微分方程建模案例課件2_第1頁
微分方程建模案例課件2_第2頁
微分方程建模案例課件2_第3頁
微分方程建模案例課件2_第4頁
微分方程建模案例課件2_第5頁
已閱讀5頁,還剩14頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用,人類必須保持并控制生態(tài)平衡,甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個(gè)簡單的單種群增長模型,以簡略分析一下這方面的問題。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值,但由于種群數(shù)量一般較大,為建立微分方程模型,可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。 Malthus模型與Logistic模型模型1 馬爾薩斯(Malthus)模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn),人口凈增長率r基本上是一常數(shù),(r=b-d,b為出生率,d為死亡率), 既: 或 (3.5) (3.6) (3.1)的解為:其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)

2、顯著特點(diǎn):種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T,則有: 故模型檢驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料,可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符,例如,1961年世界人口數(shù)為30.6 (即3.06109),人口增長率約為2%,人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量,發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致,且按馬氏模型計(jì)算,人口數(shù)量每34.6年增加一倍,兩者也幾乎相同。 模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍,那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長。例如,到2510年,人口達(dá)21014個(gè),即使海洋全部變成陸地,每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范

3、圍,而到2670年,人口達(dá)361015個(gè),只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。 故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理,到總數(shù)增大時(shí),生物群體的各成員之間由于有限的生存空間,有限的自然資源及食物等原因,就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù),它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2 Logistic模型 人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān),即: r=r(N) 從而有:(3.7)r(N)是未知函數(shù),但根據(jù)實(shí)際背景,它無法用擬合方法來求 。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型,我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)

4、際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí),總是采用盡可能簡單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù),此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)(競爭項(xiàng)) 對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)(競爭項(xiàng)),令 r(N)=r-aN 此時(shí)得到微分方程: 或(3.8) (3.8)被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計(jì)籌算律,是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的,因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí),會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性,故一次項(xiàng)又被稱為競爭項(xiàng)。(3.8)可改寫成: (3.9) (3.9)式還有另一解釋,由于空間和資源都是有限的,不可能供養(yǎng)無限增長的種群個(gè)體,當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí),由

5、于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因,出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K(近似地將K看成常數(shù)),N表示當(dāng)前的種群數(shù)量,K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量,(3.9)指出,種群增長率與兩者的乘積成正比,正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律,得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持,這就是(3.9)也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 圖3-5對(duì)(3.9)分離變量:兩邊積分并整理得: 令N(0)=N0,求得: 故(3.9)的滿足初始條件N(0)=N0的解為: (3.10)易見: N(0)=N0 ,N(t)的圖形請(qǐng)看圖3.5 模型檢驗(yàn) 用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢?1945年克朗皮克(C

6、rombic)做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯(EFGauss)也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。 大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長,效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如,高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管,他發(fā)現(xiàn),開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長,此后增長速度不斷減慢,到第五天達(dá)到最大量375個(gè),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309,a=0.006157,N(0)=5的Logistic曲線: 幾乎完全吻合,見圖3.6。 圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié) Malthus模型和Logistic模型均

7、為對(duì)微分方程(3.7)所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù),(r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率)。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群,從而引入了一個(gè)競爭項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn),看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好,否則就得找出不相符的主要原因,對(duì)模型進(jìn)行修改。 Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的,但它們也可用來研究其他實(shí)際問題,只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。歷史背景:例5 贗品的鑒定 在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后,荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹

8、同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索,于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范梅格倫(HAVanmeegren),此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng)弗米爾(Jan Veermeer)的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人??墒牵睹犯駛愒谕?月12日在牢里宣稱:他從未把“捉奸”賣給戈林,而且他還說,這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯(17世紀(jì)荷蘭畫家)的油畫,都是他自己的作品,這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界,為了證明自己是一個(gè)偽造者,他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”,當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí),范梅格倫獲悉自己的通

9、敵罪已被改為偽造罪,因此他拒絕將這幅畫變陳,以免留下罪證。 為了審理這一案件,法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外,他們分析了油彩中的拌料(色粉),檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象??茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡,還在幾幅畫中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù),范梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪,被判刑一年??墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作,于1947年12月30日死去。 歷史背景: 然而,事情到此并未結(jié)束,許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯

