點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)微分方程

1、動(dòng) 力 學(xué)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第9章共六十一頁(yè)動(dòng) 力 學(xué) 一、 動(dòng)力學(xué)的任務(wù)(rn wu)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系一群具有某種聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)，剛體可以看成(kn chn)不變形的質(zhì)點(diǎn)系。 質(zhì) 點(diǎn)具有一定質(zhì)量但可以忽略其尺寸大小的物體。 研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間關(guān)系的科學(xué)。 二、 動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是和生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的，特別是在現(xiàn)代工業(yè)與科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。 例如：高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、航空航天高技術(shù)、動(dòng)強(qiáng)度分析、機(jī)械手、機(jī)器人、系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定性等都需要?jiǎng)恿W(xué)理論。三、 動(dòng)力學(xué)的分類(lèi)緒論共六十一頁(yè)動(dòng) 力 學(xué) 四、 動(dòng)力學(xué)的

2、重點(diǎn)(zhngdin)章節(jié) 達(dá)朗貝爾原理(yunl) 動(dòng)能定理 動(dòng)量定理 動(dòng)量矩定理 虛位移原理共六十一頁(yè)1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題1-4 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的例子第一章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)動(dòng) 力 學(xué)目錄共六十一頁(yè) 第一定律(dngl) 慣性定律(dngl) 第二(d r)定律 力與加速度關(guān)系定律 第三定律 作用與反作用定律1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律共六十一頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)因受力作用(zuyng)而產(chǎn)生的加速度,其方向與力相同，其大小與力成正比而與質(zhì)量成反比。1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(dngl) 慣性定律(

3、dngl) 質(zhì)點(diǎn)如不受力作用,則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變,即作直線勻速運(yùn)動(dòng)或者靜止。 第二定律 力與加速度關(guān)系定律第三定律 作用與反作用定律 任何兩個(gè)物體間相互作用的力,總是大小相等，方向相反,沿同一直線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。第一定律說(shuō)明了任何物體都具有慣性。F = ma 第二定律說(shuō)明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體的力，而且與物體的慣性有關(guān)。第三定律說(shuō)明了二物體間相互作用力的關(guān)系。(91)共六十一頁(yè)1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 2. 牛頓第一(dy)定律和第二定律不是在任何參考系中皆成立的。 1.F = ma該式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。 說(shuō) 明： 3. 牛頓定律適用的參考系稱(chēng)為(

4、chn wi)基礎(chǔ)坐標(biāo)系。 4. 慣性參考系相對(duì)于基礎(chǔ)參考系作慣性運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系。 5. 在慣性參考系中牛頓定律也同樣適用。加速度可分為aa，ae，ar，ac， 公式F = ma中的a指的是什么加速度。 思考題共六十一頁(yè)此時(shí)(c sh)彈力，摩擦力不變: 1. A與B在F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，已知突然拆去F，求此時(shí) 問(wèn)題5-1 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)方程1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律共六十一頁(yè)物塊沿斜面運(yùn)動(dòng)， 沿斜面。 故合力沿斜面(ximin)，且大小為 3. 已知 求物體所受合力。 2. 已知 懸掛重物，求繩斷時(shí) ?問(wèn)題問(wèn)題5-1 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)方程1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律共六十一頁(yè)光滑圓管

5、在水平面勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，管內(nèi)(un ni)小球如何運(yùn)動(dòng)? 在x方向(fngxing)有:即 小球沿管向外運(yùn)動(dòng)。1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律共六十一頁(yè) 矢量(shling)形式 直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)形式 自然形式9-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程共六十一頁(yè)9-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程 設(shè)有可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn) M，質(zhì)量(zhling)是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a 。這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。xyzrMFaO一、矢量形式共六十一頁(yè)9-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程把上式沿固定直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系 Oxyz 的各軸投影,得 Fx , Fy , Fz

6、是作用力 F 的合力在各軸上的投影。式(9-3)是直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。二、直角坐標(biāo)形式這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。xyzrMFaO共六十一頁(yè) 如采用(ciyng)自然軸系 Mtnb,并把式(1-2)向各軸投 影,可得式中是加速度 a 在切線、主法線和副法線正向的投影;Ft , Fn 和 Fb 是合力 F 在相應(yīng)軸上的投影。式(1-4)就是自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程。9-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程xyzrMFaOntb三、自然形式這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。共六十一頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)的第一類(lèi)問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)的第二類(lèi)問(wèn)題9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本

