相似三角形壓軸題精選

1、相似三角形壓軸題精選（中位線與位似）一.選擇題（共9小題） TOC o 1-5 h z （2014?漳州模擬）4ABC的三邊長分別為a、b、c,三條中位線組成第一個(gè)中點(diǎn)三角形，第一個(gè)中點(diǎn)三角形的 三條中位線又組成第二個(gè)中點(diǎn)三角形，以此類推，求第2009中點(diǎn)三角形的周長為（）ABCD02008TscSF用io. latbe HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 金上22009（2013?鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2- 8x+15=0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長可能是（）A . 5.5B. 5C. 4.5D . 4

2、）如圖，AB /CD, E, F分別為AC, BD的中點(diǎn)，若 AB=5 , CD=3 ,貝U EF的長是（3. (2012?B . 3B第4題C. 2（2012?煙臺）如圖是蹺蹺板示意圖，橫板 AB繞中點(diǎn)。上下轉(zhuǎn)動，立柱 OC與地面垂直，設(shè) B點(diǎn)的最大高度為 h1.若將橫板AB換成木It板AB,且AB=2AB ,。仍為AB的中點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)的最大高度為h2,則下列結(jié)論正確的A . h2=2h1B.h2=1.5h1C.h2=h1h2=-h12（2011?太原）如圖，4ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊 AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形 DEFG是正方形.若 DE=2cm ,則AC的長

3、為（打“cmCvcmD.A/第6題7.（銅仁地區(qū)）如圖,E CB DC. 2cm( )B. 32C. 18（錦州）如圖所示，在 4ABC中，AB=AC , M , N分別是AB , AC的中點(diǎn)，D, E為BC上的點(diǎn)，連接 DN、EM ,若AB=5cm , BC=8cm , DE=4cm ,則圖中陰影部分的面積為（2B. 1.5cm第7題M是4ABC 的邊BC的中點(diǎn)，AN平分/ BAC ,且BNXAN ,垂足為 N ,且AB=6 , BC=10 ,MN=1.5 ,貝U AABC的周長是A . 28（2011?江津區(qū)）如圖，四邊形 ABCD中，AC=a, BD=b ,且AC，BD,順次連接四邊形

4、ABCD各邊中點(diǎn)，得 到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形 A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形 A2B2c2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊 形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有（）四邊形A2B2c2D2是矩形；四邊形A4B4c4D4是菱形； 四邊形A5B5c5D5的周長是總墳 四邊形AnBnCnDn的面積是一三.42aHiA.B.C.D .管I一第9題（2013?青島）如圖，ABO縮小后變?yōu)?ABO,其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A、B點(diǎn)A、B、A、B均在圖中 在格點(diǎn)上.若線段 AB上有一點(diǎn)P （m, n）,則點(diǎn)P在A B 上的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）B.(m, n)二.填空題（共9小題）ECC

5、.工)2第10題10. （2013?鞍山）如圖,第11題D 是 4ABC 內(nèi)一點(diǎn)，BDXCD, AD=6 ,第12題BD=4 , CD=3, E、F、G、H 分別是 AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形11 . （2013?烏魯木齊）如圖, 為.（2012?棗莊）如圖所示, 長為.（2012?鐵嶺）如圖，點(diǎn)EFGH的周長是. ABC中，AD是中線，AE是角平分線,CFXAE 于 F, AB=5 , AC=2 ,則 DF 的長DE為AABC的中位線，點(diǎn) F在DE上，且/ AFB=90 ,若AB=5 , BC=8 ,貝U EF的E、F、G、H分別為菱形 AlBlClDl各邊的中點(diǎn)，連接 AiF、

6、BlG、ClH、DlE得四邊形A2B2C2D2,以此類推得四邊形 A3B3c3D3，若菱形A1B1C1D1的面積為S,則四邊形AnBnCnDn的面積為G5HEBi第13題C114. （2012?惠安縣質(zhì)檢）如圖， 4ABC的面積為1 ,分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)A1、B1,則四邊形A1ABB1的面3 ._.一，積為:，再分別取 A1C、B1C的中點(diǎn)A2、B2, A2C、B2c的中點(diǎn)A3、B3,依次取下去 ，則:4（1）線段AB與A4B4的數(shù)量關(guān)系是（2）四邊形A 5A4B4B5的面積為 （2010?翔安區(qū)模擬）如圖，DE是4ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長線交 AB于N,那么Sadm

7、n ：S四邊形ANME =.2A DBC A C PD B B G第15題第16題第17題（2012?張家界）已知線段 AB=6 , C、D是AB上兩點(diǎn)，且 AC=DB=1 , P是線段CD上一動點(diǎn)，在 AB同側(cè)分 別作等邊三角形 APE和等邊三角形PBF, G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動的路徑長度 為.（2012?咸寧）如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, /C=90, BE平分/ ABC且交CD于E, E為CD的中點(diǎn)， EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G,當(dāng)AD=2 , BC=12時(shí)，四邊形 BGEF的周長為 .（2014?槐蔭區(qū)二模）正方形 AB

