非線性方程組的牛頓迭代法的應(yīng)用

1、+南大摩CENTRAL SOUTH UNIVERSITY數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告非線性方程組的牛頓迭代法的應(yīng)用一、問題背景非線性是實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)的，并且在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來越重 要，很多我們熟悉的線性模型都是在一定條件下由非線性問題簡化的，為得到更符合實(shí)際的解答，往往需要直接研究非線性科學(xué)，它是 21世紀(jì)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的 重要支柱，非線性問題的數(shù)學(xué)模型有無限維的如微分方程，也有有限維的。道遙詠計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算都要轉(zhuǎn)化為非線性的單個(gè)方程或方程組的求解。從線性到非線性是一個(gè)質(zhì)的變化，方程的性質(zhì)有本質(zhì)不同，求解方法也有很大差別。本文 主要介紹的是非線性方程組的牛頓迭代法的數(shù)值解法。二、數(shù)學(xué)模型對(duì)

2、于方程f(x)=0,如果f(x )濕陷性函數(shù)，則它的求根是容易的。牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將線性方程f(x0逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。設(shè)已知方程f(x)=0有近似根Xk (假定f(Xk沖0),將函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xk展開，有f(x)之 f(xk )+f (xk Jx-xk),于是方程f(x )=0可近似地表示為f xk f xk x - xk =0這是個(gè)線性方程，記其根為x+,則xk書的計(jì)算公式xy =xk _ f：k 1, k = 0,1f xk這就是牛頓法。三、算法及流程對(duì)于非線性方程fi(xi,x2, L,xn , 工 f2(x1，x2,L,xn ) f =Mjfn(

3、xi,x2,L,xn )在x3處按照多元函數(shù)的泰勒展開，并取線性項(xiàng)得到f1(x1C)x2(k)L,xn(k：f2(Xi,)X2)L,XnMfn(x/ )x29)L,Xn，其中,f x =這樣便得到迭代公式：1-xxi（k）l1川產(chǎn)一產(chǎn)二。MV_xnLM TOC o 1-5 h z 占1k對(duì)11CxiCxnM0M包Ltol)x0=x1;x1=x0-f1(x0)/df1(x0);n=n+1;% data用來存放中間數(shù)據(jù)data(:,n)=x1;endx=x1;以文件名new_ton.m保存文件。四、計(jì)算結(jié)果與分析計(jì)算非線性方程組x2 -2x - y 0,5 = 0 x2 4y2 -4=0取初值為一

4、y1(1)先編寫方程函數(shù)與方程的Jacobi矩陣函數(shù)。%牛頓迭代法的方程函數(shù)function f=f1(x0)x=x0；y=x0(2);f1=xA2-2*x-y+0.5;f2=xA2+4*yA2-4;%最后方程函數(shù)以行向量輸出f=f1 f2;以文件名f1.m保存。(2)打開editor編輯器輸入以下語句并以文件名df1.m保存。function f=df1(x0)x=x0；y=x0(2);f=2*x-2 -12*x 8*y;(3)編寫主函數(shù)，并以文件名new_main.m保存文件。%牛頓迭代法的主函數(shù)x0=1 1;x,n,data=new_ton(x0);disp(計(jì)算結(jié)果為1) xdisp(,迭代次數(shù)為) n%抽取data中的第一個(gè)變量數(shù)據(jù)畫出曲線subplot(2,1,1)plot(data(1,:),title(x 在迭代中的變化)%抽取data中的第二個(gè)變量數(shù)據(jù)畫出其變化曲線subplot(2,1,2)plot(data(2,:),title(y 在迭代中的變化)(4)運(yùn)行程序，在MATLAB命令窗口輸入new_main,以enter鍵結(jié)束，輸出x = -0.222214555069498 0.993808418603981 迭代次數(shù)為n =16為了獲得更為直觀的迭代收斂信息， MATLAB方便的畫出了函數(shù)圖形，如