7、問(wèn)題共六十一頁(yè)1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題: 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類(lèi)問(wèn)題：已知力，求運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類(lèi)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力。 解決第一類(lèi)問(wèn)題，只需根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律 r = r (t)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出加速度，代入(1-1) (1-4)，即得作用力 F。m a = F (9-1) 求解第二類(lèi)問(wèn)題，是個(gè)積分過(guò)程。 必須注意：在求解第二類(lèi)問(wèn)題時(shí)，方程的積分中要出現(xiàn)積分常數(shù)，為了完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始條件定出這些積分常數(shù)。共六十一頁(yè)兩類(lèi)問(wèn)題(wnt)1、已知運(yùn)動(dòng)，求力（微分(wi fn)問(wèn)題）已知求是一個(gè)微分過(guò)程2、已知力，求運(yùn)動(dòng)

8、（積分問(wèn)題），還要已知初始條件（1）力是常力例如：重力共六十一頁(yè)（2）力是位置(wi zhi)的函數(shù)例如(lr)：彈簧力（分離變量法）（3）力是速度的函數(shù)例如：空氣阻力兩類(lèi)問(wèn)題共六十一頁(yè)（4）力是時(shí)間(shjin)的函數(shù)例如(lr)：周期力說(shuō)明：以上積分的分離形式并不是唯一的，具體如何 分離，要與所求問(wèn)題相對(duì)應(yīng)兩類(lèi)問(wèn)題共六十一頁(yè)9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題 例題 9-1 設(shè)電梯以不變的加速度a 上升(shngshng),求放在電梯地板上重W 的物塊M 對(duì)地板的壓力。 分析物體 M ，它受重力 W 和地板反力 FN 的作用。ma = FN W注意到 m = W /g ，則由上式解得地板反

9、力 MMFNaWx 根據(jù)F = ma 可得解:例題 1-1共六十一頁(yè)9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題 例題(lt)9-1上式第一部分稱(chēng)為靜壓力，第二部分稱(chēng)為附加動(dòng)壓力， FN 稱(chēng)為動(dòng)壓力。令則1. n1, 動(dòng)壓力大于靜壓力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為超重。2. n1, 動(dòng)壓力小于靜壓力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為失重。所以地板所受的壓力為MMFNaWx 討論共六十一頁(yè)？ 蹲在磅秤上的人站起來(lái) 磅秤指示(zhsh)數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生的變化共六十一頁(yè)？ 直立站在磅秤(bngchng)上的人蹲下 磅秤指示數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生的變化共六十一頁(yè)9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題1. 明確(mngqu)研究對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)解題步驟：2. 進(jìn)

10、行受力分析，并畫(huà)出受力圖；3. 進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并畫(huà)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等；4. 選擇動(dòng)力學(xué)定理進(jìn)行分析求解。共六十一頁(yè) 例題 9-2 單擺 M 的擺錘重 W ,繩長(zhǎng) l ,懸于固定點(diǎn) O ,繩的質(zhì)量不計(jì)。設(shè)開(kāi)始(kish)時(shí)繩與鉛垂線成偏角 0 /2 ,并被無(wú)初速釋放，求繩中拉力的最大值。9-3 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題例題 9-2OMM00nt共六十一頁(yè)任意(rny)瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題OMM00解: 擺錘M 在繩的約束下只能沿已知圓弧運(yùn)動(dòng)，用自然形式的質(zhì)點(diǎn)用自然

11、形式的運(yùn)動(dòng)微分方程求解較方便。nt 以擺錘M為研究對(duì)象。選擇如圖自然軸系。OMM00FNWanat 例題 1-2共六十一頁(yè) 考慮(kol)到則式(1)化成(hu chn)對(duì)上式采用定積分,把初條件作為積分下限，有從而得把式(4)代入式(2)，得繩拉力FN = W(3cos 2cos 0)顯然，當(dāng)擺球 M 到達(dá)最低位置 = 0 時(shí)，有最大值。故 FNmax = W(3 2cos 0)9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 例題 1-2OMM00FNWanat（3）共六十一頁(yè) 例題 9-3 小車(chē)載著質(zhì)量為m物體以加速度a沿著斜坡(xip)上行，如果物體不捆扎，也不致于掉下，物體與小車(chē)接觸面的摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多

12、少？a解：取物體為研究(ynji)對(duì)象。mgFNFayx解得9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題例題 9-3共六十一頁(yè)要保證(bozhng)物體不下滑，應(yīng)有即1-3 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題amgFNFayx 例題 1-3共六十一頁(yè) 例題9-4 粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過(guò)中心的水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎(fn su)礦石的能量，鐵球應(yīng)在=0 時(shí)（如圖）才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。 0n1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題n例題9-4共六十一頁(yè) 視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)(zhdin)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時(shí)，會(huì)脫離筒壁而沿拋物線下落。