8、CD與正方形OEFG中，點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為（-3, 2）和（1, - 1）,則 這兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)為 .EZF三.解答題（共6小題）（2013?常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtA ABC , RtACEF, Z ABC= Z CEF=90 ,連接 AF , M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.（1）如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上日求證： MB / CF;（2）如圖 1,若 CB=a, CE=2a,求 BM , ME 的長；（3）如圖2,當(dāng)/ BCE=45時(shí)，求證:BM=ME .（2011?岳池縣模擬）如圖所示，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD 6的網(wǎng)格，請你分別在圖，

9、，的網(wǎng)格中只用直尺各畫一個(gè)三角形.要求：(1)都與圖中的三角形相似，但四個(gè)三角形任何兩個(gè)都不全等.(2)三角形頂點(diǎn)都是網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn).相似三角形壓軸題精選(圖形變換).選擇題(共8小題)1. (2012?莆田)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (1, 1), B (- 1, 1) , C (- 1, - 2) , D (1, - 2).把一條長為2012個(gè)單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計(jì))的一端固定在點(diǎn)A處，并按A- B-C-D-A -的規(guī)律緊繞在四邊形 ABCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A . (1, T)B, (T, 1)C. (T, 2)D, (1, 2)第

10、1題第2題第3題2. (2010?武漢)如圖，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行.從內(nèi)到外，它們的邊長依次為2, 4, 6, 8, , ,頂點(diǎn)依次用 A1, A2, A3, A4, ,表小，則頂點(diǎn) A55的坐標(biāo)是()A . (13, 13)B. ( - 13, - 13)C. (14, 14)D. ( T4, - 14)3. (2013?德州)如圖，動點(diǎn) P從(0, 3)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為()A . (1, 4)B, (5, 0)C. (6, 4)D, (8, 3)4. (20

11、12?深圳)已知點(diǎn)P (a+1, 2a- 3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是()A . (a - 1B.-1a32C.-a12D.、3a :5. (2009?黃埔區(qū)一模)如圖，若 ABC與4ABC關(guān)于直線AB對稱，則點(diǎn)C的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A . (0, T)5B. (0, - 3)C. (3, 0)D. (2, 1) TOC o 1-5 h z （2013西河州）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1, - 2）,則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A . （T, 2）B, （1, -2）C. （1, 2）D, （2, 1）（2013??？悼h模擬）已知點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是

12、P1,點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)是P2,點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（3, 4）, 則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A . （3, 4）B. （-3, 4）C. （3, -4）D. （-3, -4）（2014?江西樣卷）如圖，把圖中的 ABC經(jīng)過一定的變換得到 ABC,如果圖中4ABC上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a, b）,那么它的對應(yīng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（）A. (a-2, b)B. (a+2, b)二.填空題(共6小題)(一a 2, b)(a+2, b)9. （2013?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右,1), A3 (1, 0), A4 (2, 0),向下，向右的方向不斷地移那么點(diǎn) A4n+1 （n為

13、自然數(shù)）的坐標(biāo)為（用n表不）.0動，每次移動一個(gè)單位，得到點(diǎn) A1 （0, 1）, A2 （1,10. （2013?蘭州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A （- 3, 0）、B （0, 4）,對4OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到11. （2008?達(dá)州）已知P1點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2 （3- 2a, 2a-5）是第三象限內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，稱為整點(diǎn)），則Pi點(diǎn)的坐標(biāo)是 12. （2012?婁底）如圖，A、B的坐標(biāo)分別為（ 為（2, a）、（b, 3）,貝U a+b=.1, 0）、（0, 2）,若將線段 AB平移到至A1B1, Ai、Bi的坐標(biāo)分別613. （2012?鐵嶺）如圖，在

14、平面直角坐標(biāo)系中， ABC經(jīng)過平移后點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) A ；則平移后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B 的坐標(biāo)為則點(diǎn)B的坐標(biāo)是與x軸、y軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，把4AOB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90后得到AO B參考答案與試題解析.選擇題（共9小題）（2014?漳州模擬）4ABC的三邊長分別為a、b、c,三條中位線組成第一個(gè)中點(diǎn)三角形，第一個(gè)中點(diǎn)三角形的B.c.產(chǎn)io TOC o 1-5 h z 三條中位線又組成第二個(gè)中點(diǎn)三角形，以此類推，求第 2009中點(diǎn)三角形的周長為（）D 二一一.產(chǎn)09解：根據(jù)中位線定理，第一個(gè)中點(diǎn)三角形的周長是原三角形的工；2第二個(gè)中點(diǎn)三角形的周長是第一個(gè)中點(diǎn)三角形的工；2第三個(gè)中點(diǎn)三角形的周長是第

