新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)21 相互獨(dú)立事件與正態(tài)分布（教師版含解析）

1、35/35考點(diǎn)21 相互獨(dú)立事件與正態(tài)分布知識理解一相互獨(dú)立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq xto(B)，eq xto(A)與B，eq xto(A)與eq xto(B)也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立(5)相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個事件不會同時發(fā)生，計(jì)算公式為P(AB

2、)P(A)P(B)(6)P(AB)P(A)P(B)只有在事件A，B相互獨(dú)立時，公式才成立，此時P(B)P(B|A)二正態(tài)分布(一)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達(dá)到峰值eq f(1,r(2)；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(二)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.考向分析考向一 相互獨(dú)立實(shí)驗(yàn)【例2】(2020

3、九江市同文中學(xué)高三期中)某學(xué)校為了了解學(xué)生對新冠病毒的傳播和預(yù)防知識的掌握情況，學(xué)校決定組織一次有關(guān)新冠病毒預(yù)防知識競答.競答分為必答題(共5題)和選答題(共2題)兩部分.每位同學(xué)答題相互獨(dú)立，且每道題答對與否互不影響.已知甲同學(xué)答對每道必答題的概率為，答對每道選答題的概率為.(1)求甲恰好答對4道必答題的概率；(2)在選答階段，若選擇回答且答對獎勵5分，答錯扣2分，選擇放棄回答得0分.已知甲同學(xué)對于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為，試求甲同學(xué)在選答題階段，得分的分布列.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】(1)甲恰好答對4道必答題的概率為.(2)依題意，每道題選擇回答并答對的

4、概率為，選擇回答且答錯的概率為，選擇放棄回答的概率為.甲得分的可能性為分，分，0分，3分，5分和10分.所以，.所以的分布列為03510【舉一反三】1(2020廣西桂林十八中高三月考)張先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有，兩條路線(如圖)，路線上有，三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有，三個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.(1)若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若走路線，求遇到紅燈次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分別列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】(1)設(shè)走路線最多遇到1次紅燈為A事件，則所以走路線，最多遇到1次紅燈的概率為(2)依題

5、意，X的可能取值為0，1，2，3，(每對一個1分)，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P.2(2020全國高三專題練習(xí))張明要參加某單位組織的招聘面試.面試要求應(yīng)聘者有次選題答題的機(jī)會(選一題答一題)，若答對題即終止答題，直接進(jìn)入下一輪，否則被淘汰.已知張明答對每一道題的概率都為.(1)求張明進(jìn)入下一輪的概率；(2)設(shè)張明在本次面試中答題的個數(shù)為，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】(1)張明答道題進(jìn)入下一輪的概率為，答道題進(jìn)入下一輪的概率為，答道題進(jìn)入下一輪的概率為，答道題進(jìn)入下一輪的概率為，張明進(jìn)入下一輪的概率為；(2)可能取值為，

6、當(dāng)時可能答對道題進(jìn)入下一輪，也可能打錯道題被淘汰，于是的分布列為：.3(2020全國高三專題練習(xí))為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費(fèi)，超過小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元(不足小時的部分按小時計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列【答案】(1)；(2)分布列見解析【解析】(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為、元，兩人都付

7、元的概率為；兩人都付元的概率為；兩人都付元的概率為.則兩人所付費(fèi)用相同的概率為；(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為、，則，.所以，隨機(jī)變量的分布列為：考向二 正態(tài)分布【例2-1】(2020江蘇揚(yáng)州市高三開學(xué)考試)已知隨機(jī)變量，則( )A0.2B0.4C0.6D0.8【答案】A【解析】由，知：隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖象關(guān)于對稱，；故選：A【例2-2】(2020江西省信豐中學(xué)高三月考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(II)由直方圖

8、可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.(i)利用該正態(tài)分布，求；(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果，求.附：若則，【答案】(I)；(II)(i)；(ii)【解析】(I)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差分別為，(II)(i)由(I)知，服從正態(tài)分布，從而(ii)由(i)可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以【舉一反三】1(2020全國高三專題練習(xí))隨機(jī)變量，若，則_【答案】【解析】隨機(jī)變量服從，符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布概率公式：得：，解得，又，.

