第10章--向量自回歸和向量誤差修正模型(第三版)

1、1第十章 向量自回歸和向量誤差修正模型 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量方法是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來描述變量關(guān)系的模型。但是，經(jīng)濟(jì)理論通常并不足以對(duì)變量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系提供一個(gè)嚴(yán)密的說明，而且內(nèi)生變量既可以出現(xiàn)在方程的左端又可以出現(xiàn)在方程的右端使得估計(jì)和推斷變得更加復(fù)雜。為了解決這些問題而出現(xiàn)了一種用非結(jié)構(gòu)性方法來建立各個(gè)變量之間關(guān)系的模型。本章所要介紹的向量自回歸模型(vector autoregression，VAR)和向量誤差修正模型(vector error correction model，VEC)就是非結(jié)構(gòu)化的多方程模型。 2 向量自回歸(VAR)是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立模型，VAR模型把系統(tǒng)中每一個(gè)內(nèi)生

2、變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來構(gòu)造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時(shí)間序列變量組成的“向量”自回歸模型。VAR模型是處理多個(gè)相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的分析與預(yù)測(cè)最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉(zhuǎn)化成VAR模型，因此近年來VAR模型受到越來越多的經(jīng)濟(jì)工作者的重視。10.1 向量自回歸理論 3 VAR(p) 模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 (10.1.1) 其中：yt是 k 維內(nèi)生變量列向量，xt 是d 維外生變量列向量，p是滯后階數(shù)，T是樣本個(gè)數(shù)。kk 維矩陣1，p 和 kd 維矩陣 H 是待估計(jì)的系數(shù)矩陣。t 是 k 維擾動(dòng)列向量，它們相互之間可以同期相關(guān)，但不

3、與自己的滯后值相關(guān)且不與等式右邊的變量相關(guān)，假設(shè) 是 t 的協(xié)方差矩陣，是一個(gè)(kk)的正定矩陣。式(10.1.1)可以展開表示為 10.1.1 VAR模型的一般表示 4(10.1.2) 即含有 k 個(gè)時(shí)間序列變量的VAR(p)模型由 k 個(gè)方程組成。5其中， ci , aij , bij 是要被估計(jì)的參數(shù)。也可表示成： 例如：作為VAR的一個(gè)例子，假設(shè)工業(yè)產(chǎn)量（IP）和貨幣供應(yīng)量（M1）聯(lián)合地由一個(gè)雙變量的VAR模型決定。內(nèi)生變量滯后二階的VAR(2)模型是： 6 一般稱式(10.1.1)為非限制性向量自回歸模型(unrestricted VAR)。沖擊向量 t 是白噪聲向量，因?yàn)?t 沒有

4、結(jié)構(gòu)性的含義，被稱為簡(jiǎn)化形式的沖擊向量。 為了敘述方便，下面考慮的VAR模型都是不含外生變量的非限制向量自回歸模型，用下式表示 或 其中:(10.1.5)7 如果行列式det(L)的根都在單位圓外，則式(10.1.5)滿足穩(wěn)定性條件，可以將其表示為無窮階的向量動(dòng)平均(VMA()形式 (10.1.6)其中 8 對(duì)VAR模型的估計(jì)可以通過最小二乘法來進(jìn)行，假如對(duì) 矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得 矩陣的估計(jì)量為 (10.1.7) 其中： 當(dāng)VAR的參數(shù)估計(jì)出來之后，由于 (L)(L) = Ik，所以也可以得到相應(yīng)的 VMA() 模型的參數(shù)估計(jì)。 9 由于僅僅有內(nèi)生變量的滯后值出現(xiàn)在等式的右邊

5、，所以不存在同期相關(guān)性問題，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR簡(jiǎn)化式模型的一致且有效的估計(jì)量。即使擾動(dòng)向量 t 有同期相關(guān)，OLS仍然是有效的，因?yàn)樗械姆匠逃邢嗤幕貧w量，其與廣義最小二乘法(GLS)是等價(jià)的。注意，由于任何序列相關(guān)都可以通過增加更多的 yt 的滯后而被消除，所以擾動(dòng)項(xiàng)序列不相關(guān)的假設(shè)并不要求非常嚴(yán)格。 10例10.1 我國(guó)貨幣政策效應(yīng)實(shí)證分析的VAR模型 為了研究貨幣供應(yīng)量和利率的變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的長(zhǎng)期影響和短期影響及其貢獻(xiàn)度，采用我國(guó)1995年1季度2007年4季度的季度數(shù)據(jù)，并對(duì)變量進(jìn)行了季節(jié)調(diào)整。設(shè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)為CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消費(fèi)價(jià)

6、格指數(shù)增長(zhǎng)率為 CPI 、實(shí)際GDP 的對(duì)數(shù) ln(GDP/CPI_90) 為ln(gdp) 、實(shí)際M1的對(duì)數(shù)ln(M1/CPI_90) 為 ln(m1) 和實(shí)際利率 rr (一年期存款利率R-CPI ）。 11 利用VAR(p)模型對(duì) ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行實(shí)證研究，其中實(shí)際GDP和實(shí)際M1以對(duì)數(shù)差分的形式出現(xiàn)在模型中，而實(shí)際利率沒有取對(duì)數(shù)。 12EViews軟件操作 1建立VAR模型 為了創(chuàng)建一個(gè)VAR對(duì)象，應(yīng)選擇Quick/Estimate VAR或者選擇Objects/New object/VAR或者在命令窗口中鍵入var。便會(huì)出現(xiàn)下圖的對(duì)話

7、框(以例10.1為例)： 13 可以在對(duì)話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息： (1) 選擇模型類型（VAR Type）： 無約束向量自回歸（Unrestricted VAR）或者向量誤差修正（Vector Error Correction）。無約束VAR模型是指VAR模型的簡(jiǎn)化式。 (2) 在Estimation Sample編輯框中設(shè)置樣本區(qū)間 (3) 輸入滯后信息 在Lag Intervals for Endogenous編輯框中輸入滯后信息，表明哪些滯后變量應(yīng)該被包括在每個(gè)等式的右端。這一信息應(yīng)該成對(duì)輸入：每一對(duì)數(shù)字描述一個(gè)滯后區(qū)間。例如，滯后對(duì) 1 4表示用系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的1階到4階滯后變量作為

8、等式右端的變量。 也可以添加代表滯后區(qū)間的任意數(shù)字，但都要成對(duì)輸入。例如： 2 4 6 9 12 12即為用24階，69階及第12階滯后變量。 14 (4) 在Endogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的內(nèi)生變量 (5) 在Exogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量 EViews允許VAR模型中包含外生變量，其中 xt 是 d 維外生變量向量 , kd 維矩陣 H 是要被估計(jì)的系數(shù)矩陣?？梢栽贓xogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量。系統(tǒng)通常會(huì)自動(dòng)給出常數(shù) c 作為外生變量。 其余兩個(gè)菜單（Cointegration 和 Restri