15、二個(gè)中點(diǎn)三角形的2于是，第2009中點(diǎn)三角形的周長為（工也xlxlx工）（a+b+c）=需.99999n2009點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角形的中位線定理，證得中點(diǎn)三角形的周長是原三角形周長的一半以及找到各中點(diǎn)三角 形之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.（2013?鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2- 8x+15=0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長可能是（）A . 5.5B. 5C. 4.5D . 4解：解方程 x2-8x+15=0 得：x1=3, x2=5,則第三邊c的范圍是：2vcv 8.則三角形的周長l的范圍是：10V1V16,，連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的

16、周長m的范圍是：5mADHB的中位線，ef=1bh ,2BH=AB AH=AB DC=2 ,EF=1 .故選D.三角形的中位線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接 DE和AB相交構(gòu)點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、 造全等三角形，題目設(shè)計(jì)新穎.（2012?煙臺）如圖是蹺蹺板示意圖，橫板 AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動，立柱 OC與地面垂直，設(shè) B點(diǎn)的最大高度為 hi.若將橫板AB換成木It板AB,且A B =2AB , O仍為AB的中點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)的最大高度為h2,則下列結(jié)論正確的 是（）CA . h2=2hiB. h2=1.5hiC. h2=hiD . ,1,h2=hi2考點(diǎn)：三角形中位線定理.專題：壓軸

17、題；探究型.分析：直接根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行解答即可.解答：解：如圖所示：. O 為 AB 的中點(diǎn)，OCAD, BD XAD ,OC / BD ,OC是4ABD的中位線，hi=2OC,同理，當(dāng)將橫板AB換成木It板A B 且A B =2AB , O仍為AB 的中點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)的最大高度為h2,則h2=2OC , hi=h2.故選C.點(diǎn)評：本題考查的是三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.（2011?太原）如圖，4ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊 AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形 DEFG 是正方形.若 DE=2cm ,則AC的長為（）B G F

18、CA . 3V3cmB. 4cmC. 2V3cmD . 25cm考點(diǎn)：三角形中位線定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專題：計(jì)算題；壓軸題.分析： 根據(jù)三角形的中位線定理可得出BC=4,由AB=AC ,可證明BG=CF=1 ,由勾股定理求出 CE,即可得出AC的長.解答：解：二點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，DE=-BC,2DE=2cm ,BC=4cm , AB=AC ,四邊形 DEFG是正方形. . BDGA CEF,BG=CF=1 ,ec=V5,AC=2 V5cm.故選D.點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單.（20

19、09?錦州）如圖所示，在 4ABC中，AB=AC , M, N分別是AB , AC的中點(diǎn)，D, E為BC上的點(diǎn)，連接 DN、EM ,若AB=5cm , BC=8cm , DE=4cm ,則圖中陰影部分的面積為（）10B D E CA. 1 cm2B. 1.5cm2C. 2cm2考點(diǎn)：三角形中位線定理.專題：壓軸題；整體思想.分析： 根據(jù)題意，易得 MN=DE ,從而證得MNOA EDO,再進(jìn)一步求ODE的高，進(jìn)一步求出陰影部分的面 積.解答：解：連接MN ,作AFLBC于F. AB=AC ,BF=CF=1BC= 18=4,22在 RtAABF 中，af=7aB2-BF2=V52- 43M、N分

20、別是AB , AC的中點(diǎn)，MN是中位線，即平分三角形的高且MN=8登=4,nm=2bc=de ,2MNOA EDO, O 也是 ME, ND 的中點(diǎn)，陰影三角形的高是 2aF及=1.5及=0.75,2 S 陰影=4X0.75e=1.5.故選 B.B D F EC點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是利用中位線的性質(zhì)，求得陰影部分三角形的高，再利用三角形的面積公式計(jì)算.（2008?銅仁地區(qū)）如圖， M是4ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分/ BAC ,且BNXAN ,垂足為 N,且 AB=6 ,BC=10 , MN=1.5 ,貝UABC 的周長是（） AN 平分/ BAC ,/ BAN= / EAN , AN=AN ,

21、 / ANB= / ANE=90 , .ABN AEN ,11AE=AB=6 , BN=NE , 又 M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，CE=2MN=2 M.5=3,ABC 的周長是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25 故選D.點(diǎn)評：本題主要考查了中位線定理和全等三角形的判定.解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用全等三角形來得出 線段相等，進(jìn)而應(yīng)用中位線定理解決問題.（2011?江津區(qū)）如圖，四邊形 ABCD中，AC=a, BD=b ,且AC，BD,順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)，得 到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形 A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形 A2B2c2D2，如此進(jìn)行下去，

22、得到四邊 形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有（） 四邊形A2B2c2D2是矩形；四邊形A4B4c4D4是菱形；四邊形A5B5c5D5的周長是空山4四邊形AnBnCnDn的面積是C.D.考點(diǎn)：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然后對以下選項(xiàng)作出分析與判斷：根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷； 根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；由四邊形的周長公式：周長 =邊長之和，來計(jì)算四邊形 A5B5c5D5的周長；根據(jù)四邊形AnBnCnDn的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積.解