9、故答案為：.2(2020吉林油田第十一中學(xué)高三月考)已知，若，則_【答案】【解析】：因?yàn)椋哉龖B(tài)密度曲線的對稱軸為 因?yàn)樗?，所以故答案為?(2020全國高三專題練習(xí))近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價(jià)格普遍上漲，生豬供不應(yīng)求。各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn)，目前各項(xiàng)針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)能恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn)現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬.根據(jù)豬的重量，將其分為三個成長階段如下表 豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量(Kg)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布.由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的

10、豬監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，(1)試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數(shù)量；(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬 ，則可盈利元，若為不合格的豬，則虧損元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬 ，則可盈利元，若為不合格的豬，則虧損元記為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列，假設(shè)兩養(yǎng)豬場均能把成年期豬售完，求兩養(yǎng)豬場的總利潤期望值(參考數(shù)據(jù)：若，則，)【答案】(1)甲、乙兩養(yǎng)豬場各有幼年期豬頭，成長期豬頭，成年期豬頭；(2)

11、分布列見解析，135450元.【解析】(1)由于豬的體重近似服從正態(tài)分布，設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為，(頭)； 同理，(頭)； ，(頭).所以，甲、乙兩養(yǎng)豬場各有幼年期豬頭，成長期豬頭，成年期豬頭。(2)依題意，甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，隨機(jī)變量可能取值為，.，所以的分布列為： 所以(元)，由于各養(yǎng)豬場均有頭成年豬，一頭豬出售的利潤總和的期望為元，則總利潤期望為(元).4(2020江蘇無錫市高三開學(xué)考試)為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑585961626364656667686970717

12、3合計(jì)個數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本直徑的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.(1)為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(表示相應(yīng)事件的概率)：；.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級.(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；從樣本中隨機(jī)抽取件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)其性能等級

13、為丙；(2)；分布列見解析；期望為.【解析】(1)，因?yàn)樵O(shè)備的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙.(2)易知樣本中次品共件，可估計(jì)設(shè)備生產(chǎn)零件的次品率為.由題意可知，于是.由題意可知的取值有、，.的概率分布列為：故.考向三 均值與方差的運(yùn)用【例3】(2020全國高三專題練習(xí))2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項(xiàng)目中的一個之中.項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個天坑院

14、，每個天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場調(diào)研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和.(1)若投資項(xiàng)目一，記為盈利的天坑院的個數(shù)，求(用p表示)；(2)若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為百萬元，求(用p表示)；(3)在(1)(2)兩個條件下，針對以上兩個投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個項(xiàng)目，并說明理由.【答案】(1) (2

15、) (3)見解析【解析】(1)解：由題意則盈利的天坑院數(shù)的均值.(2)若投資項(xiàng)目二，則的分布列為2-1.2盈利的均值.(3)若盈利，則每個天坑院盈利(百萬元)，所以投資建設(shè)20個天坑院，盈利的均值為(百萬元).當(dāng)時，解得.故選擇項(xiàng)目一.當(dāng)時，解得.此時選擇項(xiàng)一.當(dāng)時，解得.此時選擇項(xiàng)二.【舉一反三】1(2020河北棗強(qiáng)中學(xué)高三月考)中華獼猴桃果樹喜濕怕旱，喜水怕澇，在我國種植范圍較廣.某地一生態(tài)農(nóng)業(yè)公司建立了一個大型獼猴桃種植基地，該地區(qū)雨量充沛，陽光與溫度條件也對果樹的成長十分有利，但干旱或雨量過大也會造成損失.公司管理人員依據(jù)往年獼猴桃生長期30個周降雨量(單位：)的數(shù)據(jù)，得到如下莖葉圖(