9、ctions）僅與VEC模型有關(guān)，將在下面介紹。 15 2VAR估計(jì)的輸出 VAR對(duì)象的設(shè)定框填寫完畢，單擊OK按紐，EViews將會(huì)在VAR對(duì)象窗口顯示如下估計(jì)結(jié)果： 表中的每一列對(duì)應(yīng)VAR模型中一個(gè)內(nèi)生變量的方程。對(duì)方程右端每一個(gè)變量，EViews會(huì)給出系數(shù)估計(jì)值、估計(jì)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差(圓括號(hào)中)及t-統(tǒng)計(jì)量(方括號(hào)中)。例如，在D(log(M1_SA_P)的方程中RR_SA(-1)的系數(shù)是-0.002187。 同時(shí)，有兩類回歸統(tǒng)計(jì)量出現(xiàn)在VAR對(duì)象估計(jì)輸出的底部： 16 輸出的第一部分顯示的是每個(gè)方程的標(biāo)準(zhǔn)OLS回歸統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)各自的殘差分別計(jì)算每個(gè)方程的結(jié)果，并顯示在對(duì)應(yīng)的列中。 輸出的第

10、二部分顯示的是VAR模型的回歸統(tǒng)計(jì)量。17 殘差的協(xié)方差的行列式值(自由度調(diào)整)由下式得出： 其中 m 是VAR模型每一方程中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，不做自由度調(diào)整的殘差協(xié)方差行列式計(jì)算中不減 m。 是 k 維殘差列向量。通過假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計(jì)算對(duì)數(shù)似然值： AIC和SC兩個(gè)信息準(zhǔn)則的計(jì)算將在后文詳細(xì)說明。 18 例10.1結(jié)果如下： 盡管有一些系數(shù)不是很顯著，我們?nèi)匀贿x擇滯后階數(shù)為2。3個(gè)方程擬合優(yōu)度分別為： 可以利用這個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)及下一步的分析。 19 同時(shí)，為了檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)之間是否存在同期相關(guān)關(guān)系，可用殘差的同期相關(guān)矩陣來描述。用ei 表示第 i 個(gè)方程的殘差，i =1，2，3。其結(jié)

11、果如表10.1所示。 表10.1 殘差的同期相關(guān)矩陣 e1e 2e 3e 110.36-0.4e 20.3610.15 e 3-0.40.15 1 從表中可以看到實(shí)際利率rr與實(shí)際M1的ln(m1) 方程、實(shí)際GDP的ln(gdp)方程的殘差項(xiàng)之間存在的同期相關(guān)系數(shù)比較高，進(jìn)一步表明實(shí)際利率與實(shí)際貨幣供給量(M1)、實(shí)際GDP之間存在著同期的影響關(guān)系，盡管得到的估計(jì)量是一致估計(jì)量，但是在本例中卻無法刻畫它們之間的這種同期影響關(guān)系。 2010.1.2 結(jié)構(gòu)VAR模型(SVAR) 在式(10.1.1)或式(10.1.3)中，可以看出，VAR模型并沒有給出變量之間當(dāng)期相關(guān)關(guān)系的確切形式，即在模型的右

12、端不含有當(dāng)期的內(nèi)生變量，而這些當(dāng)期相關(guān)關(guān)系隱藏在誤差項(xiàng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)之中，是無法解釋的，所以將式(10.1.1)和式(10.1.3)稱為VAR模型的簡(jiǎn)化形式。本節(jié)要介紹的結(jié)構(gòu)VAR模型(Structural VAR，SVAR)，實(shí)際是指VAR模型的結(jié)構(gòu)式，即在模型中包含變量之間的當(dāng)期關(guān)系。 21 1兩變量的SVAR模型 為了明確變量間的當(dāng)期關(guān)系，首先來研究?jī)勺兞康腣AR模型結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。如含有兩個(gè)變量(k=2)、滯后一階(p=1)的VAR模型結(jié)構(gòu)式可以表示為下式 (10.1.8) 在模型(10.1.8)中假設(shè)： （1）隨機(jī)誤差 uxt 和 uzt 是白噪聲序列，不失一般性，假設(shè)方差

13、 x2 = z2 =1 ； （2）隨機(jī)誤差 uxt 和 uzt 之間不相關(guān)，cov(uxt , uzt )=0 。 式(10.1.8)一般稱為一階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型 (SVAR(1)。 22 它是一種結(jié)構(gòu)式經(jīng)濟(jì)模型，引入了變量之間的作用與反饋?zhàn)饔?，其中系?shù) c12 表示變量 zt 的單位變化對(duì)變量 xt 的即時(shí)作用，21表示 xt-1的單位變化對(duì) zt 的滯后影響。雖然 uxt 和 uzt 是單純出現(xiàn)在 xt 和 zt 中的隨機(jī)沖擊，但如果 c21 0，則作用在 xt 上的隨機(jī)沖擊 uxt 通過對(duì) xt 的影響，能夠即時(shí)傳到變量 zt 上，這是一種間接的即時(shí)影響；同樣，如果 c12 0，則作用

14、在 zt 上的隨機(jī)沖擊 uzt 也可以對(duì) xt 產(chǎn)生間接的即時(shí)影響。沖擊的交互影響體現(xiàn)了變量作用的雙向和反饋關(guān)系。 23 為了導(dǎo)出VAR模型的簡(jiǎn)化式方程，將上述模型表示為矩陣形式 該模型可以簡(jiǎn)單地表示為 (10.1.9) 假設(shè) C0可逆，可導(dǎo)出簡(jiǎn)化式方程為 其中： ， ， (10.1.10)24 從而可以看到，簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng) t 是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng) ut 的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。因?yàn)?uxt 和 uzt 是不相關(guān)的白噪聲序列，則可以斷定上述 1t 和 2t 也是白噪聲序列，并且均值和方差為 25 同期的 1t 和 2t 之間的協(xié)方差為 從式(10.1.11)可以看出當(dāng) c12 0 或 c2

15、1 0 時(shí)，VAR模型簡(jiǎn)化式中的擾動(dòng)項(xiàng)不再像結(jié)構(gòu)式中那樣不相關(guān)，正如例10.1中的表10.1所顯示的情況。當(dāng) c12 = c21 = 0 時(shí)，即變量之間沒有即時(shí)影響，上述協(xié)方差為0，相當(dāng)于對(duì)C0矩陣施加約束。 (10.1.11)26 2多變量的SVAR模型 下面考慮 k 個(gè)變量的情形，p 階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型SVAR(p)為其中： , , (10.1.13)27 可以將式(10.1.13)寫成滯后算子形式 (10.1.14)其中：C(L) = C0 1L 2L2 pLp ，C(L)是滯后算子L的 kk 的參數(shù)矩陣，C0 Ik。需要注意的是，本書討論的SVAR模型，C0 矩陣均是主對(duì)角線元素為1