23、答：解：連接A1C1, B1D1 .在四邊形ABCD中，順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形 A1B1C1D1, A1D1/BD, B1cl/BD, C1D1/AC, A1B1/AC; A1D1 / B1C1, A1B1 / C1D1,.四邊形A1B1C1D1是平行四邊形； AC，BD ,四邊形A1B1cl口1是矩形，B1D1=A1C1 （矩形的兩條對角線相等）；，A2D2=C2D2=C2B2=B2A2 （中位線定理），四邊形A2B2c2D2是菱形；12故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;由知，四邊形 A2B2c2D2是菱形；根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4c4D4是菱形;故本選項(xiàng)正確；根據(jù)中位線的性質(zhì)易知

24、，A5B5=-A3B3=iAlBl=-ixiAC, B5c5=B3c3=HbiCi=B 二BD ,22 22 2 222 22 2 2，四邊形A5B5c5D5的周長是2. (a+b) =Z也；84故本選項(xiàng)正確;.四邊形 ABCD 中，AC=a, BD=b ,且 AC，BD,S 四邊形 ABCD=ab2;由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?四邊形AnBnCnDn的面積是上三；2武1故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確.故選C.6Ci點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第 三邊且等于第三邊的一半）.解答此題時(shí)

25、，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系.（2013?青島）如圖，ABO縮小后變?yōu)?ABO,其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A、B點(diǎn)A、B、A、B均在圖中 在格點(diǎn)上.若線段 AB上有一點(diǎn)P （m, n）,則點(diǎn)P在A B 上的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）噂n)ii-dB. (m, n)c.(my)考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).專題：壓軸題.分析： 根據(jù)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)以及對應(yīng)點(diǎn) A, B點(diǎn)的坐標(biāo)得出坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出P的坐標(biāo).13解答： 解：ABO縮小后變?yōu)锳B。，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A、B點(diǎn)A、B、A、B均在圖中在格點(diǎn)上, 即A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4,6）,B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6,2）,A 點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,3）,

26、B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3, 1）,線段AB上有一點(diǎn)P （m, n）,則點(diǎn)P在A B上的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（8，工）.2 2故選D.點(diǎn)評：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化是解題關(guān)鍵.二.填空題（共9小題）（2013?鞍山）如圖， D 是4ABC 內(nèi)一點(diǎn)，BDXCD, AD=6 , BD=4 , CD=3 , E、F、G、H 分別是 AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH的周長是 11 .考點(diǎn)：三角形中位線定理；勾股定理.專題：壓軸題.分析：利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=）AD, EF=GH=JbC,然

27、后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.解答： 解：BDXCD, BD=4 , CD=3 ,bc=bD2 +CD2=5，. E、F、G、H 分別是 AB、AC、CD、BD 的中點(diǎn)，. EH=FG=AD , EF=GH= IbC, 22，四邊形 EFGH 的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC ,又 AD=6 , ，四邊形EFGH的周長=6+5=11.故答案為：11.點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的 一半是解題的關(guān)鍵.11 . （2013?烏魯木齊）如圖， 4ABC中，AD是中線，AE是角平分線， CFXAE于F, AB=5 , AC=2

28、 ,則DF的長考點(diǎn)：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.14分析： 延長CF交AB于點(diǎn)G,證明AFGAFC,從而可得4ACG是等腰三角形，GF=FC ,點(diǎn)F是CG中點(diǎn), 判斷出DF是4CBG的中位線，繼而可得出答案.解答：解：延長CF交AB于點(diǎn)G, AE 平分/ BAC ,/ GAF= / CAF , AF 垂直 CG,/ AFG= / AFC ,在4AFG和 AFC中， fZGAF=ZCAF AF=AF , lZAFG=ZAFC AFGA AFC (ASA), AC=AG , GF=CF,又點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，DF是CBG的中位線，-1-1,一、1,DF=BG=- (AB -

29、 AG)=(AB - AC)=-.2222故答案為：旦2點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般 出現(xiàn)即是角平分線又是高的情況，我們就需要尋找等腰三角形.（2012?棗莊）如圖所示，DE為4ABC的中位線，點(diǎn) F在DE上，且/ AFB=90 ,若AB=5 , BC=8 ,貝U EF的長為 .考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.專題：壓軸題.分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 可求出DF的長，再利用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可求出DE的長，進(jìn)而求出 EF的長解答： 解：AFB=90 , D

30、為AB的中點(diǎn)，DF=-AB=2.5 ,2 DE為4ABC的中位線,DE=)BC=4,2EF=DE - DF=1.5 , 故答案為1.5.15點(diǎn)評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半和三角形的中 位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.（2012?鐵嶺）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為菱形AlBlClDl各邊的中點(diǎn)，連接AiF、BlG、ClH、DlE得四邊形A2B2C2D2,以此類推得四邊形 A3B3c3D3，若菱形A1B1C1D1的面積為S,則四邊形AnBnCnDn的面積為_考點(diǎn)：三角形中位線定理；菱形的性質(zhì).專題：壓軸題；規(guī)律型.

