函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)講解課件

1、9-5 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1定理 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù)；且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同，即收斂域1.冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):復(fù)習(xí)2 求部分和式的極限二、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)和式積分或求導(dǎo)難（在收斂區(qū)間內(nèi)）3第五節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 第九章 展開(kāi)方法直接展開(kāi)法間接展開(kāi)法4則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得函數(shù)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如:5則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成

2、冪級(jí)數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得函數(shù)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)問(wèn)題:1.如果能展開(kāi), 是什么?2.展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?6則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使得函數(shù)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如:無(wú)窮級(jí)數(shù)有限形式表示函數(shù)7一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng) .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :1.回憶泰勒公式8為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)

3、 . 則稱待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 2.泰勒級(jí)數(shù)定義:當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù) 又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) . ？9定理1 .各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明:設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有3.泰勒級(jí)數(shù)的收斂定理:泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x)10定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是惟一的 , 且證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .4.系數(shù)的惟一性定理:11說(shuō)明：2)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式是唯一的.？問(wèn)題:1.如果能展開(kāi), 是什么?2.展開(kāi)式是否唯

4、一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?12二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)0. 求第二步 寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 則13例1. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 14例2. 將展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足15常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（要求牢記?。?62. 間接展開(kāi)法根據(jù)唯一性, 利用已

5、知的函數(shù)展開(kāi)式, 通過(guò)變量代換, 四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,函數(shù)已知展開(kāi)式的新函數(shù)轉(zhuǎn)化將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù). 例1. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解:把 x 換成, 得17解思考：例2將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).將-2x代入上式中x的位置，即得將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).18解例3將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).19例4. 將展成解: 的冪級(jí)數(shù). 20例5解21例6. 將在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).解:因此22例7.將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)解:x1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此 23注意：把函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化函數(shù)展開(kāi)式已知的新函數(shù)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)：1)有理函數(shù)轉(zhuǎn)化2)指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化3)對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化4)三角函數(shù)轉(zhuǎn)