16、表中的周降雨量為一周內(nèi)降雨量的總和).另外，獼猴桃果樹發(fā)生災(zāi)害與周降雨量的關(guān)系如下表所示.周降雨量(單位：)獼猴桃災(zāi)害等級輕災(zāi)正常輕災(zāi)重災(zāi)根據(jù)上述信息，解答如下問題.(1)根據(jù)莖葉圖中所給的數(shù)據(jù)，寫出周降雨量的中位數(shù)和眾數(shù)；(2)以收集數(shù)據(jù)的頻率作為概率.估計(jì)該地區(qū)在今年發(fā)生重災(zāi)、輕災(zāi)以及無災(zāi)害的概率；若無災(zāi)害影響，每畝果樹獲利6000元：若受輕災(zāi)害影響，則每畝損失5400元；若受重災(zāi)害影響則每畝損失10800元.為保護(hù)獼猴桃產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，該地區(qū)農(nóng)業(yè)部門有如下三種防控方案；方案1：防控到輕災(zāi)害，每畝防控費(fèi)用400元.方案2：防控到重災(zāi)害，每畝防控費(fèi)用1080元.方案3：不采取防控措施.問：如從獲

17、利角度考慮，哪種方案比較好？說明理由.【答案】(1)中位數(shù)為12.5，眾數(shù)為10；(2)估計(jì)該地在今年發(fā)生重、輕害的概率分別為和，無災(zāi)害概率為；選擇方案一比較好；答案見解析.【解析】(1)根據(jù)莖葉圖，可得中位數(shù)為12.5，眾數(shù)為10(2)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得該地區(qū)周降雨量(單位：)的概率：，(輕災(zāi))，(重災(zāi))因此估計(jì)該地在今年發(fā)生重、輕害的概率分別為和，無災(zāi)害概率為方案1：設(shè)每畝的獲利為(元)，則的可能取值為600，則的分布列如下：6000則(元)，則每畝凈利潤為(元)；方案2：設(shè)每畝的獲利為(元)，則的可能取值為6000元，于是，凈利潤為(元)；方案3：設(shè)每畝的獲利為(元)，則的可能取值為6

18、000，則的分布列如下：6000則(元)，于是每畝虧損為1400(元)；由此得出，方案一的獲利最多，所以選擇方案一比較好.2(2020全國高三其他模擬)某超市采購了一批袋裝的進(jìn)口牛肉干進(jìn)行銷售，共1000袋，每袋成本為30元，銷售價(jià)格為50元，經(jīng)過科學(xué)測定，每袋牛肉干變質(zhì)的概率為，且各袋牛肉干是否變質(zhì)相互獨(dú)立依據(jù)消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)法的規(guī)定：超市出售變質(zhì)食品的，消費(fèi)者可以要求超市退一賠三為了保護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，針對購買到變質(zhì)牛肉干的消費(fèi)者，超市除退貨外，并對每袋牛肉干以銷售價(jià)格的三倍現(xiàn)金賠付，且把變質(zhì)牛肉干做廢物處理，不再進(jìn)行銷售(1)若銷售完這批牛肉干后得到的利潤為X，且，求p的取值范圍；(2)已知，

19、若超市聘請兼職員工來檢查這批牛肉干是否變質(zhì)，超市需要支付兼職員工工資5000元，這樣檢查到的變質(zhì)牛肉干直接當(dāng)廢物處理，就不會流入到消費(fèi)者手中請以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，判斷超市是否需要聘請兼職員工來檢驗(yàn)這批牛肉干是否變質(zhì)？【答案】(1)；(2)由，以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，故超市需要聘請兼職員工來檢驗(yàn)這批牛肉干是否變質(zhì)【解析】(1)令Y表示這1000袋牛肉干中變質(zhì)牛肉干的數(shù)量由題意有，則，故 由，有，解得：故當(dāng)時，p的取值范圍為 (2)當(dāng)時，由(1)知， 設(shè)需要賠付給消費(fèi)者的費(fèi)用為Z元，有由，以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，故超市需要聘請兼職員工來檢驗(yàn)這批牛肉干是否變質(zhì)3(2020全國高三月考