31、分析：由E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)，得到 A1H=C1F,又A1H/C1F,利用一組邊長平行且相 等的四邊形為平行四邊形得到四邊形A1HC1F為平行四邊形，根據(jù)平行線間的距離相等及平行四邊形與三角形的面積公式，可得出四邊形A1HC1F的面積等于4HB1C1面積的2倍，等于A1D1F面積的2倍，而這三個(gè)的面積之和為菱形的面積S,可得出四邊形A1HC1F面積為菱形面積S的一半，再由平行線等分線段定理得到A2為A1D2的中點(diǎn)，C2為C1B2的中點(diǎn)，B2為B1A2的中點(diǎn)，D2為D1C2的中點(diǎn)，利用三角形的中 位線定理得到 HB2=A1A2, D2F=3c1C2,可得出A1A2B

32、2H和C1C2D2F都為梯形，且高與平行四邊形22A2B2c2D2的高h(yuǎn)相等（設(shè)高為h）,下底與平行四邊形 A2B2c2D2的邊A2D2與x相等（設(shè)A2D2=X）,分別 利用梯形的面積公式及平行四邊形的面積公式表示出各自的面積，得出三個(gè)面積之比，可得出平行四邊形A2B2c2D2的面積占三個(gè)圖形面積的即為四邊形A1HC1F面積的2,為菱形面積的同理得到四邊形5552A3B3c3D3的面積為菱形面積的（工）,以此類推，表不出四邊形AnBnCnDn的面積即可.5解答： 解：.H為A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為c1D1的中點(diǎn)，A1H=B1H , cF=D1F,又 A1B1D1 為菱形，AB1=c1D1, A1H

33、=c1F,又 A1H / dF,，四邊形A1Hc1F為平行四邊形，S 四邊形 A1hc1F=2Sahb1c1=2Saa1D1F，又 S 四邊形 A1Hc1F+SzHB1cl+SzA1D1F=S 菱形 A1B1c1D1=S,S 四邊形 A1Hc1F=Js,又 GD1=B1E, GD1 / B1E, GB1ED1為平行四邊形， GB1 / ED1,又 G 為 A1D1 的中點(diǎn)，A2為A1D2的中點(diǎn)，同理c2為cB2的中點(diǎn)，B2為B1A2的中點(diǎn)，D2為D2的中點(diǎn)，. HB2=2A1A2, D2F=2c2,22又A1A2B2H和c2D2F都為梯形，且高與平行四邊形A2B2c2D2的高h(yuǎn)相等（設(shè)高為h）

34、,下底與平行四邊形 A2B2c2D2的邊A2D2與x相等（設(shè)A2D2=X）,16 TOC o 1-5 h z . c1,1、， 3. c, S梯形 A1A2B2H =S 梯形 C1C2D2F= （X+X） h=-xh , S 平行四邊形 A2B2c2D2=xh , HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 224即 S 梯形 A1A2B2H： S 梯形 C1C2D2F： S 平行四邊形 A2B2c2D2=3 ： 3： 4,又 S梯形A1A2B2H +S梯形C1C2D2F+S平行四邊形A2B2C2D2=S四邊形A1HC1F,- o2 1c一S平行四邊形A

35、2B2C2D2 =-S四邊形A1HC1F=3S, HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 552.同理S四邊形A3B3c3D3=（4 S,以此類推得四邊形 AnBnCnDn的面積為（工）5飛或一5 5口一1B1 E G點(diǎn)評：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理，以及平行四邊形與三 角形面積的計(jì)算，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道規(guī)律型試題，靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解本題的關(guān) 鍵.14. （2012?惠安縣質(zhì)檢）如圖， 4ABC的面積為1,分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為W再分別取A、

36、B1C的中點(diǎn)A2、B2, Ag B2c的中點(diǎn)A3、B3,依次取下去 ，則：4（1）線段AB與A4B4的數(shù)量關(guān)系是A4B4=AB ;16（2）四邊形 A 5A4B4B5的面積為 .1024 考點(diǎn)：三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律即可求出 四邊形A5A4B4B5的面積.解答： 解：（1） .AC、BC兩邊的中點(diǎn)為 A1、B1,l- AB1=aB ,同理：A2B2=A1B1, A3B3=A2

37、B2, A4B4=A3B3,22217A4B4=AB ,16故答案為：A4B4=AB ;16Ai、Bi分別是AC、BC兩邊的中點(diǎn)，且ABC的面積為1 , AiBiC的面積為 34 4，四邊形AiABB 1的面積=4ABC的面積-AAiBlC的面積/=1 -1，44.四邊形 A2AiBiB2的面積=AiBiC的面積-4A2B2c的面積=工-上=且=上，第5個(gè)四邊形的面積=且=-一.45 1024故答案為：二L.1024點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理和相似三角形的性質(zhì)，同時(shí)也考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié) 出一般結(jié)論的能力.(20i0?翔安區(qū)模擬)如圖，DE是4ABC的中位線，M是DE

