泰勒公式的應(yīng)用87935

1、泰勒公式及其應(yīng)用摘要文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式的證明及其推導(dǎo)過(guò)程，詳細(xì)討論了泰勒公式在最優(yōu)化理論 領(lǐng)域的應(yīng)用，分別討論了泰勒公式在理論證明和算法設(shè)計(jì)上面的應(yīng)用，并用簡(jiǎn)單的算例 加以說(shuō)明。關(guān)鍵詞：泰勒公式，最優(yōu)化理論，應(yīng)用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式f (n )(x0)(x - x ) n + f (n g (x - x ) n+1n! o(n +1)!o若函數(shù)f (x)在含有的開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n +1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)， 可展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于(x-%)的多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：.f ( x )其中 R (x) = f (n+1)(&)(x - x ) n+1n (n +1)!0f

2、 (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) +J o (x - x )2 + + 0 o o 2! o在和之間的一個(gè)數(shù)，該余項(xiàng)Rn(x)為拉格朗日余項(xiàng)。1.1.1泰勒公式的推導(dǎo)過(guò)程我們知道f (x) = f (x0) + f (x0)(x-x0) +a，其在近似計(jì)算中往往不夠精確，于是我 們需要一個(gè)能夠精確計(jì)算的而且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：p(x) = a + a (x x ) + a (x x )2 + + a (x x )n TOC o 1-5 h z 01020n0來(lái)近似表達(dá)函數(shù)f (x)；設(shè)多項(xiàng)式 p (x)滿足 p( x ) = f (x ), p (x ) = f

3、(x ) p (n)(x ) = f (n)(x )000000因此可以得出a ,a a .顯然，p(x ) = a，所以a = f (x ) ； p(x ) = a，所以 0 1 n000001a = f(x ) ； p”(x ) = 2!a，所以a = (*0) p(n)(x ) = n!a，所以有a =()(尤0)100222!0 nnn!所以，p(x) = f (x ) + f(x )(x 一 x ) + f 3。)(x 一 x )2 + f x。)(x 一 x )n0002!0n!01.1.2泰勒公式余項(xiàng)的證明我們利用柯西中值定理來(lái)推出泰勒公式的余項(xiàng)(拉格朗日余項(xiàng)):設(shè) Rn (x)

4、 = f (x) p( x)于是有R (x) = f (x)-p(x) = 0所以有R (x ) = R (x ) = R (x ) = = R(n)(x ) = 0 n 0 n 0 n 0n 0根據(jù)柯西中值定理可得：是在和之間的一個(gè)數(shù);R (x)_ R (x) - R (x0) _R： ()(x x )(n+1)(x x )(n+1) -0(n +1)(& - x )n0010對(duì)上式再次使用柯西中值定理，可得:是在和之間的一個(gè)數(shù);R(&)_ R(&)-R3 ) _R(& )n1 = n 1n0 = n2 (n +1)(& 一x )n(n + 1)(g 一 x )n 一0)n(n +1)(&

5、一x )(n-i)101020連續(xù)使用柯西中值定理n +1次后得到:R(x)= Rnn+1庶)這里是介于和之間的一個(gè)數(shù)。(X X )(n+1)(n +1)!由于 p(n)(x) = n!a，n!a 是一個(gè)常數(shù)，故p(n+1) (x) = 0，于是得到:R (n+1) (x) = f (n+1) (x)，綜上可得，余項(xiàng)：R (x) = :；)(x-x0)n+1介于和之間此余項(xiàng)又稱為拉格朗日余項(xiàng)。到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為:f (x) = f (x ) + f (x )(x x ) + f (x x )2 + + f (n)?0)(x x )n + R (x) 0002!0n

