【學習課件】第三章微分方程模型

1、第三章 微分方程模型 在研究某些實際問題時，經(jīng)常無法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問題的特征往往會給出關于變化率的一些關系。利用這些關系，我們可以建立相應的微分方程模型。 精選課件人口模型 、MALTHUS模型 英國人Malthus認為，在人口自然增長過程中，凈相對增長率（出生率減去死亡率為凈增長率）是常數(shù)。 設時刻t的人口為（t），凈相對增長率為r，我們把（t）當作連續(xù)變量來考慮。按照Malthus的理論，在t到t+t時間內人口的增長量為精選課件 令t，則得到微分方程:精選課件設t時人口為，即有 我們易求得微分方程在上面的初始條件下的解為精選課件 問題：當t，我們將會有(t) , 這似乎不太可能

2、。 實際背景：這個模型可以與世紀以前歐洲一些地區(qū)的統(tǒng)計資料很好地吻合，但是后來人們用它來與世紀的人口資料比較時卻發(fā)現(xiàn)了相當大的差異。精選課件精選課件從圖中可一看到在1925年之前曲線很光滑，在1950年左右出現(xiàn)變化。精選課件圖中可以看到在1875年之前擬合得出的曲線和真實曲線匹配的很好，但在之后兩者之間的差距越來越大。擬合曲線真實數(shù)據(jù)精選課件 隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著。人口較少時，人口的自然增長率基本上是常數(shù)，而當人口增加到一定數(shù)量以后，這個增長率就要隨著人口的增加而減少。 精選課件 、Logistic模型 荷蘭生物數(shù)學家Verhulst引入常數(shù)m

3、表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口，并假定凈相對增長率等于精選課件 這樣，上面模型中的方程就變?yōu)榫x課件則上面微分方程的解為易看出，當t時，當 (t) m。Logistic模型結果經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)與實際情況比較吻合。精選課件Logistic模型曲線與真實情況擬合很好,并很好的預示了人口發(fā)展趨勢。這個曲線形狀像不像s精選課件捕魚問題 問題：在魚的總量保持穩(wěn)定的前提下，達到最大捕魚量或者最多的經(jīng)濟效益。 精選課件 設時刻t魚場中的魚量為x(t)，魚場資源條件所限制的x的最大值為xm，類似人口模型中的Logistic模型，我們得到在無捕撈情況下的關于x(t)的微分方程精選課件 假設單位時間內捕撈量

4、與漁場的魚量成正比，捕撈率為K，則在有捕撈的情況下，x(t)應滿足 但是，我們并不關心方程的解的表達，因為我們只要知道穩(wěn)定的魚群時最大的捕撈量或經(jīng)濟效益，那么如何知道什么時候魚群x（t）穩(wěn)定呢？精選課件對于方程 我們把代數(shù)方程f(x)=0的實根x0稱為上面方程的平衡點。顯然，x=x0是它的一個解。另外，在點x0附近，有taylor展開式精選課件 若f(x0)x0時， ，從而當t增加時，導數(shù)為負數(shù)，x(t)下降，x向x0方向減少；當x0，則x0是穩(wěn)定的不平衡點。 精選課件 我們不難求出方程 的平衡點精選課件易得 根據(jù)上面關于平衡點的討論易知，當Kr時，上面所求的x0即為平衡的穩(wěn)定點。換句話說，只

5、要不是“竭澤而魚”，Kr就是魚業(yè)生產(chǎn)所必須遵守的基本條件。 下面我們用圖解法討論在保持魚量穩(wěn)定的前提下，如何選取捕撈率使捕撈量最大。設精選課件 當Kr時，曲線f1(x)與f2(x)必相交p，其交點的橫坐標為x0為穩(wěn)定平衡點（f（ x0 ）=0），在所有與拋物線相交的直線中，選擇過拋物線的頂點的直線將得到最大的捕撈量f(x0 ), 此時，此時是能獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量精選課件 在保持魚場漁量穩(wěn)定的前提下，如何使經(jīng)濟利潤最大。設魚的單價為p，設開支與捕撈率成正比，比例系數(shù)為c，則在保持魚量穩(wěn)定的條件下單位時間內捕撈利潤是精選課件上面我們所得到的式子從此式中，我們可以解出精選課件將此式代入上面的式子中，

6、得令(x0)=0，容易求得使(x0)最大的x0為精選課件此時捕撈量為精選課件3.3 新產(chǎn)品的推銷與廣告 精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件廣告模型 當生產(chǎn)者生產(chǎn)出一批產(chǎn)品后，下一步便去思考如何更快更多的賣出產(chǎn)品。經(jīng)營者在利用廣告這一手段時自然要關心：廣告與促銷到底有何關系，廣告在不同時期的效果如何？精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件精選課件3.5 Van Meegeren 的藝術偽造品 在第二次世界大戰(zhàn)后，德國戰(zhàn)場安全部發(fā)現(xiàn)德國畫家HA Van Meegeren拍賣過17世紀荷蘭

7、著名畫家Jan Vermeer的名畫。年月日Meegeren以通敵罪被逮捕。然而，Meegeren一口咬定，他從未拍賣過Jan Vermeer的名畫，他聲稱這副畫是他偽造的。精選課件 為了證實這一切，他在獄中開始偽造Vermeer的畫耶穌在學者中間。當他的工作幾乎要完成時，他獲悉他可能以偽造罪被判刑。于是，他拒絕將他的畫老化。精選課件 為了解決這一問題，一個由著名化學家、物理學家和藝術史學家組成的國際調查小組調查此事。調查小組用X射線透視等現(xiàn)代手段在油畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質諸如鈷藍的痕跡。這樣，偽造罪成立。Van Meegeren也因此被判處一年徒刑。年月他在獄中心臟病發(fā)作死去。 精選課件 但是，許多人還是不相信 Emmaus的信徒們等名畫是偽造的。他們的理由是，Van Meegeren在獄中快要完成的畫耶穌在學者們中間的質量很差。 調查小組解釋說，由于Van Meegeren對他在藝術界的三流畫家地位很不滿，因此帶著狂熱的決心臨摹了那副畫。當他看到自己的“杰作未被識別而輕易出手后，他的決心也隨之消失了。精選課件這種解釋并不能使懷疑者滿意，直到年卡內基梅龍大學的科學家們才利用微分方程模型等辦法基本解決了這一問題。物理學家Rutherford曾指出：物質的放射性正比與物質的原子數(shù)。精選課件精選課件精