13、 鐵球在上升(shngshng)過(guò)程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。mgFNF解：列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式 鐵球在未離開(kāi)筒壁前的速度，等于筒壁上與其重合點(diǎn)的速度。即 n9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 根據(jù)F = ma 例題 9-4共六十一頁(yè)解得 當(dāng)=0 時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，這時(shí)FN =0，于是(ysh)得滾筒轉(zhuǎn)速 2 . 當(dāng) 時(shí)， ，鐵球就會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。 mgFNF9-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本(jbn)問(wèn)題1. 顯然， 越小，要求n 越大。 討論 例題 9-4共六十一頁(yè) 例題 9-5 彈簧質(zhì)量(zhling)系統(tǒng)，物塊的質(zhì)

14、量(zhling)為m ，彈簧的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動(dòng)方程。l0mkv09-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分(jfn)的典型例子例題 9-5共六十一頁(yè) 解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)(yndng)規(guī)律，故為第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 以彈簧(tnhung)未變形時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置 x 0 處。物塊在 x 方向只受有彈簧力Fk x i。根據(jù)直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程xxOmkFl0m9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 9-5共六十一頁(yè)9-4 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子xxOmkFl0m 例題(lt)

15、 1-5共六十一頁(yè)l0mkv0 例題 9-6 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)(xtng)，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動(dòng)方程。9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程(wi fn fn chn)積分的典型例子例題 1-6共六十一頁(yè) 解：以物塊為研究對(duì)象。這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律(gul)的問(wèn)題，故為第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置（稱(chēng)為靜平衡位置(wi zhi)）為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置 x 0 處。xmkxOl0stFW9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子列出物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 根據(jù)F = ma因?yàn)樗陨鲜綖?例題 9

16、-6共六十一頁(yè) 0,)sin(tAx+=jw9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型(dinxng)例子求解(qi ji)可得注意到故可得物塊的運(yùn)動(dòng)方程xmkxOl0stFW 例題 9-6共六十一頁(yè)計(jì)算結(jié)果分析(fnx)l0mkv0l0 xxOmkv01. 重力mg只改變(gibin)了系統(tǒng)的平衡位置，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。2. 物塊垂直懸掛時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程的影響這一問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 9-6共六十一頁(yè)9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型(dinxng)例子共六十一頁(yè) 取坐標(biāo)軸 Ox 鉛直向下(xin xi)，原點(diǎn)在物體的初

17、始位置。寫(xiě)出物體 M 的運(yùn)動(dòng)微分方程9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型(dinxng)例子 例題 9-7 質(zhì)量是 m 的物體 M 在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力 F 與速度平方成比例，即 F=v2 ，阻力系數(shù) 單位取 kg/m ，數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定。試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解:加速度為零時(shí)以 m 除式(1)兩端，并代入 u 的值，得xxFWv例題 9-7共六十一頁(yè)分離變量(binling),并取定積分,有 由上式求解(qi ji)v,得于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為th 是雙曲正切。9-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 9-7共六十一頁(yè)于是(ysh)求

18、得物體的運(yùn)動(dòng)方程為為了求出物體的運(yùn)動(dòng)(yndng)規(guī)律，只需把式(3)再積分一次，有1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 1-7共六十一頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程幾種特殊(tsh)情形1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程共六十一頁(yè)1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(xin du yn dn)微分方程 設(shè)已知坐標(biāo)系 O1x1y1z1 對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系 Oxyz 進(jìn)行(jnxng)著某種運(yùn)動(dòng)。以 F 和FN 代表作用于質(zhì)點(diǎn) M 的主動(dòng)力和約束力， 對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系 Oxyz ，有m aa = F + FN 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，絕對(duì)加速度 aa 等于牽連加速度 ae ，相對(duì)加速度 ar 和科氏加速度

19、aC 三者的矢量和，即aa = ae + ar + aCMxyzOy1z1O1aaaraeaCvrx1一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程代入上式得m(ae + ar + aC) = F + FN共六十一頁(yè)則有mar = F + FN + Fe* + FC* 這就是(jish)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程，又叫質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基本方程。 令Fe* = mae , FC*= maC1-5 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程m(ae + ar + aC) = F +FNm ar = F + FNmae m aC MarxyzOy1z1O1aeaaaCvrx1 Fe*和 FC*分別稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的牽連慣性力和科

20、氏慣性力，通稱(chēng)為歐拉慣性力。共六十一頁(yè) 設(shè)動(dòng)系 O1x1y1z1 對(duì)于基礎(chǔ)(jch)坐標(biāo)系 Oxyz 作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 牽連加速度、科氏加速度都等于零。故 設(shè)動(dòng)系 O1x1y1z1 相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系作平動(dòng)。在此情況(qngkung)下,沒(méi)有科氏加速度和對(duì)應(yīng)的科氏慣性力。故 這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)加速度就等于對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系的絕對(duì)加速度。1.相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)mar = F + FN + Fe* 2.相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng) mar = F + FN1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程二、幾種特殊情形MarxyzOy1z1O1aeaaaCvrx1mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F