38、的中點(diǎn)，CM的延長線交 AB于N,那么Sadmn ：S 四邊形 ANME = i： 5.考點(diǎn)：三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：常規(guī)題型；壓軸題.分析：根據(jù)三角形的中位線定理，把各邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來解答.解目, 解：DE是中位線，所以Saade=;Saabc,4s 四邊形 DBCE=Sa ABC，4連接AM , AE=CE ,所以 Saaem =Samec所以Samec=, ABC=-Sa ABC，oe . 3 1、c _5c所以S 四邊形 DBCM= ( - - -) SaaBC=zSaaBC，4 Co DM : BC=i : 4,所以 Sandm ： s 四邊形 DB

39、CM=i： i5.i8所以SANDM/ABC1Saamn = (- - -) Saabc=8 24所以 S/xndM ： s四邊形ANME =1121SzxabcS 四邊形 ANME =(二+) Sa ABC =_Sa ABC 12 8247T7：二=i : 5.24 243求出SAADE=Saabc ,便可找到突破口解答.4八計(jì).解答此題，首先根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,（2012?張家界）已知線段 AB=6 , C、D是AB上兩點(diǎn)，且 AC=DB=1 , P是線段CD上一動點(diǎn)，在 AB同側(cè)分 別作等邊三角形 APE和等邊三角形PBF, G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時(shí)

40、，G點(diǎn)移動的路徑長度 為 2 .A CPD B考點(diǎn)：梯形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì).專題：壓軸題；動點(diǎn)型.分析： 分別延長AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形 EPFH為平行四邊形，得出 G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三 角形HCD的中位線 MN.再求出CD的長，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.解答： 解：如圖，分別延長 AE、BF交于點(diǎn)H. / A=Z FPB=60 , AH / PF,. / B= Z EPA=60 , BH / PE,四邊形EPFH為平行四邊形， EF與HP互相平分.G為EF的中點(diǎn)，.G為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以 G的運(yùn)行軌跡為三角形 HCD

41、的中位線 MN . CD=6 -1-1=4,MN=2 ,即G的移動路徑長為 2.# 9點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點(diǎn)問題，是中考的熱點(diǎn).（2012?咸寧）如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, /C=90, BE平分/ ABC且交CD于E, E為CD的中點(diǎn),EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G,當(dāng)AD=2 , BC=12時(shí)，四邊形 BGEF的周長為2819考點(diǎn)：梯形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；探究型.分析： 先根據(jù)EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G得出四邊形BGEF是平行四邊形，再由 BE平分/ ABC 且交 CD于E可得出

42、/ FBE=/EBC,由EF / BC可知，/ EBC= Z FEB ,故/ FBE= Z FEB,由此可判斷出 四邊形BGEF是菱形，再根據(jù) E為CD的中點(diǎn)，AD=2 , BC=12求出EF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論.解答： 解： EF/ BC 交 AB 于 F, EG / AB 交 BC 于 G,四邊形BGEF是平行四邊形， BE平分/ ABC且交CD于E, ./ FBE=Z EBC, EF/ BC,./ EBC= / FEB, ./ FBE=Z FEB, 四邊形BGEF是菱形，. E 為 CD 的中點(diǎn)，EF/BC, AD=2 , BC=12,一.EF是梯形ABCD的中位線，EF=- （AD+B

43、C） =-X （2+12） =7,22，四邊形BGEF的周長=4X7=28.故答案為：28.點(diǎn)評：本題考查的是梯形中位線定理及菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出四邊形BGEF是菱形是解答此題的關(guān)鍵.（2014?槐蔭區(qū)二模）正方形 ABCD與正方形OEFG中，點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為（-3, 2）和（1, - 1）,則 這兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)為（T , 0）或（5, - 2）.0 EB CG考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：由圖形可得兩個(gè)位似圖形的位似中心必在x軸上，連接AF、DG,其交點(diǎn)即為位似中心，進(jìn)而再由位似比即可求解位似中心的坐標(biāo).解答：解：當(dāng)位似中心在兩正方

44、形之間，連接AF、DG,交于H,如圖所示，則點(diǎn) H為其位似中心，且 H在x軸上， ,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1, 丁其位似比為2: 1,CH=2HO ,即 OH=-OC,320又 C （ 3, 0）, OC=3 ,OH=1 ,所以其位似中心的坐標(biāo)為（-1,0）;當(dāng)位似中心在正方形 OEFG的右側(cè)時(shí)，如圖所示，連接DE并延長，連接 CF并延長,兩延長線交于 M ,過M作MN，x軸，,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1,丁其位似比為2: 1,EF=1dC ,即EF為4MDC的中位線， 2ME=DE ,又/ DEC= / MEN , / DCE= / MNE=90 ,. DCEA MNE ,

