32lb 0b 02n11221n12lb2312 l2n22l12lb 0n12lb 02n2 留意12b 0 兩邊同乘以2 n1 2n1n1q2n1q12 ,qq121b 01即得到C2nq2b 0n2n1n即nb 0n1b0n1q2b 02n1q12b 0留意到1qq1 b 0n1b 0nqqb0nqn3b 0 各取部分因數(shù)比較得qq1n又nqn3b0qn1b 0q1b 0n3q1q2n3q2q1nn0210（這里用到前面所得到的式子b0q2,qq1q2qn1）2q2qn1q2b0q1nb 0qb0qn2qq2qn（這里也用到前面所得到的式子b 0q2,qq1q2qn1）又nqn3b 0

47、、nqq2b 0、qn1b 0、q1nb 0均為正整數(shù),從而由、得,qq1nb 0n1b 0nqq2b 0nqn3b0由、沖突,知原命題成立又證： 畫一個(gè) n n 表格,記題中 n 個(gè)點(diǎn)為 A 1 , A 2 , , A n,如 iA 與 A 連了線,就將表格 j中第 i 行 j 列的方格中心涂紅于是表中共有 l2 個(gè)紅點(diǎn), 當(dāng) d A i m 時(shí),就表格中的 i 行及i 列各有 m 個(gè)紅點(diǎn)且表格的主對(duì)角線上的方格中心都沒(méi)有涂紅由已知,表格中必有一行有q2個(gè)紅點(diǎn)不妨設(shè)最終一行前q2格為紅點(diǎn)其余格就不為紅點(diǎn) 如有紅點(diǎn)就更易證 ,于是：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：證明存在四個(gè)紅點(diǎn)是一個(gè)邊平行于格線的矩形頂點(diǎn)如否,

48、就表格中任何四個(gè)紅點(diǎn)其中心都不是一個(gè)邊平行于格線的矩形頂點(diǎn)2于是,前n1行的前q2個(gè)方格中,每行至多有1個(gè)紅點(diǎn)去掉表格的第n 行及前q列,就至多去掉q2n1 q2q2qq121個(gè)紅點(diǎn)于是在余下n1 nq2方格表中,至少有2 2 2 3 22 l q 1 1 q q 1 2 q 1 1 q q q 個(gè)紅點(diǎn)設(shè)此表格中第 i 行有 m i ,1 2 , , n 1 個(gè)紅點(diǎn),于是,同行的紅點(diǎn)點(diǎn)對(duì)數(shù)的總和為n 12 2 2 2 2 2C mi其中 q q n 1 由于當(dāng) n k 時(shí),C n C k C n 1 C k 1,故當(dāng)紅點(diǎn)總數(shù)為i 1n 13 2 2 2q q q 個(gè)時(shí),可取 q 行每行取 q

49、個(gè)紅點(diǎn), q行每行取 q 1 個(gè)紅點(diǎn)時(shí) C mi 取最小值,i 1n 12 2 2 2由下證可知紅點(diǎn)數(shù)多于此數(shù)時(shí)更有利于證明 ,但 q C q qC q 1 C m ii 1由假設(shè),不存在處在不同行的 2 個(gè)紅點(diǎn)對(duì),使此四點(diǎn)兩兩同列, 所以,有 由于去掉了 q 2列,故仍余 q 2 1 列,不同的列對(duì)數(shù)為 C q 22 1 n 1即 C m 2i C q 22 1,所以 q 2q q 1 q q 1 q 2 q 2 1 q 2 2i 1即 q q 1 q 2q 2 q 1 q 1 q 2 2即 q 3q 2 2 q q 3q 2 2 q 2 明顯沖突故證2001* 三、（此題滿分 50 分）

50、將邊長(zhǎng)為正整數(shù) m,n 的矩形劃分成如干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值解析： 記所求最小值為fm ,n ,AA 1DmD1 CC我們可以證明fm ,n mnm ,n* 其中m ,n表示 m 和 n 的最大公約數(shù)事實(shí)上,不妨設(shè)mn,1 關(guān)于 m 歸納,可以證明存在一合乎題意的分法,使所得正Dn方形邊長(zhǎng)之和恰為mnm ,n當(dāng)m1 時(shí) ,命題明顯成立k1）當(dāng)mk1時(shí),如AA1 B假設(shè)當(dāng)mk時(shí),結(jié)論成立（nk1,就命題明顯成立如nk1,從矩形 ABCD 中切去正方形1D（如圖）,DD1 n由歸納假設(shè)矩形A 1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之