16、的矩陣。如果 C0 是一個(gè)下三角矩陣，則SVAR模型稱為遞歸的SVAR模型。 不失一般性，在式(10.1.14)假定結(jié)構(gòu)式誤差項(xiàng)(結(jié)構(gòu)沖擊) ut 的方差-協(xié)方差矩陣標(biāo)準(zhǔn)化為單位矩陣Ik。同樣，如果矩陣多項(xiàng)式C(L)可逆，可以表示出SVAR的無窮階的VMA()形式 其中： ， (10.1.15)28 式(10.1.15)通常稱為經(jīng)濟(jì)模型的最終表達(dá)式，因?yàn)槠渲兴袃?nèi)生變量都表示為ut的分布滯后形式。而且結(jié)構(gòu)沖擊 ut 是不可直接觀測(cè)得到，需要通過 yt 各元素的響應(yīng)才可觀測(cè)到。可以通過估計(jì)式(10.1.5)，轉(zhuǎn)變簡(jiǎn)化式的誤差項(xiàng)得到結(jié)構(gòu)沖擊 ut 。從式(10.1.6)和式(10.1.15)，可以

17、得到 上式對(duì)于任意的 t 都是成立的，稱為典型的SVAR模型。由于 0 = Ik ，可得 或 (10.1.16)(10.1.17)29 (10.1.18) 式(9.1.17)兩端平方取期望，可得 所以我們可以通過對(duì) D0 施加約束來識(shí)別SVAR模型。由式 (10.1.15)，有 更一般的，假定A、B是(kk)階的可逆矩陣，A矩陣左乘式(10.1.5)形式的VAR模型，則得 t = 1，2，T (10.1.19) 如果A 、B滿足下列條件：At = But , E(ut ) = 0k , E(utut) = Ik ，則稱上述模型為AB-型SVAR模型。特別的，在式（10.1.17）的后一個(gè)表達(dá)式

18、中，A = D0-1 , B = Ik 。3010.2 結(jié)構(gòu)VAR(SVAR)模型的識(shí)別條件 前面已經(jīng)提到，在VAR簡(jiǎn)化式中變量間的當(dāng)期關(guān)系沒有直接給出，而是隱藏在誤差項(xiàng)的相關(guān)關(guān)系的結(jié)構(gòu)中。自Sims的研究開始，VAR模型在很多研究領(lǐng)域取得了成功，在一些研究課題中，VAR模型取代了傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，被證實(shí)為實(shí)用且有效的統(tǒng)計(jì)方法。然而，VAR模型存在參數(shù)過多的問題，如式(10.1.1)中，一共有k(kp+d)個(gè)參數(shù)，只有所含經(jīng)濟(jì)變量較少的VAR模型才可以通過OLS和極大似然估計(jì)得到滿意的估計(jì)結(jié)果。 為了解決這一參數(shù)過多的問題，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出了許多方法。這些方法的出發(fā)點(diǎn)都是通過對(duì)參數(shù)空間施加

19、約束條件從而減少所估計(jì)的參數(shù)。SVAR模型就是這些方法中較為成功的一種。 3110.2.1 VAR模型的識(shí)別條件 在經(jīng)濟(jì)模型的結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，經(jīng)常遇到模型的識(shí)別性問題，即能否從簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)式參數(shù)。 對(duì)于 k 元 p 階簡(jiǎn)化VAR模型 利用極大似然方法，需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)為 而對(duì)于相應(yīng)的 k 元 p 階的SVAR模型 來說，需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)為 (10.2.1)(10.2.2)(10.2.3)(10.2.4)32 要想得到結(jié)構(gòu)式模型惟一的估計(jì)參數(shù)，要求識(shí)別的階條件和秩條件，即簡(jiǎn)化式的未知參數(shù)不比結(jié)構(gòu)式的未知參數(shù)多(識(shí)別的階條件和秩條件的詳細(xì)介紹請(qǐng)參見第14章的“14

20、.1.2聯(lián)立方程模型的識(shí)別”)。因此，如果不對(duì)結(jié)構(gòu)式參數(shù)加以限制，將出現(xiàn)模型不可識(shí)別的問題。 對(duì)于k元p階SVAR模型，需要對(duì)結(jié)構(gòu)式施加的限制條件個(gè)數(shù)為式(10.2.4)和式(10.2.2)的差，即施加k(k-1)/2個(gè)限制條件才能估計(jì)出結(jié)構(gòu)式模型的參數(shù)。這些約束條件可以是同期(短期)的，也可以是長(zhǎng)期的。 特別的，對(duì)于式（10.1.19）表示的AB-型的SVAR模型，其滿足E(At t A ) = E(Butut B ) ，進(jìn)而得到 A A = BB 。如果 的形式已知，則A A = BB是對(duì)矩陣A、B的參數(shù)施加了k(k+1)/2個(gè)非線性限制條件，剩下2k2 k (k+1)/2個(gè)自由參數(shù)。 3

21、310.2.2 SVAR模型的約束形式 為了詳細(xì)說明SVAR模型的約束形成，從式(10.1.16)和式(10.1.17)出發(fā)，可以得到 其中(L)、D(L)分別是VAR模型和SVAR模型相應(yīng)的VMA()模型的滯后算子式，這就隱含著因此，只需要對(duì) D0 進(jìn)行約束，就可以識(shí)別整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。由式(10.1.15)知 D0 = C0-1 ，因此如果 C0 或 D0 是已知的，可以通過估計(jì)式(10.1.17) 和式(10.2.6)非常容易的得到滯后多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)系數(shù)和結(jié)構(gòu)新息 ut 。在有關(guān)SVAR模型的文獻(xiàn)中，這些約束通常來自于經(jīng)濟(jì)理論，表示經(jīng)濟(jì)變量和結(jié)構(gòu)沖擊之間有意義的長(zhǎng)期和短期關(guān)系。 (10.2.5

22、), i = 0，1，2， (10.2.6)34 1. 短期約束 短期約束通常直接施加在矩陣 D0 上，表示經(jīng)濟(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)沖擊的同期響應(yīng)，常見的可識(shí)別約束是簡(jiǎn)單的0約束排除方法。 （1）通過Cholesky-分解建立遞歸形式的短期約束 Sims提出使 D0 矩陣的上三角為 0 的約束方法，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)協(xié)方差矩陣 的Cholesky-分解。下面，首先介紹Cholesky-分解的基本思想。 35 Cholesky (喬利斯基)分解 對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱正定矩陣 ，存在惟一一個(gè)主對(duì)角線元素為1的下三角形矩陣 G 和惟一一個(gè)主對(duì)角線元素為正的對(duì)角矩陣 Q 使得： 利用這一矩陣 G 可以構(gòu)造一個(gè) k 維向

23、量 ut ，構(gòu)造方法為 ut =G -1t ，設(shè) 則 由于 Q 是對(duì)角矩陣，可得 ut 的元素互不相關(guān)，其（j, j）元素是 ujt 的方差。令 Q1/2 表示其（j, j）元素為 ujt 標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)角矩陣。注意到式(10.2.7)可寫為 其中P=GQ1/2是一個(gè)下三角矩陣。式(10.2.8)被稱為Cholesky (喬利斯基)分解。 (10.2.7)(10.2.8)36 Sims施加約束的基本過程是： 由于 是正定矩陣，所以可得到Cholesky因子P，即 PP = 。而且，當(dāng)給定矩陣 時(shí)，Cholesky因子P是惟一確定的。 對(duì)于VAR模型 ，其中VWN(0k , )表示均值為0k，協(xié)方差

