微分方程建模案例課件2

1、 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個(gè)簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。 Malthus模型與Logistic模型模型1 馬爾薩斯（Malthus）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）， 既： 或 （3.5） （3.6） （3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)

2、顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T，則有： 故模型檢驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6 （即3.06109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。 模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達(dá)21014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范

3、圍，而到2670年，人口達(dá)361015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。 故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2 Logistic模型 人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求 。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)

4、際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)） 對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)），令 r(N)=r-aN 此時(shí)得到微分方程： 或（3.8） （3.8）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競爭項(xiàng)。（3.8）可改寫成： （3.9） (3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由

5、于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 圖3-5對(duì)（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得： 令N(0)=N0，求得： 故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為： （3.10）易見： N(0)=N0 ，N(t)的圖形請(qǐng)看圖3.5 模型檢驗(yàn) 用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（C

6、rombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（EFGauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。 大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見圖3.6。 圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié) Malthus模型和Logistic模型均

7、為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競爭項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。 Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。歷史背景:例5 贗品的鑒定 在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹

8、同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范梅格倫（HAVanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng)弗米爾（Jan Veermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人?？墒牵睹犯駛愒谕?月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范梅格倫獲悉自己的通

9、敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。 歷史背景: 然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯

10、的門徒”是范梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時(shí)就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決。 歷史背景:

11、原理與模型 測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。 放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。 用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù),則： 常數(shù)是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù) 用來計(jì)算半衰期T:與負(fù)增長的Malthus模型完全一樣 其解為: 令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。 與本問題相關(guān)的其他知識(shí): (1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放

12、射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)） (3)從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有9095%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。鈾238-45億年-釷234-24天-釙234-6/5分-鈾234-257億年-釷230-8萬年-鐳226-1600年-氡222-19/5天-釙218-3分-鉛214-27分-釙214-鉛210-20年-鉍210-5天-釙210-138天-鉛206（一種非放射性物質(zhì)）注：時(shí)間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一

13、方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于23%的。 簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)： (1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。 (2)鉛210的衰變?yōu)椋?鉛210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏

14、料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于測量 。建模： (1)記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎?dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。若則（個(gè)）這些鈾約重 （克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。 (2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量

15、為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程： 由此解得：故： 畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出y0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。 油畫名稱210分解數(shù)（個(gè)/分）鐳226分解數(shù)（個(gè)/分）1、在埃牟斯的門徒 8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計(jì)算y0 （個(gè)/分）9805015713

16、01273401022501274.8-10181表3-1 對(duì)“在埃牟斯的門徒”，y098050（個(gè)/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。 判定結(jié)果： 利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測定。例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機(jī)物

17、存活時(shí)，它們通過新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對(duì)比測定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其C14衰減數(shù)為4.09個(gè)/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個(gè)/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。 例6 新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t