利用空間向量解立體幾何

1、第 頁(yè)共11頁(yè)第 頁(yè)共11頁(yè)一、基本工具1數(shù)量積：a-b，abcos射影公式：向量a在b上的射影為a-bb3直線Ax+By+C,0的法向量為（A,B），方向向量為-B,A）4.平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系1平行關(guān)系線線平行o兩線的方向向量平行線面平行o線的方向向量與面的法向量垂直面面平行o兩面的法向量平行垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）o兩線的方向向量垂直線面垂直o線與面的法向量平行面面垂直o兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1點(diǎn)點(diǎn)距離點(diǎn)Px,y,z與Qx,y,z）的111222距離為PQ,（x一x）2+（y一y）2+（z一Z）22121212點(diǎn)線距離求點(diǎn)P（x,y到直線l,

2、Ax+By+C，0的距離：oo方法：在直線上取一點(diǎn)Q(x,y),6則向量PQ在法向量n，(A,B)上的射影PQn=AXoByoCna2B2即為點(diǎn)P到l的距離.點(diǎn)面距離求點(diǎn)P(x,y)到平面的距離：00方法：在平面上去一點(diǎn)Q(x,y)，得向量PQ計(jì)算平面的法向量n，計(jì)算PQ在上的射影，即為點(diǎn)P到面的距離.四、用向量法解空間角線線夾角(共面與異面)線線夾角O兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角線面夾角求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.面面夾角(二面角)若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出

3、，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.實(shí)例分析第 頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)、運(yùn)用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a,b所成角e,只要在兩條異面直線第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)a,b上各任取一個(gè)向量AA和BB，則角=9或n-0，因?yàn)閑是銳角，所以cos9=AABB,不需要用法向量。AABB1、運(yùn)用法向量求直線和設(shè)平面a的法向量為n二(x,y,1)，久直線AB和平面a所成的角9的正弦值為sin9-cos（兀-9）=CosI-2ABnABn2、運(yùn)用法向量求二面角兩個(gè)面的法向量為n,n，則或n-是所求121212角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為銳角還是鈍角，來(lái)決

4、定12是所求，還是n-是所求角12二、運(yùn)用法向量求空間距離-1、求兩條異面直線間的距n設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n二(x,y,z),在a、b上任取一點(diǎn)A、B,則異面直線a、b的距-離d=ABcosZBAA=1ABn1InI第 #頁(yè)共11頁(yè)第 頁(yè)共11頁(yè)略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過(guò)F與a平行的直線,第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第 頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)在a、b上任取一點(diǎn)A、B,過(guò)A作AAEF,交a于A,則AAn，所以ZBAA=（或其補(bǔ)角）異面直線a、b的距離d=ABcosZBAA=IABnIInI其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b（或圖中的AE,BF）,及n的

5、定義得解方程組可得n。2、求點(diǎn)到面的距離求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n=（x,y,l）,在a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則A點(diǎn)到平面a的距離為d=1ABn1,”的坐標(biāo)由”與InI,平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組（類似于前面所述,若方程組無(wú)解，則法向量與X0Y平面平行，此時(shí)可改設(shè)n=（1,y,oT?下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離-求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n二（x,y,1）,在直線a上任取一點(diǎn)A,在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則直線a到平面a的距離d=IABnIInI4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面a、B的公共法向量法為面a、B內(nèi)各任取一點(diǎn)A、B,則平

6、面a到平面B的距離dIABnI三、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面a、B,兩個(gè)面a、B的法向量為n,n,12則all,oa丄nia丄,oallni第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第 頁(yè)共11頁(yè)，丄on丄n12,onlln12四、應(yīng)用舉例:例1:如右下圖,在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，已知AB=4,AD=3,1111AA=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1.1(1)求二面角CDEC的正切值;1(2)求直線EC與FD所成的余弦值.11TOC o 1-5 h z解：(丨)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，

7、1則D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、1C1(4,3,2)于是，DE(3,-3,0),EC(1,3,2),FD=(-4,2,2)設(shè)法向量n(x,y,2)與平面CDE垂直，則有/n丄DE3x一3y0AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)。(1)證明平面PED丄平面PAB；證明：(1).面ABCD是菱形，ZDAB=60。,ABD是等邊三角形，又E是AB中點(diǎn)，連結(jié)BDZEDB=300,ZBDC=600,ZEDC=900,如圖建立坐標(biāo)系D-ECP，設(shè)AD=AB=1，則PF=FD=1,2P(0,0,1),E(23，00),-PB=-1),PE=0,-i),3ED=ABx2，)(2