6、!0 n其中Rn(x)為泰勒公式的余項(xiàng)，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾(Peano)余項(xiàng)R (x) =0 (x x0)n)施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項(xiàng)R (x) = f (+】)(&)(x g)n+1q (x x )q(0 q n +1),介于和之間nq - n!0拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng)R (x) = fn1g)(x x )n+1介于和之間柯西(Cauchy)余項(xiàng)R (x) = f (n+)(g)(x g ) n (x x)介于和之間積分余項(xiàng)j x f (n+1)(t)(x t) ndtR (x) = !泰勒公式的特殊形式，當(dāng)取x0 = 0的時(shí)候，此時(shí)

7、泰勒公式為：f 3) = f (0) + f (0)X + f 70)奇 + + f(n)(0) n + Rn (x)Rn(X)為相應(yīng)的余項(xiàng)，該式叫做泰勒公式的麥克勞林展開(kāi)，也叫做麥克勞林公式；麥克勞林公式主要應(yīng)用在一些比較特殊的函數(shù)，如三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等。如：對(duì) y = sin x或y = cos x的麥克勞林展開(kāi)進(jìn)行求值計(jì)算；歐拉公式eix = cosx + isinx的證明 與應(yīng)用等等。運(yùn)用麥克勞林展開(kāi)可以得到一些常用的泰勒展開(kāi)式：.x 2xne Qe x = 1 + x + +xn+i.x 2 n+1(2n +1)!卜o(x2n+2).2! n!(n +1)!sin x = x -

8、x3 + x5 - + (一1)3!5!、x 2 x 4x 6cos x = 1 + +2! 4!6!+ (-1)n /c+ o(x2n).(2 n)!x 2x 3xn+1ln(1 + x) = x - +- + (-1)n+ o(xn+1).23n +1=1 + x + x2 + + xn + o( xn )1 x1.2多兀泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應(yīng)用也非常的廣泛，特別是在微分方 程數(shù)值解和最優(yōu)化上面，有著很大的作用。1.2.1二元泰勒展開(kāi)引人記號(hào)：h = x-x， t = y - y，則二元函數(shù)f (x, y)在(x ,y )處的泰勒展開(kāi)為：0000f (x, y)

9、 = f (x , y ) + (h : +1 : ) f (x , y ) + (h ? +1 : )2 f (x , y ) + 0 0dx dy0 0dx dy0 0”合 a、+(噫+1 ay)mf(% *)+Rm18f-h + 8y(xo,yo) TOC o 1-5 h z 88df(h +1 ) f (x , y ) = 8f8x8y0 08xht+旦8y2(x0, y0)8882 f8 2 f(h + t )2 f (x , y ) = L h 2 +L8x8y0 08x 28x8y(x0, y0)( x0, y0) hktm-k(x0, y0)8,8寸八 8 mf(h 虱 t 瓦

10、)mf (x。,y。)= C 8k8ymk k=0是二元泰勒公式的余項(xiàng)。由于二元泰勒展開(kāi)比較復(fù)雜，所以在一般的應(yīng)用之中，只作二階泰勒展開(kāi)。1.2.2二元泰勒展開(kāi)的余項(xiàng)與一元泰勒公式類似，二元泰勒公式的余項(xiàng)分別有：(1)佩亞諾(Peano)余項(xiàng)R =0 (X - X ) m + (y - y ) m拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng)188R =(h + k一)m+if (&m)(&，門)是(X, y)和(X , y )線段上的一點(diǎn)m (m +1)! 8 X 8 y 1.2.3多元函數(shù)泰勒展開(kāi)(1)多元函數(shù)一階泰勒展開(kāi)多元函數(shù)f (X) e R。X, X * e Rn，則f (X)在的一階泰勒展開(kāi)為

11、：1f (x)= f (X *)+ W(X *)T(X-X *)+ 2( X-X *) z2 f (X *+。(X-X *)( X X *)(0 9 0及任意的p e Rn，有1 f (X * +p) = f (X *) + XVf (X *) t p +(Xp) TV2 f (X *)(Xp) + o (| |Xp|2)A多元泰勒公式主要應(yīng)用在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面。二、泰勒公式在最優(yōu)理論中的應(yīng)用目標(biāo)函數(shù)泰勒表達(dá)式的展開(kāi)，往往將原目標(biāo)函數(shù)在所討論的點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒多項(xiàng) 式，用來(lái)解答原函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度，考察函數(shù)與自變量的關(guān)系，即函數(shù) 相對(duì)于自變量的變化率，包括沿某一指定方向的