20、)某縣為了幫助農(nóng)戶脫貧致富，鼓勵農(nóng)戶利用荒地山坡種植果樹，某農(nóng)戶考察了三種不同的果樹苗、經(jīng)過引種實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為(1)任取樹苗、各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)將(1)中的數(shù)學(xué)期望取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活求一棵種樹苗最終成活的概率；若每棵樹苗引種最終成活可獲利元，不成活的每棵虧損元，該農(nóng)戶為了獲利期望不低于萬元，問至少要引種種樹苗多少棵？【答案】(1)分布列見解析，；(2)；棵.【解析】(1

21、)依題意，的所有可能值為、，則，.所以，隨機(jī)變量的分布列為：；(2)由(1)知當(dāng)時，取得最大值一棵種樹苗最終成活的概率為：，記為棵樹苗的成活棵數(shù)，則，所以該農(nóng)戶至少要種植棵樹苗，才可獲利不低于萬元強(qiáng)化練習(xí)1(2020全國高三專題練習(xí))設(shè)每個工作日甲乙丙丁人需使用某種設(shè)備的概率分別為，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少人需使用設(shè)備的概率為( )A0.25B0.30C0.31D0.35【答案】C【解析】設(shè)甲乙丙丁需使用設(shè)備分別為事件，則，所以恰好人使用設(shè)備的概率為人使用設(shè)備的概率故所求概率.故選：C.2(2021全國高三專題練習(xí))已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中的系數(shù)為( )A40B120

22、C240D280【答案】D【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可知，解得，的展開式的通項(xiàng)公式為，的展開式的通項(xiàng)公式為，令兩式展開通項(xiàng)之積的指數(shù)為，可得或，的展開式中的系數(shù)為，故選：D.3(2020全國高三專題練習(xí))某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2019年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為概率依次為m，n，已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，且mn則_【答案】【解析】由題知三個社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，即，又因?yàn)橹辽龠M(jìn)入一個社團(tuán)的概率為，即

23、一個社團(tuán)都沒能進(jìn)入的概率為，即，整理得.故答案為：.4(2020全國高三專題練習(xí))2019年高考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對全市的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布的密度曲線非常擬合據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語成績超過95分的概率是_【答案】【解析】由題意，可得每名學(xué)生的英語成績，所以，則全市隨機(jī)抽取的4名同學(xué)中恰有2名的英語成績超過95分的概率是.故答案為：5(2020全國高三專題練習(xí))已知隨機(jī)變量，若，則_.【答案】0.1【解析】隨機(jī)變量，解得或(舍)，又，故答案為：0.16(2020江蘇高三月考)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且，

24、則_【答案】0.2【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1，o2)，正態(tài)曲線的對稱軸是x1P(X2)0.7，P(1X2)0.7-0.5=0.2，P(0X1)P(1X2)0.2，故答案為0.27(2020遼寧高三月考)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(4，2)，若P(2)0.3，則P(26)_【答案】0.4【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其對稱軸方程為，又，則故答案為：0.48(2020全國高三專題練習(xí))某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.則該選手恰好回答了4個問題就晉

25、級下一輪的概率為_，該選手回答了5個問題結(jié)束的概率為_.【答案】 【解析】(1)根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第2個問題回答錯誤，第3、4個回答正確，第1個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答錯與第一個答對；由相互獨(dú)立事件的概率公式得：(2)根據(jù)題意，設(shè)答對的事件為A，可分第3個問題回答正確與錯誤兩類，若第3個問題回答正確則有或兩類情況，其概率為：若第3個問題回答錯誤，第1，2兩個問題回答均錯誤或有且只有1個錯誤，則所求概率為：所以選手回答了5個問題結(jié)束的概率為：故答案為：，9(2021河南鄭州市高三一模)教育是阻斷貧困代際傳遞

26、的根本之策.補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在.治貧先治愚扶貧先扶智.為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，鄭州市教育局?jǐn)M從名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動.支教活動共分批次進(jìn)行，每次支教需要同時派送名教師，且每次派送人員均從人中隨機(jī)抽選.已知這名優(yōu)秀教師中，人有支教經(jīng)驗(yàn)，人沒有支教經(jīng)驗(yàn).(1)求名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這批次活動中有且只有一次被抽選到的概率(2)求第二次抽選時，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人請說明理由；(3)現(xiàn)在需要名支教教師完成某項(xiàng)特殊教學(xué)任務(wù)，每次只能派一個人，且每個人只派一次，如果前一位教