45、. CE=EN=OC+OE=3+1=4 ,即 ON=5 , MN=DC=2 ,則M坐標(biāo)為（5, - 2）,綜上，位似中心為：（-1 , 0）或（5, - 2）.故答案為：（-1, 0）或（5, - 2）本題主要考查了位似變換以及坐標(biāo)與圖形結(jié)合的問題，能夠熟練運(yùn)用位似的性質(zhì)求解一些簡單的位似計(jì)算 問題.三.解答題（共6小題）（2013?常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtA ABC , RtACEF, Z ABC= Z CEF=90 ,連接 AF , M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.（1）如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上日求證： MB / CF;（2）如圖 1,若 CB=a, CE=2a,求 BM

46、 , ME 的長；（3）如圖 2,當(dāng)/ BCE=45時(shí)，求證：BM=ME .C圖1圖2考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.21 專題：壓軸題.分析：(1)證法一：如答圖 1a所示，延長 AB交CF于點(diǎn)D,證明BM為AADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D,根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB / EF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/BAM= Z DFM ,根據(jù)中點(diǎn)定義可得 AM=MF ,然后利用角邊角”證明4ABM和4FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF ,然后求出BE=DE ,從而得到4BDE是等腰直

47、角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/EBM=45 ,從而得到/ EBM= Z EOF,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB / OF即可，(2)解法一：如答圖 2a所示，作輔助線，推出 BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM ,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM XBD,求出4BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；(3)證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出 BM、ME是兩條中位線：BM=1dF, ME=1aG ;然后證明 22AOGADOF,得到 DF=AG ,從而證明 BM=ME ;證法二：如答圖3b所示，延長BM

48、交CF于D,連接BE、DE,利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 兩直線平行求出 AB / OF, 再根據(jù)兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等求出/ BAM= / DFM ,根據(jù)中點(diǎn)定義可得 AM=MF ,然后利用 角邊角”證明 ABM和4FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 AB=DF , BM=DM ,再根據(jù)邊角邊”證明 BOE 和4DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BE=DE ,全等三角形對應(yīng)角相等可得/ BEO= / DEF ,然 后求出/ BED= ZOEF=90,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可.解答：(1)證法一：如答圖1a,延長AB交OF于點(diǎn)D,則易知ABO與ABOD均為等腰直角三角形， A

49、B=BO=BD ,點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又.點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，BM為4ADF的中位線， BM / OF.證法二：如答圖1b,延長BM交EF于D,/ ABO= / OEF=90 ,AB OE, EFXOE,AB / EF,/ BAM= / DFM ,M是AF的中點(diǎn)，AM=MF ,在ABM和4FDM中，/BAU=/DFH 即二FH,lzamb=zfmdABM FDM (ASA ),AB=DF , BE=OE - BO, DE=EF - DF, BE=DE ,. BDE是等腰直角三角形，./ EBM=45 ,.在等腰直角 OEF中，/ EOF=45,./ EBM= / EOF,MB / OF;2

50、2(2)解法一：如答圖2a所示，延長 AB交CF于點(diǎn)D,則易知4BCD與4ABC為等腰直角三角形,AB=BC=BD=a , AC=CD=臟a,點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，BM= 2DF.分別延長FE與CA交于點(diǎn)G,則易知4CEF與 CEG均為等腰直角三角形,CE=EF=GE=2a , CG=CF= 2&a,點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn) M為AF中點(diǎn)，ME=工AG .2CG=CF= . =a, CA=CD= =a,AG=DF= a,BM=ME= lx/2a=la.解法二：如答圖1b.CB=a, CE=2a,BE=CE - CB=2a - a=a,. ABM FDM ,BM=DM , 又BED是等腰

51、直角三角形,. BEM是等腰直角三角形，BM=ME= BE=a；(3)證法一：如答圖3a,延長AB交CE于點(diǎn)D,連接DF ,則易知4ABC與4BCD均為等腰直角三角形, AB=BC=BD , AC=CD ,點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn) M為AF中點(diǎn)，BM=1DF.延長FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG ,則易知4CEF與4CEG均為等腰直角三角形, CE=EF=EG , CF=CG ,點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn) M為AF中點(diǎn)，ME=-AG .在4ACG與4DCF中， rAC=CDNACG=NDCF=45，, gCFACGA DCF (SAS),DF=AG , BM=ME .證法二：如答圖3b,延長 BM交CF于D

52、,連接BE、DE,. / BCE=45 ,ACD=45 2+45 =13523BAC+ Z ACF=45 +135 =180 , AB / CF, / BAM= / DFM , M是AF的中點(diǎn)， AM=FM , 在ABM和4FDM中， rZBAfl=ZDF! AM=FM ,lzmb=zfndABM 叁、FDM (ASA ), AB=DF , BM=DM , AB=BC=DF , 在ABCE和ADFE中， K 二 DF -ZBCEZDFE=45fl , t CE=FE . BCEA DFE (SAS),BE=DE , / BEC= / DEF ,/ BED= / BEC+ / CED= / DE