12、變化率和最大變化率，所以就要用到方 向?qū)?shù)和梯度。無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件，無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題一般歸結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)的 極大值極小值問(wèn)題，一般先求出若干極值點(diǎn)，再通過(guò)比較來(lái)確定全局最優(yōu)點(diǎn)。目標(biāo)函數(shù) 凸集與凸函數(shù)、凹函數(shù)，由函數(shù)極值條件所確定極小點(diǎn)，是指函數(shù)f(x)在點(diǎn)附近的一切 x均滿足不等式f(x) f()，由函數(shù)極值條件所確定的極小值只是反映函數(shù)在附近的局部 性質(zhì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)的局部極小點(diǎn)并不一定就是全局極小點(diǎn)，只有在函數(shù)具 備某種性質(zhì)時(shí)，二者才能等同。目標(biāo)函數(shù)的約束極值優(yōu)化問(wèn)題，約束最優(yōu)點(diǎn)不僅與目標(biāo) 函數(shù)本身的性質(zhì)有關(guān)，而且還與約束函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。在存在約束的條件下，為了要滿 足約束

13、條件的限制，其最優(yōu)點(diǎn)不一定是目標(biāo)函數(shù)的自然極值點(diǎn)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算方法一一迭代法及其收斂性，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)際問(wèn)題 中，采用解析法求解很困難，在實(shí)際應(yīng)用中，則廣泛采用數(shù)值方法來(lái)直接求解。數(shù)值方 法中常用的是迭代法，這種方法具有簡(jiǎn)單的迭代格式，適用于計(jì)算機(jī)反復(fù)運(yùn)算，通常得 到的最優(yōu)解是一個(gè)可滿足精度要求的近似解。2.1泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化理論證明中的應(yīng)用定理2.1(無(wú)約束問(wèn)題解的一階必要條件)設(shè)f : Rn t R連續(xù)可微，是無(wú)約束問(wèn)題min f,3 e Rn)的一個(gè)局部最優(yōu)解，則滿足Vf (x *) = 0證明：任給p e Rn，由局部最優(yōu)解的定義和多元泰勒展開(kāi)，對(duì)任意充分小的數(shù)f 0，

14、 有f (x*) 0, Vp e Rn.特別令p = -Vf (x*)得-|Vf (x *)2 =-Vf (x*)TVf (x*) 0從而，W(X*) = 0定理2.2(無(wú)約束問(wèn)題解的二階必要條件)設(shè)f： Rn t R二次連續(xù)可微，是無(wú)約束 問(wèn)題min f (x),(x e Rn)的一個(gè)局部最優(yōu)解，則滿足Vf (x*) = 0且V2 f (x*)半正定.證明：由定理4.1，只需證明V2 f (x*)半正定.任給p e Rn，由最優(yōu)解的定義和二階泰勒 展開(kāi)，對(duì)任意充分小的數(shù)，有1f ( X *) 0即V 2 f ( X *)半正定.定理2.3(無(wú)約束問(wèn)題解的二階充分條件 )f： Rn t R二次連續(xù)可微.若滿足Vf (X*) = 0且V2 f (x*)正定，則是無(wú)約束問(wèn)題min f (x),(x e Rn)的一個(gè)嚴(yán)格局部最優(yōu)解.證明：由于V2 f (x*)正定，故存在常數(shù)5 0，使得對(duì)所有的J e U5(X*)= e Rn | |y x f (x*)即是問(wèn)題min f (x),(x e Rn)的一個(gè)嚴(yán)格局部最優(yōu)解.2.2泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化算法設(shè)計(jì)中的應(yīng)用我們知道最優(yōu)化算法中我們需要知道兩