24、矩陣為 的白噪聲向量，這里 0k 表示 k 維零向量。 上式兩邊都乘以 P1，得到其中：ut =P-1t。由于 所以 ut 是協(xié)方差為單位矩陣的白噪聲向量，即 ut VMN(0k, Ik) 。(10.2.9)(10.2.10)37 在向量 t 中的各元素可能是當(dāng)期相關(guān)的，而向量 ut 中的各元素不存在當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，即這些隨機(jī)擾動(dòng)是相互獨(dú)立的。這些相互獨(dú)立的隨機(jī)擾動(dòng)可以被看作是導(dǎo)致內(nèi)生變量向量 yt 變動(dòng)的最終因素。 由式(10.2.9)還可以得出 其中 , , 很明顯，C0 是下三角矩陣。這意味著變量間的當(dāng)期關(guān)系可以用遞歸的形式表示出來，得到的正交VMA()表示(或Wold表示)形式為 其中：

25、Di = i P ，D0 = P 。注意到 D0 = P ，所以沖擊 ut 對(duì) yt 中的元素的當(dāng)期沖擊效應(yīng)是由Cholesky因子P 決定的。 (10.2.11)(10.2.12)38 更需要注意的是，由于 P 是下三角矩陣，由式(10.2.9)可知，這要求向量 yt 中的 y2t，ykt 的當(dāng)期值對(duì)第一個(gè)分量 y1t 沒有影響，因此Cholesky分解因子 P 的決定和VAR模型中變量的次序有關(guān)，而且在給定變量次序的模型中，Cholesky分解因子矩陣 P 是惟一的。 綜上所述，只要式(10.1.13)中的 C0 是主對(duì)角線元素為 1 的下三角矩陣，則SVAR模型是一種遞歸模型，而且是恰好

26、識(shí)別的。 39 （2）依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論假設(shè)的短期約束 但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只要滿足式(10.1.18)：約束可以施加給 D0 的任何元素。同時(shí)，由式(10.1.15)可知，SVAR模型中的同期表示矩陣 C0 是 D0 的逆，即 D0 = C0-1，因此也可以通過對(duì) C0 施加限制條件實(shí)現(xiàn)短期約束。 對(duì)于 k 個(gè)變量 p 階SVAR模型，需要對(duì)結(jié)構(gòu)式施加 k(k-1)/2個(gè)限制條件才能識(shí)別出結(jié)構(gòu)沖擊。例如對(duì)于稅收(ln(y1t)、政府支出(ln(y2t)和產(chǎn)出(ln(y3t)的三變量SVAR(2)模型來說，由于模型中包含3個(gè)內(nèi)生變量，則k(k-1)/2= 3，因此需要對(duì)模型施

27、加3個(gè)約束條件，才能識(shí)別出結(jié)構(gòu)沖擊。 40 根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論可作出如下的三個(gè)假設(shè)： 實(shí)際GDP不影響同期的政府支出，即C0矩陣中c23= 0。 政府支出不影響同期的稅收，即C0矩陣中c12= 0。 關(guān)于稅收的實(shí)際產(chǎn)出彈性假設(shè)，通過回歸模型得出平均的稅收的產(chǎn)出彈性為1.71，即c13= 1.71。 41 2. 長(zhǎng)期約束 關(guān)于長(zhǎng)期約束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的，是為了識(shí)別模型供給沖擊對(duì)產(chǎn)出的長(zhǎng)期影響。施加在結(jié)構(gòu)VMA()模型的系數(shù)矩陣 Di (i=1，2，)上的約束通常稱為長(zhǎng)期約束。最常見的長(zhǎng)期約束的形式是對(duì) i= 0 Di 的第 i 行第 j 列元素施加約束，典型的

28、是 0 約束形式，表示第 j 個(gè)變量對(duì)第 i 個(gè)變量的累積乘數(shù)影響為 0。 關(guān)于長(zhǎng)期約束更詳細(xì)的說明及其經(jīng)濟(jì)含義可參考10.4節(jié)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。42 在EViews中如何估計(jì)SVAR模型 在VAR估計(jì)窗口中選擇：Procs/Estimate Structural Factorization 即可。下面對(duì)這一操作進(jìn)行詳細(xì)說明： 假設(shè)在EViews中SVAR模型為： 其中 et ，ut 是 k 維向量，et 是簡(jiǎn)化式的殘差，相當(dāng)于前文的t ，而 t 是結(jié)構(gòu)新息(結(jié)構(gòu)式殘差)。A、B是待估計(jì)的k k 矩陣。43例10.2 基于SVAR模型的貨幣政策效應(yīng)的實(shí)證分析 中央銀行通過調(diào)整利率和貨幣供應(yīng)量等貨

29、幣政策工具，來影響投資、社會(huì)需求及總支出，進(jìn)而對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)產(chǎn)生作用。凱恩斯學(xué)派和貨幣主義學(xué)派都承認(rèn)貨幣供應(yīng)量對(duì)經(jīng)濟(jì)有影響，雖然途徑不一樣，但都是誘發(fā)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的主要原因。為了驗(yàn)證利率和貨幣供給的沖擊對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響，例10.1使用了VAR模型，但是其缺點(diǎn)是不能刻畫變量之間的同期相關(guān)關(guān)系，而這種同期相關(guān)關(guān)系隱藏在擾動(dòng)項(xiàng)變動(dòng)中，因此可以通過本節(jié)介紹的SVAR模型來識(shí)別，這就涉及對(duì)模型施加約束的問題。首先，根據(jù)式（10.1.19）建立3變量的SVAR(2)模型，其形式如下：式中yt (rrt, ln(m1t), ln(gdpt)。假定式(10.2.13)是AB-型SVAR模型，則 , t = 1，2，T

30、(10.2.13)44其中A、B參數(shù)矩陣及向量分別為， ， (10.2.14) ,其中t 是VAR模型的擾動(dòng)項(xiàng)，u1t 、u2t 和u3t 分別表示作用在實(shí)際利率rr、ln(m1)和ln(gdp)上的結(jié)構(gòu)式?jīng)_擊，即結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)， ut VMN(0k, Ik)。這里t = A-1ut，因此簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng)t 是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng) ut 的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。45 模型中有3個(gè)內(nèi)生變量，因此至少需要施加 2k2 k (k+1)/2=12 個(gè)約束才能使得SVAR模型滿足可識(shí)別條件。本例中約束B矩陣是對(duì)角矩陣，相當(dāng)于施加了 k2 k 個(gè)約束條件，A矩陣（即C0矩陣）對(duì)角線元素為1，相當(dāng)于施加了 k個(gè)