27、師一定時間內(nèi)不能完成教學(xué)任務(wù)，則再派另一位教師.若有兩個教師可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為，假設(shè)，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.若按某種指定順序派人，這兩個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，試分析以怎樣的順序派出教師，可使所需派出教師的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.【答案】(1)；(2)第二次抽取到的無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是人，理由見解析；(3)按照先后的順序所需人數(shù)期望最小.【解析】(1)名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到概率為，則三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率為(2)第二次抽取到的沒有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是人.設(shè)表示第二次抽取到的無支教

28、經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，可能的取值有，則有:因?yàn)椋实诙纬槿〉降臒o支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是人.(3)按照先后的順序所需人數(shù)期望最小.設(shè)表示先后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則設(shè)表示先后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則.故按照先后的順序所需人數(shù)期望最小.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求概率和求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)表示先后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，得出，設(shè)表示先后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則，相減得出大小，屬于中檔題.10(2020凌源市第二高級中學(xué)高三期中)某市有兩家共享單車公司，在市場上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的單車，已知黃、藍(lán)兩種顏色的單車的投放比例為.監(jiān)管部門為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量，決定從

29、市場中隨機(jī)抽取輛單車進(jìn)行體驗(yàn)，若每輛單車被抽取的可能性相同.(1)求抽取的輛單車中有輛是藍(lán)色顏色單車的概率；(2)在騎行體驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色單車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從市場中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測，并規(guī)定若抽到的是藍(lán)色單車，則抽樣結(jié)束，若抽取的是黃色單車，則將其放回市場中，并繼續(xù)從市場中隨機(jī)地抽取下一輛單車，并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過次.在抽樣結(jié)束時，已取到的黃色單車以表示，求的分布列.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析.【解析】(1)因?yàn)殡S機(jī)地抽取一輛單車是藍(lán)色單車的概率為，用表示“抽取的輛單車中藍(lán)顏色單車的個數(shù)”，則服從二項(xiàng)分布，即，所以抽取的輛單車中有輛是藍(lán)

30、顏色單車的概率為；(2)隨機(jī)變量的可能取值為：、，.所以的分布列如下表所示：12(2020河南周口市高三月考)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種電子產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的正品率為(為常數(shù)且)，乙產(chǎn)品的正品率為.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是正品，則可盈利4萬元，若是次品，則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是正品，則可盈利6萬元，若是次品，則虧損2萬元.設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立.(1)記(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，若，求；(2)在(1)的條件下，求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于11萬元的概率.【答案】(1)；(2)0.8192.【解析】(1)由題設(shè)知，的可能取值為10，5，2，-3，且，.所以的分布

31、列為：所以，因?yàn)椋?，解?(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中正品有件，則次品有件，由題意知，則或.所以.故所求概率為0.8192.13(2020四川南充市閬中中學(xué)高三月考)2020年全球爆發(fā)新冠肺炎疫情，其最大特點(diǎn)是人傳人，傳播快，病亡率高.通過佩戴口罩可以有效地降低病毒傳染率，在某高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，公共場合未佩戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，現(xiàn)有在公共場合活動的甲、乙、丙、丁、戊5個人，每個人是否被感染相互獨(dú)立.(1)若他們都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率(2)若他們中有3人戴口罩，設(shè)5人中被感染的人數(shù)為，求：.【答案】(1)；(2).【解析】(1)若他們都未戴口罩，則恰有3人被感染

32、的概率是(2)當(dāng)被感染的兩人都未戴口罩時，當(dāng)被感染的兩人中，只有一人戴口罩時，當(dāng)被感染的兩人都戴口罩時，所以14(2020全國高三專題練習(xí))已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一只受到了感染下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個進(jìn)行化驗(yàn)(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；(

33、2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望【答案】(1)；(2)分布列見解析， (元).【解析】(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰含有病毒DNA，此種情況的概率為；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA，再從中逐個化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為.(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為(單位：元)，則的可能取值為10，18，24，30，36.，則化驗(yàn)費(fèi)的分布列為1018