51、和恰為mnnm ,nmm ,n .于是原矩形 ABCD 有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為mnm ,n；2 關(guān)于 m 歸納可以證明 * 成立當(dāng) m 1 時(shí),由于 n 1,明顯 f m , n 1 m n m , n 假設(shè)當(dāng) m k 時(shí),對(duì)任意 1nm 有 f m,n= m+n- m, n如 m k 1,當(dāng) n k 1 時(shí)明顯 f m , n k 1 m n m , n 當(dāng) 1 n k 時(shí),設(shè)矩形 ABCD 按要求分成了 p 個(gè)正方形,其邊長(zhǎng)分別為 a 1 , a 2 , , a p,不妨設(shè) a 1 a 2 a p明顯 a1 n 或 a1 n如 a1 n,就在 AD 與 BC 之間的與 AD 平

52、行的任始終線至少穿過(guò)二個(gè)分成的正方形（或其邊界）,于是 a 1 a 2 a p 不小于 AB 與 CD 之和所以a 1 a 2 a p 2 M m n m , n 如 a1 n,就一個(gè)邊長(zhǎng)分別為 m n 和 n 的矩形可按題目要求分成邊長(zhǎng)分別為 a 2 , , a p的正方形,由歸納假設(shè) a 2 a p m n n m , n m m , n ；從而 a 1 a 2 a p m n m , n 于是當(dāng) m k 1 時(shí),f m , n m n m , n 再由 1 可知 f m , n m n m , n ；1997* 三、（此題滿分 50 分）在 100 25 的長(zhǎng)方形表格中每一格填入一個(gè)非負(fù)

53、實(shí)數(shù),第 i行第j 列中填入的數(shù)為 ix,（i ,1 2 , 100,j ,1 2 , 25）如表 1,然后將表 1每列中的數(shù)按從/ / /小到大的次序從上到下重新排列為 x ,1 j x 2 , j x 100 , j（j ,1 2 , 25）；如表 2 ；求最小25的自然數(shù) k ,使得只要表 1中填入的數(shù)滿意 ix , j 1（i ,1 2 , 100）,就當(dāng) i k 時(shí),在j 1表 2 中就能保證25/ ix ,j1；4i,3ix4 i,2ix4i,1ix4 i,i0 i,12,25 ,其余各數(shù)均j1解析： 在表 1 中,取x取 1 ,于是,每列各數(shù)之和均等于 1但重新填入后,前 96行

54、之和均等于 25 1第24 2497 , 98 , 99 , 100 行之和等于 0 故 k 97反之,假如表 2 中第 97行的 25個(gè)數(shù)涂黃,98 100 行共 75個(gè)數(shù)涂紅,就這些涂紅的數(shù)在表 1中至多分布在 75行中,于是除這 75行外的其余各行中的每個(gè)數(shù)都不小于同列中涂黃的數(shù),即涂黃 4個(gè)數(shù)的和沒(méi)有涂紅數(shù)的行的每一行數(shù)的和1于是表 2 中第 97 行的數(shù)的和 1,故第 98 , 99 , 100 行的數(shù)的和 1即能保證表 2 中第 97 100 行的數(shù)的和 1k 971996* 四、（此題滿分 35 分）有n（n 6）個(gè)人聚會(huì),已知：每人至少同其中 n 個(gè)人相互熟悉；2對(duì)于其中任意

55、n 個(gè)人,或者其中有 2 人相識(shí),或者余下的任中有 2人相識(shí)；2證明：這 n 個(gè)人中必有三人兩兩相識(shí)；證明：作一個(gè)圖,用 n 個(gè)點(diǎn)表示這 n 個(gè)人,凡二人熟悉,就在表示此二人的點(diǎn)間連一條線問(wèn)題即,在題設(shè)條件下,存在以這 n 點(diǎn)中的某三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形設(shè)點(diǎn) a 連線條數(shù)最多,在與 a 連線的全部點(diǎn)中點(diǎn) b 連線最多,與 a 連線的點(diǎn)除 b 外的集合為 A ,與 b 連線的點(diǎn)除 a 外的集合為 B 1設(shè)n2 ,就每點(diǎn)至少連k 條線,A,B中都至少有k1 個(gè)點(diǎn)如存在一點(diǎn) c ,與 a, b 都連線,就 a , b , c 滿意要求；如沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線 圖 1 ,就由 A B,A B 2k