8、)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值0,1)第6頁(yè)共ii頁(yè)0,1)第6頁(yè)共ii頁(yè)0),設(shè)平面PAB的法向平面PED的一個(gè)法向量為DC=(0,1,量為n=(x,y,1)*DCn=0即dc丄n平面PED丄平面PAB3i*r3i一crn丄PB(x,y,i)(cf，T)022xyi022n彳n丄PE3crc3-門(x,y,i)(,0,i)0 xi02I22x3y022第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 頁(yè)共11頁(yè)FAB的法向量為n=(x,y,-1),i由(1)知：F(0,0,1),fb=(22)，F(xiàn)E=(23，0,1),2由n丄FB1n丄FEJin1=(一1,0,-1)3(x,y,-1)(2(x

9、,y,-1)(=02y2=01x=-3y=0二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos9=|cos|i22第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)nn571=nn14122第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)例3：在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABCD中，0是正方形ABCD的中iiiiiiii心，點(diǎn)P在棱CC上，且CC=4CP.ii(I)求直線AP與平面BCCB所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表ii示);設(shè)0點(diǎn)在平面DAP上的射影是H,求證：DH丄AP；ii

10、求點(diǎn)P到平面ABD的距離.i解：(I)如圖建立坐標(biāo)系D-ACD,iT棱長(zhǎng)為4A(4,0,0),直(4,4,0),PCTN,AP=(-4,4,1),顯然DC=(0,4,0)為平面BCCB11的一個(gè)法向量直線AP與平面息CCB所成的角6的正弦值sin怕二|cos1=1642+42+14334233.e為銳角,直線AP與平面BCCB所成的角e為arcsin4331133(III)設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,1)，1ab=(0,4,0),AD=(-4，0，4)1由n丄AB，n丄AD1得n=(1,0,1),4x+40=APn32-n2例4：在長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3的長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中

11、,122第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)是底面中心，求A0與BC的距離。11解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD,則0（1,1，0）,AD1C1（2,2，3），C（0，2，0）A1B122第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)22第8頁(yè)決11頁(yè)I3第 #頁(yè)共11頁(yè)-AO(1,1,3)BC(2,0,3)AB=(0,2,0)1111設(shè)A0與BC的公共法向量為n(x,y,1)，貝n丄AO1nn丄BCi1(x,y,1)(-1,1,-3)=0fx+y302x30(X,y,1)(2,0,3)0B1第 #頁(yè)

12、共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第9頁(yè)共11頁(yè)111CA0與書C的距離為1133n(-2丿=IABnId11InI(0,2,0)(-2,3，JI22丿32322丿311232211例5：在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是BC、CD11的中點(diǎn)，求A到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD，則1(1,1,0),A1(1,0,1),E(2,1,1)BD(1,1,0)BE(1,0,1)AB(0,1,1)1Di設(shè)面BDFE的法向量為n(x,y,1),A1n丄BDnn丄BE(x,y,l)(-1,-1，0)U(x,y,1)(-1,0,1)0乙x2-01y-2x了二1x+12n(2,2,1)FC1BE1CB1B1第 #頁(yè)共11頁(yè)第 #頁(yè)共11頁(yè)第9頁(yè)共11頁(yè)111CB1第 頁(yè)共11頁(yè)第 頁(yè)共11頁(yè)第9頁(yè)共11頁(yè)111C(0,1,-1)(2,2,1)22(-2)1、如圖，已知正四棱柱ABCD-ABCD,AB=1,AA=2,點(diǎn)E為CC中點(diǎn),111111點(diǎn)F為BD中點(diǎn).(1)證明EF為BD與CC的公垂線；(2)求111點(diǎn)D到面BDE的距離.12、已知正方形ABCD,邊長(zhǎng)為1,過(guò)D作PD丄平面ABCD,且PD=1,E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，(1)求D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離3、在長(zhǎng)方體ABCD-