31、約束條件，因此共施加 k2 9 個(gè)約束條件。根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，本例再施加如下3個(gè)約束條件： (1) 實(shí)際利率對(duì)當(dāng)期貨幣供給量的變化沒有反應(yīng)，即a12=0； (2) 實(shí)際利率對(duì)當(dāng)期GDP的變化沒有反應(yīng)，即a13=0； (3) 當(dāng)期GDP波動(dòng)對(duì)當(dāng)期貨幣供給量M1的變化沒有反應(yīng)，即a32= 0。46 1. 用矩陣模式表示的短期約束 在許多問題中，對(duì)于A、B矩陣的可識(shí)別約束是簡(jiǎn)單的排除0約束。在這種情況下，可以通過創(chuàng)建矩陣指定A、B的約束，矩陣中想估計(jì)的未知元素定義為缺省值NA，在矩陣中所有非缺省的值被固定為某一指定的值。 例如：對(duì)于例10.2，(10.2.14)的簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng)和結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng)的關(guān)系為At=

32、But ，對(duì)于k = 3個(gè)變量的SVAR模型，其矩陣模式可定義為： 47 一旦創(chuàng)建了矩陣，從VAR對(duì)象窗口的菜單中選擇Procs/Estimate Structural Factorization，在下圖所示的SVAR Options的對(duì)話框中，擊中Matrix按鈕和Short-Run Pattern按鈕，并在相應(yīng)的編輯框中填入模版矩陣的名字。 48 2. 用文本形式表示的短期約束 對(duì)于更一般的約束，可用文本形式指定可識(shí)別的約束。在文本形式中，以一系列的方程表示關(guān)系： Aet = Bt 并用特殊的記號(hào)識(shí)別 et 和 t 向量中的每一個(gè)元素。A、B矩陣中被估計(jì)的元素必須是系數(shù)向量中被指定的元素。

33、 例如：對(duì)于有3個(gè)變量的SVAR模型，約束A矩陣為C0矩陣，B矩陣是一對(duì)角矩陣。在這些約束條件下， Aet = t 的關(guān)系式可以寫為下面的形式。 49 為了以文本形式指定這些約束，從VAR對(duì)象窗口選擇Procs/Estimate Structure Factorization，并單擊Text按鈕，在編輯框中，應(yīng)鍵入下面的方程： e1 = u1 e2 = c(1) e1 + u2 + c(4) e3 e3 = c(2) e1 + c(3) e2 + u3 50 特殊的關(guān)鍵符“e1”， “e2”， “e3”分別代表et (即t)向量中的第一、第二、第三個(gè)元素，而“u1”， “u2”， “u3”分別

34、代表 ut 向量中的第一、第二、第三個(gè)元素。在這個(gè)例子中，A、B矩陣中的未知元素以系數(shù)向量 c 中的元素來代替。并且對(duì)A、B矩陣的約束不必是下三角形式，可以依據(jù)具體的經(jīng)濟(jì)理論來建立約束。51 4. A、B矩陣的估計(jì) 一旦提供了上述所描述的任何一種形式的可識(shí)別約束，單擊SVAR Options對(duì)話框的OK按鈕，就可以估計(jì)A、B矩陣。為了使用脈沖響應(yīng)和方差分解的結(jié)構(gòu)選項(xiàng)，必須先估計(jì)這兩個(gè)矩陣。 假定擾動(dòng)項(xiàng)是多元正態(tài)的，EViews使用極大似然估計(jì)法估計(jì)A、B矩陣。使用不受限制的參數(shù)代替受限制的參數(shù)計(jì)算似然值。對(duì)數(shù)似然值通過得分方法最大化，在這兒梯度和期望信息矩陣使用解析法計(jì)算。 52 最優(yōu)化控制(

35、Optimization Control) 最優(yōu)化過程控制的選項(xiàng)在SVAR Options對(duì)話框的Optimization Control欄下提供?？梢灾付ǔ跏贾怠⒌淖畲髷?shù)和收斂標(biāo)準(zhǔn)。53 估計(jì)的輸出 一旦估計(jì)收斂，EViews會(huì)在VAR對(duì)象窗口中顯示估計(jì)的結(jié)果，包括：估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和被估計(jì)無約束參數(shù)的Z統(tǒng)計(jì)量及對(duì)數(shù)似然的最大值。54 在模型(10.2.13)滿足可識(shí)別條件的情況下，我們可以使用完全信息極大似然方法（FIML）估計(jì)得到SVAR模型的所有未知參數(shù)，從而可得矩陣A及t 和 ut的線性組合的估計(jì)結(jié)果如下（設(shè)VAR模型的估計(jì)殘差=et）：或者可以表示為 本章將在例10.5中，利用

36、脈沖響應(yīng)函數(shù)討論實(shí)際利率和貨幣供給量的變動(dòng)對(duì)產(chǎn)出的影響。 55 無論建立什么模型，都要對(duì)其進(jìn)行識(shí)別和檢驗(yàn)，以判別其是否符合模型最初的假定和經(jīng)濟(jì)意義。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹關(guān)于VAR模型的各種檢驗(yàn)。這些檢驗(yàn)對(duì)于后面將要介紹的向量誤差修正模型（VEC）也適用。 10.3.1 Granger因果檢驗(yàn) VAR模型的另一個(gè)重要的應(yīng)用是分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列變量之間的因果關(guān)系。本節(jié)討論由Granger(1969) 提出，Sims(1972) 推廣的如何檢驗(yàn)變量之間因果關(guān)系的方法。 10.3 VAR模型的檢驗(yàn) 56 1. Granger因果關(guān)系的定義 Granger解決了 x 是否引起 y 的問題，主要看現(xiàn)在的 y能夠在多

37、大程度上被過去的 x 解釋，加入 x 的滯后值是否使解釋程度提高。如果 x 在 y 的預(yù)測(cè)中有幫助，或者 x 與 y 的相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上顯著時(shí)，就可以說“ y 是由 x Granger引起的”。 考慮對(duì) yt 進(jìn)行 s 期預(yù)測(cè)的均方誤差（MSE）： (10.3.1)57 這樣可以更正式地用如下的數(shù)學(xué)語言來描述。 Granger因果定義：如果關(guān)于所有的s0，基于(yt，yt-1，)預(yù)測(cè) yt+s 得到的均方誤差，與基于(yt，yt-1，)和(xt，xt-1，)兩者得到的 yt+s 的均方誤差相同，則 y 不是由 x Granger引起的。對(duì)于線性函數(shù)，若有 可以得出結(jié)論：x 不能Granger引