56、2,A k 1 B k 1, 故得 A B k 1,且圖中每點(diǎn)都連 k 條線如 A 或A BB 中存在兩點(diǎn),這兩點(diǎn)間連了一條線,就此二點(diǎn)與 a 連出三角形,如 A 中任何 k k-1兩點(diǎn)間均未連線,B中任兩點(diǎn)也未連線,就 A b 中不存在兩點(diǎn)連線,B a 2k+1個(gè)點(diǎn)中也不存在兩點(diǎn)連線與已知沖突a b圖22設(shè) n 2k 1就每點(diǎn)至少連 k 條線,A, B 中都至少有 k 1 個(gè)點(diǎn)如存在一點(diǎn) c ,與 a, b 都連線,就 a , b , c 滿意要求；如沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線,且 A k,就由 B k 1 時(shí) 圖 2 ,就由A B,A B 2k 1,A k,B k 1,故得 A B 2k

57、1,A k,B k 1,如 A 或 B 中存在兩點(diǎn),這兩點(diǎn)間連了一條線,就此二點(diǎn)與 a 連出 c三角形,如 A中任何兩點(diǎn)間均未連線,B中任兩點(diǎn)也未連線,就 A b 中不存k-1 Ak 1 k 2k-1 B在兩點(diǎn)連線,B a 中也不存在兩點(diǎn)連線與已知沖突2k+1個(gè)點(diǎn)如沒(méi)有任何兩點(diǎn)與此二點(diǎn)都連線,且 A k 1,即每點(diǎn)都只連 k 條線這 a圖 3 b時(shí),必有一點(diǎn)與 a, b 均未連線,設(shè)為 c c 與 A中 k 個(gè)點(diǎn)連線,與 B 中 k 個(gè)點(diǎn)連線,k 1 k 2 k,且 1 k 1 , k 2 k 1否就如 k 2 0,就 A b 中各點(diǎn)均未連線,B a , c中各點(diǎn)也未連線沖突故 k 1k 2

58、1且由于 n 6,即 k 1, k 2 中至少有一個(gè) 2 ,不妨設(shè)k 1 2,現(xiàn)任取 B 中與 c 連線的一點(diǎn) 1b ,由于 1b 與B中其余各點(diǎn)均未連線,如 1b 與A中的所有與 c 連線的點(diǎn)均未連線,就 1b 連線數(shù) 2 k 1 k 1 k 1,沖突,故 1b 至少與此 k 個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)連線故證1995* 四、（此題滿分 35 分）將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅,藍(lán)兩色之一著色；證明：存在這樣兩個(gè)相像的三角形,它們的相像比為1995,并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色；SR證明： 第一證明平面上肯定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形任取平面上的一條直線l ,就直線 l 上必有兩點(diǎn)同色設(shè)此兩點(diǎn)為P,Q,不妨l

59、l 1P設(shè)P,Q同著紅色 過(guò)P,Q作直線 l 的垂線1l 、2l,如1l 或2l上有異于P,Q的點(diǎn)著紅Tl 2Q色,就存在紅色直角三角形如1l 、2l 上除P,Q外均無(wú)紅色點(diǎn),就在1l 上任取異于P的兩點(diǎn)R,S,就R,S必著藍(lán)色,過(guò)R作 1l 的垂線交2l于 T,就 T 必著藍(lán)色RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色 B為直角 把ABC補(bǔ)成矩形ABCD 如圖 把EA矩形的每邊都分成n 等分 n 為正奇數(shù),n1,此題中取n1995 連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn),把矩形 ABCD 分成2 n 個(gè)小矩形AB 邊上的分點(diǎn)共有n1個(gè),由于 n 為奇數(shù),故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色, 否就任兩

60、個(gè)相鄰分點(diǎn)異色,就可得A,B異色 ,不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E,FD同色考察E,F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E/, F/,如E/, F/異E色,就/ EFE 或DFF/為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形如GMHNFFE/, F/同色,再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形, 這CPQB樣依次考察過(guò)去,不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色同樣, BC 邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色,設(shè)為 P, Q,就考察 PQ 所在的小矩形,同理,如 P, Q 所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色,就存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形否就,PQ 所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色現(xiàn)考察 EF 所在行與PQ 所在列相交的矩形GHN