21、+ FNmae m aC 共六十一頁(yè)（1）相對(duì)(xingdu)平衡F + FN +Fe* + FC*= 0 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系作勻速直線 運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱(chēng)為(chn wi)相對(duì)平衡。F + FN + Fe* = 03.相對(duì)平衡和相對(duì)靜止1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程幾種特殊情形此時(shí)ar = 0，有（2）相對(duì)靜止 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)系中的位置不變時(shí)，稱(chēng)為相對(duì)靜止。此時(shí) vr = 0 , ar = 0 , aC = 0 , 有mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F + FNmae m aC 共六十一頁(yè) 例題 1-8 設(shè)車(chē)廂以勻加速度 a 沿水平直線軌道向右行駛。求由車(chē)廂棚頂 M0 處自

22、由(zyu)落下的質(zhì)點(diǎn) M 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。1-5 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma例題 1-8共六十一頁(yè)解:分析(fnx)質(zhì)點(diǎn)M，取動(dòng)坐標(biāo)系 O1x1y1z1 固連于車(chē)廂。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程mar = W + Fe* (1)其中：Fe* = mae，方向與車(chē)廂加速度 a 相反。 把式(1)向動(dòng)坐標(biāo)系各軸上投影,得相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程即1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程mar = F + FN + Fe* + FC* 注意到動(dòng)系作直線平動(dòng)，有 x1z1y1hFe*WM0Ma 例題 1-8共六十一頁(yè)當(dāng) t = 0 時(shí),把式(2)積分，并利用初始條件

23、(3)確定積分常量，求得質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(xin du yn dn)規(guī)律為消去時(shí)間(shjin) t 后，得到相對(duì)軌跡方程這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線。根據(jù)所選坐標(biāo)系,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件寫(xiě)成1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma 例題 1-8共六十一頁(yè) 例題 9-9 細(xì)管 AB 以勻角速度 繞鉛直軸 O1z1 轉(zhuǎn)動(dòng)，管內(nèi)放一質(zhì)量是 m 的光滑小球 M 。欲使小球在管內(nèi)任何位置處于相對(duì)靜止，或沿管作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)(xin du yn dn)，則細(xì)管應(yīng)在鉛直平面 O1y1z1 內(nèi)彎成何種曲線?9-5 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程My1z1O1cAB例題 1-9共六十一

24、頁(yè)解:設(shè)細(xì)管(x un)彎成圖示形狀， 取動(dòng)系與彎管固連。 分析(fnx)小球，實(shí)際作用于小球的力有重力 W 和管壁的法向反力 FN。此外，當(dāng)研究小球 M 相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系O1y1z1 的運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要加入小球的牽連慣性力和科氏慣性力。 小球牽連慣性力 Fe*的大小等于 Fe* = m 2| y1 | ,其方向水平而背離鉛直轉(zhuǎn)軸 O1z1。9-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程My1z1O1cABFe*vr 科氏慣性力 FC*方向垂直于相對(duì)速度 vr 和轉(zhuǎn)軸 O1z1，即垂直于 O1y1z1平面向里；FNWaeartarn 受力分析 運(yùn)動(dòng)分析 例題 1-9共六十一頁(yè)mar = W + FN + Fe*

25、+ FC*投影到細(xì)管曲線的切線方向，注意到相對(duì)(xingdu)靜止時(shí)ar =0，相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)art = 0，則得 Fet* Wt = 0即 my12cos mgsin = 0其中(qzhng) 是切線對(duì)O1y1 軸的傾角，由此求得切線的斜率 求出積分，并確定積分常量，得可見(jiàn)細(xì)管應(yīng)彎成拋物線形狀。由相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程9-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程My1z1O1cABFe*vrFNWaeartarn 例題 1-9共六十一頁(yè)9-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(xin du yn dn)微分方程O(píng)CORM 例題 1-10 一質(zhì)量是 m 的小環(huán)(xio hun) M 套在半徑是 R 的光滑圓環(huán)上，并可沿大圓環(huán)滑動(dòng)，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度 繞通過(guò)點(diǎn) O 的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在初瞬時(shí)， = 0， = 2 ，試寫(xiě)出小環(huán) M 相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出大圓環(huán)對(duì)小環(huán)M 的約束力。例題 1-10共六十一頁(yè)解: 分析小環(huán)。 取動(dòng)坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連，小環(huán) M 相對(duì)于大圓環(huán)的位置(wi zhi)