34、243036P所以E()1018243036 (元)(2020江西高三其他模擬)時值金秋十月，秋高氣爽，我校一年一度的運(yùn)動會拉開了序幕.為了增加運(yùn)動會的趣味性，大會組委會決定增加一項(xiàng)射擊比賽，比賽規(guī)則如下：向甲乙兩個靶進(jìn)行射擊，先向甲靶射擊一次，命中得2分，沒有命中得0分；再向乙靶射擊兩次，如果連續(xù)命中兩次得3分，只命中一次得1分，一次也沒有命中得0分.小華同學(xué)準(zhǔn)備參賽，目前的水平是：向甲靶射擊，命中的概率是；向乙靶射擊，命中的概率為.假設(shè)小華同學(xué)每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求小華同學(xué)恰好命中兩次的概率；(2)求小華同學(xué)獲得總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)

35、學(xué)期望：.【解析】(1)記：“小華恰好命中兩次”為事件A，“小華射擊甲靶命中”為事件B，“小華第一次射擊乙靶命中”為事件C，“小華第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意可知，由于，故甲同學(xué)恰好命中一次的概率為.(2)，1，2，3，5，X01235P.16(2020貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考)有4名學(xué)生參加體育達(dá)標(biāo)測驗(yàn)，4個各自合格的概率分別是、，求以下的概率：(1)4人中至少有2人合格的概率；(2)4人中恰好只有2人合格的概率.【答案】(1)；(2).【解析】(1)4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除沒有合格，只有1人合格，由題意，1、沒有合格的概率為，2、只有1人合格的概率為，4人中至少有2人

36、合格的概率為；(2)4人中恰好只有2人合格，則其概率為：，17(2020江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中)某單位招考工作人員，須參加初試和復(fù)試，初試通過后組織考生參加復(fù)試，共5000人參加復(fù)試，復(fù)試共三道題，第一題考生答對得3分，答錯得0分，后兩題考生每答對一道題得5分，答錯得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績.(1)通過分析可以認(rèn)為考生初試成績服從正態(tài)分布，其中，試估計(jì)初試成績不低于90分的人數(shù)；(2)已知某考生已通過初試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試試成績?yōu)?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【

37、答案】(1)114人；(2)分布列見解析，.【解析】(1)學(xué)生筆試成績服從正態(tài)分布，其中，估計(jì)筆試成績不低于90分的人數(shù)為人(2)的取值分別為0，3，5，8，10，13，則的分布為故的分布列為：0358101318(2020福建高三月考)近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價(jià)格普遍上漲，生豬供不應(yīng)求.各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn).目前各項(xiàng)針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)量恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬，將其中重量(kg)在內(nèi)的豬分為三個成長階段如下表.豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量(Kg)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個養(yǎng)豬場豬的體重

38、X均近似服從正態(tài)分布.由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期豬的監(jiān)控力度，高度重視成年期豬的質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，.(1)試估算甲養(yǎng)豬場三個階段豬的數(shù)量；(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.()記Y為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機(jī)變量Y的分布列；()假設(shè)兩養(yǎng)豬場均能把成年期豬售完，

39、求兩養(yǎng)豬場的總利潤期望值.(參考數(shù)據(jù)：若，)【答案】(1)甲養(yǎng)豬場有幼年期豬215頭，成長期豬9544頭，成年期豬215頭(2)()詳見解析()(元)【解析】(1)由于豬的體重X近似服從正態(tài)分布，設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為(頭)；同理，(頭)所以，甲養(yǎng)豬場有幼年期豬215頭，成長期豬9544頭，成年期豬215頭；(2)依題意，甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為隨機(jī)變量Y可能取值為.，所以Y的分布列為：1100400P所以(元)由于各養(yǎng)豬場均有215頭成年期豬，一頭豬出售的利潤總和的期望為785元，則總利潤期望為(元).19(2020山東高三專題練習(xí))法國數(shù)學(xué)家龐加是個喜歡吃面