38、起 y。等價(jià)的，如果(10.3.2)式成立，則稱 x 對(duì)于 y 是外生的。這個(gè)意思相同的第三種表達(dá)方式是 x 關(guān)于未來的 y 無線性影響信息。 (10.3.2)58 注意到“x Granger引起y”這種表達(dá)方式并不意味著 y 是 x 的效果或結(jié)果。Granger因果檢驗(yàn)度量對(duì) y 進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí) x 的前期信息對(duì)均方誤差MSE的減少是否有貢獻(xiàn)，并以此作為因果關(guān)系的判斷基準(zhǔn)。用和不用 x 的前期信息相比，MSE無變化，稱 x 在Granger意義下對(duì) y 無因果關(guān)系，反之，當(dāng) x 的前期信息對(duì)MSE的減少有貢獻(xiàn)時(shí)，稱 x 在Granger意義下對(duì) y 有因果關(guān)系。 可以將上述結(jié)果推廣到 k 個(gè)變量

39、的VAR(p)模型中去，考慮對(duì)模型(10.1.5)，利用從 (t-1) 至 (t-p) 期的所有信息，得到 yt 的最優(yōu)預(yù)測(cè)如下： (10.3.3) VAR(p)模型中Granger因果關(guān)系如同兩變量的情形，可以判斷是否存在過去的影響。 59 作為兩變量情形的推廣，對(duì)多個(gè)變量的組合給出如下的系數(shù)約束條件：在多變量VAR(p)模型中不存在 yjt 到 yit 的Granger意義下的因果關(guān)系的必要條件是 (10.3.4)其中 是 的第 i 行第 j 列的元素。 2. Granger因果關(guān)系檢驗(yàn) Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)一個(gè)變量的滯后變量是否可以引入到其他變量方程中。一個(gè)變量如果受到

40、其他變量的滯后影響，則稱它們具有Granger因果關(guān)系。 60 在一個(gè)二元p階的VAR模型中 (10.3.5) 當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù) 全部為0時(shí)，變量 x 不能Granger引起 y，等價(jià)于變量 x 外生于變量 y。 這時(shí)，判斷Granger原因的直接方法是利用F-檢驗(yàn)來檢驗(yàn)下述聯(lián)合檢驗(yàn)： H0 : H1 : 至少存在一個(gè) q 使得 61 其統(tǒng)計(jì)量為 如果S1大于F的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則不拒絕原假設(shè)：x 不能Granger引起 y。其中：RSS1是式(10.3.5)中 y 方程的殘差平方和： (10.3.6)(10.3.7)RSS0是不含 x 的滯后變量， 即如下方程的殘差平方和：

41、(10.3.8)則有 (10.3.9)62 在滿足高斯分布的假定下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量式(10.3.6)具有精確的F分布。如果回歸模型形式是如式(10.3.5)的VAR模型，一個(gè)漸近等價(jià)檢驗(yàn)可由下式給出： (10.3.10) 注意，S2 服從自由度為 p 的2分布。如果S2大于2 的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則不拒絕原假設(shè)：x不能Granger引起 y。 而且Granger因果檢驗(yàn)的任何一種檢驗(yàn)結(jié)果都和滯后長(zhǎng)度 p 的選擇有關(guān)。 63 在EViews中Granger 因果檢驗(yàn)的操作 選擇View/Lag Structure/Pairwise Granger Causality Tests，即可進(jìn)行Gra

42、nger因果檢驗(yàn)。 64 輸出結(jié)果對(duì)于VAR模型中的每一個(gè)方程，將輸出每一個(gè)其他內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)(不包括它本身的滯后項(xiàng))聯(lián)合顯著的2(Wald)統(tǒng)計(jì)量，在表的最后一行(ALL)列出了檢驗(yàn)所有滯后內(nèi)生變量聯(lián)合顯著的2統(tǒng)計(jì)量。對(duì)例10.1進(jìn)行檢驗(yàn)，其結(jié)果如右表顯示： 65 同時(shí)在組(Group)的View菜單里也可以實(shí)現(xiàn)Granger因果檢驗(yàn)，但是需要先確定滯后階數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造可依據(jù)10.3節(jié)的介紹，將例10.1的3個(gè)時(shí)間序列構(gòu)造成組，在組中進(jìn)行檢驗(yàn)可得如下結(jié)果： 為了使兩個(gè)結(jié)果具有可比性，選擇了相同的滯后階數(shù)。兩個(gè)輸出結(jié)果的形式和統(tǒng)計(jì)量都不一樣，在VAR中用的是 2 統(tǒng)計(jì)量，而在Group

43、中使用的是 F 統(tǒng)計(jì)量。但是含義是一樣的。 66 例10.3 Granger因果檢驗(yàn) 早期研究發(fā)現(xiàn)，在產(chǎn)出和貨幣的單方程中，貨幣對(duì)于產(chǎn)出具有顯著Granger影響(Granger，1969)，這同F(xiàn)riedman等人(1963)“實(shí)際產(chǎn)出和貨幣供給當(dāng)中的擾動(dòng)成分正相關(guān)”的結(jié)論相符。但是，Sims(1980)對(duì)于“貨幣沖擊能夠產(chǎn)生實(shí)際效果”的觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑，他通過使用變量之間的因果關(guān)系檢驗(yàn)，得到的主要結(jié)論是：如果在實(shí)際產(chǎn)出和貨幣的關(guān)系方程當(dāng)中引入利率變量，那么貨幣供給對(duì)實(shí)際產(chǎn)出的作用程度將出現(xiàn)顯著降低。因此，動(dòng)態(tài)的利率變量將比貨幣存量具有更強(qiáng)的解釋產(chǎn)出變化的能力，這樣的結(jié)論同凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)中的LM

44、曲線機(jī)制更為接近。 67 根據(jù)實(shí)際情況，利用例10.1的數(shù)據(jù)，基于VAR(3) 模型檢驗(yàn)實(shí)際利率RR、實(shí)際貨幣供給M1和實(shí)際GDP之間是否有顯著的Granger關(guān)系，其結(jié)果如表10.3.1所示。 原假設(shè)2統(tǒng)計(jì)量自由度P值rr方程實(shí)際M1不能Granger引起實(shí)際利率1.49 20.4741實(shí)際GDP不能Granger引起實(shí)際利率2.5420.2808 實(shí)際M1、實(shí)際GDP不能同時(shí)Granger引起實(shí)際利率3.03 40.5527 ln(m1)方程實(shí)際利率不能Granger引起實(shí)際M14.7220.0944 實(shí)際GDP不能Granger引起實(shí)際M13.5220.1724 實(shí)際利率、實(shí)際GDP不能

45、同時(shí)Granger引起實(shí)際M18.2740.0821 ln(gdp)方程實(shí)際利率不能Granger引起實(shí)際GDP9.52 20.0086實(shí)際M1不能Granger引起實(shí)際GDP0.02 20.9892 實(shí)際利率、實(shí)際M1不能同時(shí)Granger引起實(shí)際GDP12.39 40.0147 68 從表10.3.1的結(jié)果可以看到： 在實(shí)際利率方程中，不能拒絕實(shí)際M1、實(shí)際GDP不是實(shí)際利率的Granger原因的原假設(shè)，而且兩者的聯(lián)合檢驗(yàn)也不能拒絕原假設(shè)，表明實(shí)際利率外生于系統(tǒng)，這與我國(guó)實(shí)行固定利率制度是相吻合的； 在實(shí)際M1的方程中，無論實(shí)際利率的Granger因果檢驗(yàn)，還是聯(lián)合檢驗(yàn)在10%的顯著性水平