53、F+ / CED= / CEF=90 , . BDE是等腰直角三角形，又 BM=DM , BM=ME=工BD ,2故 BM=ME .ECDF答圖3bG答圖3a24DB答回：LbEBDC答圖2aE3答圖lbBDC 答圖la點(diǎn)評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位 線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).(2011?岳池縣模擬)如圖所示，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD AAGC的為中位線，.EF/BC, EFGC(BC - BG ) =- ( BC - AD ),222即 EF=1 ( BC - AD ).2

54、方法二：如圖所示，設(shè) CE、DA延長線相交于 G. E 為 BD 中點(diǎn)，AD / BC ,易得 GED CEB .GD=CB , GE=CE .在CAG中，.E, F分別為CG, CA中點(diǎn)，EF=1gA=1 (GD-AD) =1 (BC-AD),即 EF=1 ( BC - AD ).點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造輔助線，借助全等三角形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)三角形的中位線，運(yùn)用三角形的中位線定理就可證明.21 . （2010?順義區(qū)）在 4ABC 中，AC=BC , / ACB=90 ,點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn).（1）如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段DF,連接CF,過點(diǎn)F

55、作FHLFC, 交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改 變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明.考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；開放型.分析：（1）延長DF交AB于點(diǎn)G,根據(jù)三角形中位線的判定得出點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件 AC=BC ,得出 DC=DG ,從而 EC=FG ,易證/ 1=Z2=90 - Z DFC, / CEF=Z FGH=135 ,由 AAS 證 出CEF0FGH. CF=FH .26(2)通過證明 CEFFGH (

56、ASA)得出.解答： 解：(1) FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：FH=FC.證明如下：延長 DF交AB于點(diǎn)G,由題意，知/ EDF=/ACB=90 , DE=DF , DG / CB ,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，且dc=Tac，2DG為4ABC的中位線，-1 DGrBCAC=BC , DC=DG , DC - DE=DG - DF , 即 EC=FG. / EDF=90 , FHXFC,. / 1 + /CFD=90, /2+/CFD=90, 1 = /2.DEF與ADG都是等腰直角三角形，./ DEF= Z DGA=45 ,./ CEF=Z FGH=135 ,. CEFA FGH , C

57、F=FH .FH與FC仍然相等.理由：由題意可得出：DF=DE ,DFE= / DEF=45 ,AC=BC ,A=/CBA=45 , DF / BC,./ CBA= / FGB=45 , / FGH= / CEF=45 ,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF / BC,DG=-BC, DC= -AC ,22DG=DC ,EC=GF ,/ DFC= / FCB , ./ GFH= Z FCE, 在FCE和4HFG中27rZCEF=ZFGH4EC=GF ，tZECF=ZGFH. FCEA HFG (ASA), HF=FC .點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大.22

58、.幾何證明(1)已知：如圖1, BD、CE分別是4ABC的外角平分線，過點(diǎn) A作AF，BD , AG XCE,垂足分別是 F、G,連 接FG,延長 AF、AG,與直線 BC相交.求證：FG=1 (AB+BC+AC ).2(2)若BD、CE分別是4ABC的內(nèi)角平分線，其余條件不變(如圖 1),線段FG與4ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量 關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明.考點(diǎn)：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：(1)利用全等三角形的判定定理 ASA證得4ABF叁 MBF ,然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)一步推出 MB=AB , AF=MF ,同理CN=AC , AG=NG ,

59、由此可以證明 FG為4AMN的中位線，然后利用中位線定理 求得 FG=-1 (AB+BC+AC );2(2)延長AF、AG,與直線BC相交于M、N,與(1)類似可以證出答案.解答： 解：(1)如圖 1, AF BD , /ABF=/MBF,/ BAF= / BMF ,在4ABF和4MBF中，Zafb=ZmfbBF=BF,1 /ABF二 N MBF ABFAMBF (ASA) MB=ABAF=MF ,同理：CN=AC , AG=NG ,.FG是AAMN的中位線28fg=1mn ,2=-(MB+BC+CN ),2=1 (AB+BC+AC ).2(2)圖 2 中，F(xiàn)G=1 (AB+AC BC)2理由

60、如下：如圖 2,延長AG、AF,與直線 BC相交于 M、N ,由(1)中證明過程類似證 AABFANBF ,NB=AB , AF=NF ,同理 CM=AC , AG=MGFG=_MN ,2MN=2FG ,BC=BN+CM - MN=AB+AC - 2FG,FG=- (AB+AC - BC),2答：線段FG與ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是 FG=1 (AB+AC - BC).2點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解此題 的關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線.(2009?濰坊)在四邊形 ABCD 中，AB BC, DCXBC, AB=a , DC=b