10、的門徒”是范梅格倫偽造的。事實(shí)上,在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡,并以17萬美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是:由于范梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱,他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”,來證明他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后,他的志氣消退了。而且,當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后,他在炮制后來的偽制品時(shí)就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意,他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了20年,直到1967年,才被卡內(nèi)基梅倫(Carnegie-Mellon)大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決。 歷史背景:

11、原理與模型 測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。 放射性現(xiàn)象:著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn),某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的,并且在已知的一段時(shí)間內(nèi),有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子,且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。 用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù),則: 常數(shù)是正的,稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù) 用來計(jì)算半衰期T:與負(fù)增長的Malthus模型完全一樣 其解為: 令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測定,如碳14,其T=5568;軸238,其T=45億年。 與本問題相關(guān)的其他知識(shí): (1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一,已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放

12、射鉛210,白鉛是從鉛礦中提煉出來的,而鉛又屬于鈾系,其演變簡圖如下(刪去了許多中間環(huán)節(jié)) (3)從鉛礦中提煉鉛時(shí),鉛210與鉛206一起被作為鉛留下,而其余物質(zhì)則有9095%被留在礦渣里,因而打破了原有的放射性平衡。鈾238-45億年-釷234-24天-釙234-6/5分-鈾234-257億年-釷230-8萬年-鐳226-1600年-氡222-19/5天-釙218-3分-鉛214-27分-釙214-鉛210-20年-鉍210-5天-釙210-138天-鉛206(一種非放射性物質(zhì))注:時(shí)間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面,鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減,而另一

13、方面,鈾又不斷地衰減,補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)(除鈾以外)在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料,地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7(一般含量極微)。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大,但從未發(fā)現(xiàn)含量高于23%的。 簡化假定:本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫,為了使模型盡可能簡單,可作如下假設(shè): (1)由于鐳的半衰期為1600年,經(jīng)過300年左右,應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%,故可以假定,每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。 (2)鉛210的衰變?yōu)椋?鉛210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品,顏

14、料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史,容易證明:每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)(相差極微,已無法區(qū)別)??捎们罢叽婧笳?,因釙的半衰期較短,易于測量 。建模: (1)記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0,當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0,由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的,故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同??梢酝扑愠霎?dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。若則(個(gè))這些鈾約重 (克)即每克白鉛約含0.04克鈾,含量為4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界,若畫上的鉛分解數(shù)大于該值,說明畫是贗品;但若是小于不能斷定畫一定是真品。 (2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量

15、為y(t),而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r(常數(shù)),則y(t)滿足微分方程: 由此解得:故: 畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出,從而可求出y0的近似值,并利用(1)判斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問的油畫作了鑒定,測得數(shù)據(jù)如下(見表3-1)。 油畫名稱210分解數(shù)(個(gè)/分)鐳226分解數(shù)(個(gè)/分)1、在埃牟斯的門徒 8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計(jì)算y0 (個(gè)/分)9805015713

16、01273401022501274.8-10181表3-1 對(duì)“在埃牟斯的門徒”,y098050(個(gè)/每克每分鐘),它必定是一幅偽造品。類似可以判定(2),(3),(4)也是贗品。而(5)和(6)都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品,因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài),這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。 判定結(jié)果: 利用放射原理,還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測定。例如對(duì)有機(jī)物(動(dòng)、植物)遺體,考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法,這種方法具有較高的精確度,其基本原理是:由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射,空氣中含有微量的中微子,它們和空氣中的氮結(jié)合,形成放射性碳14(C14)。有機(jī)物

17、存活時(shí),它們通過新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換,使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡,新陳代謝終止,放射性平衡即被破壞。因而,通過對(duì)比測定,可以估計(jì)出它們生存的年代。例如,1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭,經(jīng)測定,其C14衰減數(shù)為4.09個(gè)/每克每分鐘,而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個(gè)/每克每分鐘,C14的半衰期為5568年,由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。 例6 新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它,并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢?以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界,并記此上界為K,記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論