46、下都拒絕原假設(shè)，說明實(shí)際利率在Granger意義下影響實(shí)際M1； 在第三個(gè)方程(即實(shí)際GDP方程)中，實(shí)際利率在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，說明實(shí)際利率對(duì)于產(chǎn)出具有顯著Granger影響; 而實(shí)際M1外生于實(shí)際GDP的概率為0.9892，這可能是因?yàn)槲覈?guó)內(nèi)需不足，大部分商品處于供大于求，因此當(dāng)對(duì)貨幣的需求擴(kuò)張時(shí)，會(huì)由于價(jià)格調(diào)整而抵消，并不會(huì)形成對(duì)貨幣供給的數(shù)量調(diào)整，因此對(duì)產(chǎn)出沒有影響。69 VAR模型中一個(gè)重要的問題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù) p 時(shí)，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動(dòng)態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計(jì)的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。

47、所以通常進(jìn)行選擇時(shí)，需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)目的滯后項(xiàng)，又要有足夠數(shù)目的自由度。事實(shí)上，這是VAR模型的一個(gè)缺陷，在實(shí)際中常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項(xiàng)的數(shù)目，使它少于反映模型動(dòng)態(tài)特征性所應(yīng)有的理想數(shù)目。 10.3.2 滯后階數(shù) p 的確定 70 1. 確定滯后階數(shù)的LR(似然比)檢驗(yàn) (10.3.11) LR (Likelihood Ratio) 檢驗(yàn)方法，從最大的滯后階數(shù)開始，檢驗(yàn)原假設(shè)：在滯后階數(shù)為 j 時(shí)，系數(shù)矩陣 j 的元素均為0；備擇假設(shè)為：系數(shù)矩陣 j 中至少有一個(gè)元素顯著不為0。2 (Wald)統(tǒng)計(jì)量如下： 其中 m 是可選擇的其中一個(gè)方程中的參數(shù)個(gè)數(shù)：m = d + k j

48、，d 是外生變量的個(gè)數(shù)，k 是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)， 和 分別表示滯后階數(shù)為 ( j 1) 和 j 的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計(jì)。 從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計(jì)量和5%水平下的臨界值，如果LR 時(shí)，拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計(jì)量顯著，此時(shí)表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計(jì)值；否則，不拒絕原假設(shè)。每次減少一個(gè)滯后階數(shù)，直到不拒絕原假設(shè)。71其中在VAR模型(10.1.1)中 n = k(d + pk) 是被估計(jì)的參數(shù)的總數(shù)，k 是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，T 是樣本長(zhǎng)度，d 是外生變量的個(gè)數(shù)，p 是滯后階數(shù)，l 是由下式確定的 (10.3.12)(10.3.13)(10.3.14) 2AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)

49、則 實(shí)際研究中，大家比較常用的方法還有AIC信息準(zhǔn)則和SC信息準(zhǔn)則，其計(jì)算方法可由下式給出： 72 在EViews軟件中滯后階數(shù)p的確定 一旦完成VAR模型的估計(jì)，在窗口中選擇View/Lag Structure/Lag Length Criteria， 需要指定較大的滯后階數(shù)，表中將顯示出直至最大滯后數(shù)的各種信息標(biāo)準(zhǔn)（如果在VAR模型中沒有外生變量，滯后從1開始，否則從0開始）。表中用“*”表示從每一列標(biāo)準(zhǔn)中選的滯后數(shù)。在47列中，是在標(biāo)準(zhǔn)值最小的情況下所選的滯后數(shù)。 為了確定例10.1中模型的合適滯后長(zhǎng)度 p，默認(rèn)的滯后階數(shù)為 4，得到如下的結(jié)果： 73滯后長(zhǎng)度 p = 4：滯后長(zhǎng)度 p

50、= 2：74 在EViews軟件關(guān)于VAR模型的其他檢驗(yàn) 一旦完成VAR模型的估計(jì)，EViews會(huì)提供關(guān)于被估計(jì)的VAR模型的各種視圖。將主要介紹View/Lag Structure和View/Residual Tests菜單下 提供的檢驗(yàn) 。75 1. AR根的圖表 如果被估計(jì)的VAR模型所有根的模的倒數(shù)小于1，即位于單位圓內(nèi)，則其是穩(wěn)定的。如果模型不穩(wěn)定，某些結(jié)果將不是有效的（如脈沖響應(yīng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差）。共有 k p 個(gè)根，其中 k 是內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，p 是最大滯后階數(shù)。如果估計(jì)一個(gè)有 r 個(gè)協(xié)整關(guān)系的VEC模型，則應(yīng)有 k r 個(gè)根等于1。 對(duì)于例10.1，可以得到如下的結(jié)果： 所有的單

51、位根的模大于1，因此例10.1的模型滿足穩(wěn)定性條件。76下面給出單位根的圖形表示的結(jié)果： 77 2VAR殘差檢驗(yàn) (1) 相關(guān)圖(Correlogram) 顯示VAR模型在指定的滯后階數(shù)的條件下得到的殘差的交叉相關(guān)圖（樣本自相關(guān)）。 (2) 混合的自相關(guān)檢驗(yàn)(Portmanteau Autocorrelation Test) 計(jì)算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量Box-Pierce/Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量。 (3)自相關(guān)LM檢驗(yàn)(Autocorrelation LM Test) 計(jì)算與直到指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 (4) 正態(tài)性檢驗(yàn)(Normality

52、Test) (5) White異方差檢驗(yàn) (White Heteroskedasticity Test) 78 在實(shí)際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，因此在分析VAR模型時(shí)，往往不分析一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量的影響如何，而是分析當(dāng)一個(gè)誤差項(xiàng)發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時(shí)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法(impulse response function，IRF)。10.4 脈沖響應(yīng)函數(shù) 79 用時(shí)間序列模型來分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾動(dòng)項(xiàng)的影響是如何傳播到各變量的。下面先根據(jù)兩變量的VAR(2)模型來說明脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。 10.4.1 脈沖響應(yīng)

53、函數(shù)的基本思想 (10.4.1)其中，ai，bi，ci，di 是參數(shù)，t = ( 1t , 2t ) 是擾動(dòng)項(xiàng)，假定是具有下面這樣性質(zhì)的白噪聲向量： (10.4.2)80 下面討論 xt 與 zt 的響應(yīng)，t = 0 時(shí)： 將其結(jié)果代入式(10.4.1) ，當(dāng)t = 1時(shí) 再把此結(jié)果代入式(10.4.1) ，當(dāng)t =2時(shí) 繼續(xù)這樣計(jì)算下去，設(shè)求得結(jié)果為稱為由 x 的脈沖引起的 x 的響應(yīng)函數(shù)。同時(shí)所求得 假定上述系統(tǒng)從 0 期開始活動(dòng)，且設(shè) x-1= x-2= z-1= z-2= 0，又設(shè)于第 0 期給定了擾動(dòng)項(xiàng) 10 =1，20 = 0，并且其后均為 0，即 1t = 2t = 0 (t 1