40、包的人，他每天都會購買一個面包，面包師聲稱自己出售的每個面包的平均質(zhì)量是1000，上下浮動不超過50.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布.(1)假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，從面包師出售的面包中任取兩個，記取出的兩個面包中質(zhì)量大于1000的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)作為一個善于思考的數(shù)學(xué)家，龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計(jì)算25個面包總質(zhì)量為24468.龐加萊購買的25個面包質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：)98197296699210101008954952969978989100110069579529699

41、8198495295998710061000977966盡管上述數(shù)據(jù)都落在上，但龐加菜還是認(rèn)為面包師撒謊，根據(jù)所附信息，從概率角度說明理由附：若，從X的取值中隨機(jī)抽取25個數(shù)據(jù)，記這25個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識可知：隨機(jī)變量若，則，；通常把發(fā)生概率在0.05以下的事件稱為小概率事件.【答案】(1)分布列見解析；期望為1(個)(2)詳見解析【解析】(1)由題意知，的所有可能取值為0，1，2.；.所以的分布列為：012P所以(個).(2)記面包師制作的每個面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.假設(shè)面包師沒有撒謊，則.根據(jù)附，從X的取值中隨機(jī)抽取25個數(shù)據(jù)，記這25個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則.龐加萊記錄的2

42、5個面包質(zhì)量，相當(dāng)于從X的取值中隨機(jī)抽取了25個數(shù)據(jù)，這25個數(shù)據(jù)的平均值為，由附數(shù)據(jù)知，由附知，事件“”為小概率事件，所以“假設(shè)面包師沒有撒謊”有誤，所以龐加萊認(rèn)為面包師撒謊.20(2020山東高三專題練習(xí))某服裝店每年春季以每件15元的價(jià)格購入型號童褲若干，并開始以每件30元的價(jià)格出售，若前2個月內(nèi)所購進(jìn)的型號童褲沒有售完，則服裝店對沒賣出的型號童褲將以每件10元的價(jià)格低價(jià)處理(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，1個月內(nèi)完全能夠把型號童褲低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，該季度不再購進(jìn)型號童褲)該服裝店統(tǒng)計(jì)了過去18年中每年該季度型號童褲在前2個月內(nèi)的銷售量，制成如下表格(注：視頻率為概率)前2月內(nèi)的銷售量(單位：件)

43、304050頻數(shù)(單位：年)684(1)若今年該季度服裝店購進(jìn)型號童褲40件，依據(jù)統(tǒng)計(jì)的需求量試求服裝店該季度銷售型號童褲獲取利潤的分布列和期望；(結(jié)果保留一位小數(shù))(2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)的需求量求服裝店每年該季度在購進(jìn)多少件型號童褲時所獲得的平均利潤最大【答案】(1)分布列見解析，元；(2)40件【解析】(1)設(shè)服裝店某季度銷售型號童褲獲得的利潤為(單位：元)當(dāng)需求量為30時，當(dāng)需求量為40時，當(dāng)需求量為50時，所以，故的分布列為400600則(元)所以服裝店今年銷售型號童褲獲得的利潤均值為533.3元(2)設(shè)銷售型號童褲獲得的利潤為依題意，視頻率為概率，為追求更多的利潤，則服裝店每年該季度購進(jìn)的型

44、號童褲的件數(shù)取值可能為30件，40件，50件當(dāng)購進(jìn)型號童褲30件時，；當(dāng)購進(jìn)型號童褲40件時，；當(dāng)購進(jìn)型號童褲50件時，所以服裝店每年該季度在購進(jìn)40件型號童褲時所獲得的平均利潤最大(2020六安市城南中學(xué)高三月考)某單位食堂每天以3元/個的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包，然后以5元/個的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個的價(jià)格全部賣給飼料加工廠，根據(jù)調(diào)查，得到食堂每天面包銷售量(單位：個)的頻率分布直方圖(如圖所示)，將頻率視為概率，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表.(1)求面包的日銷售量(單位：個)的分布列和均值；(2)若食堂每天購買的面包數(shù)量相同，該食堂有以下兩種購買方案：方案一：按平均數(shù)購買；方案二：按中位數(shù)購買，請你以利潤期