54、，2，)，稱此為第 0 期給 x 以脈沖。81稱為由 x 的脈沖引起的 z 的響應(yīng)函數(shù)。 當(dāng)然，第0期的脈沖反過來，從 10 =0，20 =1 出發(fā)，可以求出由 z 的脈沖引起的 x 的響應(yīng)函數(shù)和 z 的響應(yīng)函數(shù)。因?yàn)橐陨线@樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)明顯地捕捉對(duì)沖擊的效果，所以同用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的沖擊乘數(shù)分析是類似的。 82 將上述討論推廣到多變量的VAR(p)模型上去，由式(10.1.5)可得 10.4.2 VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù) (10.4.3) VMA()表達(dá)式的系數(shù)可按下面的方式給出，由于VAR(p)的系數(shù)矩陣 i 和VMA()的系數(shù)矩陣 i 必須滿足下面關(guān)系： 83(10.4.4)(10.4

55、.5)其中：K1 = K2 = = 0。關(guān)于Kq的條件遞歸定義了MA系數(shù)：若 (10.4.6) 考慮VMA()的表達(dá)式 yt 的第 i 個(gè)變量 yit 可以寫成：其中 k 是變量個(gè)數(shù)。 (10.4.7)(10.4.8)84 僅考慮兩個(gè)變量的情形： ， q =0 , 1 , 2 ,， i , j = 1 , 2 現(xiàn)在假定在基期給 y1 一個(gè)單位的脈沖，即： (10.4.9)2 1 0 1 2 3 4 5 t85則由 y1 的脈沖引起的 y2 的響應(yīng)函數(shù)為 因此，一般地，由 yj 的脈沖引起的 yi 的響應(yīng)函數(shù)可以求出如下： 且由 yj 的脈沖引起的 yi 的累積(accumulate)響應(yīng)函數(shù)可

56、表示為 q 的第 i 行、第 j 列元素還可以表示為 ：作為 q 的函數(shù)，它描述了在時(shí)期 t，其他變量和早期變量不變的情況下 yi,t+q 對(duì) yjt 的一個(gè)沖擊的反應(yīng) ( 對(duì)應(yīng)于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的乘數(shù)效應(yīng) )，我們把它稱作脈沖 - 響應(yīng)函數(shù)。 (10.4.10)86 也可以用矩陣的形式表示為 (10.4.11)即 q 的第 i 行第 j 列元素等于時(shí)期 t 第 j 個(gè)變量的擾動(dòng)項(xiàng)增加一個(gè)單位，而其他時(shí)期的擾動(dòng)為常數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)期 t+q 的第 i 個(gè)變量值的影響。 一般地，如果沖擊不是一個(gè)單位，假定 t 的第一個(gè)元素變化1，第二個(gè)元素變化2，第 k 個(gè)元素變化k，則時(shí)期 t 沖擊為 ( 1, 2, k)

57、 ，而 t 到 t+q 的其他時(shí)期沒有沖擊，向量yt+q的響應(yīng)表示為 q = 0，1， (10.4.12)其中t-1表示 t -1 期的信息集合。但是對(duì)于上述脈沖響應(yīng)函數(shù)的結(jié)果的解釋卻存在一個(gè)問題：前面我們假設(shè)協(xié)方差矩陣 是非對(duì)角矩陣，這意味著擾動(dòng)項(xiàng)向量t 中的其他元素隨著第 j個(gè)元素jt 的變化而變化，這與計(jì)算脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)假定 jt 變化，而t 中其他元素不變化相矛盾。這就需要利用一個(gè)正交化的脈沖響應(yīng)函數(shù)來解決這個(gè)問題。87 常用的正交化方法是Cholesky分解，由式（10.2.12）和式（10.4.11）可知，在時(shí)期 t，其他變量和早期變量不變的情況下 yt+q 對(duì) yjt 的一個(gè)單位

58、沖擊的反應(yīng)為 (10.4.13)其中 Pj 表示式(10.2.8)中Cholesky分解得到的 P 矩陣的第 j 列元素。由前面的討論可知矩陣 P 的選擇與變量次序有關(guān)。8810.4.3 廣義脈沖響應(yīng)函數(shù) VAR模型的動(dòng)態(tài)分析一般采用“正交”脈沖響應(yīng)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，而正交化通常采用式（10.4.13）形式的Cholesky分解完成，但是Cholesky分解的結(jié)果嚴(yán)格的依賴于模型中變量的次序。本節(jié)介紹的由Koop等（1996）年提出的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)克服了上述缺點(diǎn)。 考慮式(10.4.3)形式的VAR模型，其中擾動(dòng)項(xiàng)滿足式(10.4.2)的假定，且其方差協(xié)方差矩陣 是正定矩陣，擾動(dòng)項(xiàng)之間可以存在同期

59、相關(guān)關(guān)系，即 不一定是對(duì)角矩陣。 89 在式（10.4.12）中假定沖擊不是發(fā)生在所有的變量上，只是發(fā)生在第 j 個(gè)變量上，則有(10.4.14) q = 0，1， 其中t-1表示t-1期的信息集合。由于 不是對(duì)角矩陣，意味著t各元素之間存在同期相關(guān)關(guān)系，則給 jt 一個(gè)沖擊，t 中的其它元素同期也會(huì)發(fā)生變化，因此，為了得到式（10.4.14）的結(jié)果，需要首先計(jì)算由于 jt 的變化而引起的 t 中其他元素同期發(fā)生的變化，此時(shí) E(t |jt j ) ，假定 t 服從多元正態(tài)分布，則 (10.4.15)其中 jj E(jt2) ，j E(t jt) 表示 t 協(xié)方差矩陣 的第 j 列元素， 90

60、 變量 j 的沖擊引起的向量 yt+q 的響應(yīng)為： (10.4.16)若設(shè) (10.4.17)則響應(yīng)的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)為 (10.4.18) 當(dāng)協(xié)方差矩陣 是對(duì)角矩陣時(shí)，正交脈沖與廣義脈沖的結(jié)果是一致的。當(dāng)協(xié)方差矩陣 是非對(duì)角矩陣時(shí)，Cholesky正交脈沖與廣義脈沖只在 j =1 時(shí)相等 。91 本例選擇鋼鐵行業(yè)及其主要的下游行業(yè)的銷售收入數(shù)據(jù)做為各行業(yè)的需求變量，利用脈沖響應(yīng)函數(shù)分析各下游行業(yè)自身需求的變動(dòng)對(duì)鋼鐵行業(yè)需求的影響。 分別用 y1 表示鋼材銷售收入；y2 表示建材銷售收入 y3 表示汽車銷售收入；y4 表示機(jī)械銷售收入；y5 表示家電銷售收入。樣本區(qū)間為1999年1月2002年