新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)15 遞推公式求通項（教師版含解析）

1、18/18考點(diǎn)15 遞推公式求通項知識理解公式法求通項使用特征：前n項和與項數(shù)或項的關(guān)系公式為：通項=前n項和-前n-1項和解題思路累加法求通項1.使用特征：2.解題思路累乘法求通項1.使用特征：2.解題思路構(gòu)造法求通項倒數(shù)法求通項考向分析考向一 公式法求通項【例1】(1)(2020廣西民族高中)數(shù)列的前n項和，則它的通項公式是_.(2)(2020廣東深圳市明德學(xué)校高三月考)設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，則的通項公式為_(3)(2020榆林市第十中學(xué)高三月考)已知數(shù)列滿足，則_，_【答案】(1)(2)(3)3 【解析】(1)時，；且時，易見，也適合該式.故.故答案為：.(2)當(dāng)時，當(dāng)時，故答案為：.

2、(3)當(dāng)時，當(dāng)時，由題意可得：，兩式作差可得：，故，因為，不滿足，所以.故答案為：3；.【方法總結(jié)】數(shù)列的前n項和，當(dāng)已知求時，按照兩者關(guān)系，由計算，當(dāng)也適合通項公式時，合并作答，否則寫出分段形式.【舉一反三】1(2020西藏昌都市第一高級中學(xué))已知數(shù)列的前項和，則_.【答案】【解析】由于數(shù)列的前項和.當(dāng)時，；當(dāng)時，.滿足.因此，對任意的，.故答案為：.2(2020全國高三專題練習(xí))數(shù)列的前項和為，則_.【答案】【解析】當(dāng)時，; 而不適合上式，.故答案為：.3(2020河北保定市高碑店一中)已知數(shù)列的前項和為，則_.【答案】【解析】因為，故，故即.又，故當(dāng)時，故.故答案為：.4(2020全國高

3、三專題練習(xí))若數(shù)列的前項和，則的通項公式是_【答案】【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：5(2020安徽省舒城中學(xué))若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則_【答案】【解析】數(shù)列是正項數(shù)列，且所以，即 時兩式相減得，所以( )當(dāng)時，適合上式，所以考向二 累加法求通項【例2】(2020成都市四川電子科大實(shí)驗中學(xué))設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 【答案】【解析】，所以當(dāng)時，將上式累加得：，即，又時，也適合，【舉一反三】1(2020全國高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足：，則 【答案】【解析】數(shù)列滿足：，當(dāng)n2時，ana1+a2a1+a3a2+anan1 =，2(2020全國高三專題練習(xí))已知在數(shù)列的

4、前項之和為，若，則_【答案】【解析】 .3(2020通榆縣第一中學(xué)校高三期中)已知數(shù)列滿足，則 。【答案】【解析】由，可得，所以，考向三 累乘法求通項【例3】(2020江西九江市)設(shè)數(shù)列an中，a12，an1an，則an_.【答案】【解析】an1an，a12，an0，.當(dāng)n2時，an，a12也符合上式，則an.故答案為：.【舉一反三】1(2020蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué))已知在數(shù)列中，則= 【答案】【解析】，即，2(2020安徽省泗縣第一中學(xué))已知，則數(shù)列的通項公式是 【答案】【解析】由得：，即，則，.，由累乘法可得，又因為，所以.考向四 構(gòu)造法求通項【例4】(2020全國高三專題練習(xí))若，則

5、_.【答案】【解析】原式可化為()，因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：.【舉一反三】1(2020靜寧縣第一中學(xué)高三月考)已知數(shù)列中，(且)，則數(shù)列通項公式為 【答案】【解析】由，知：且()，而，是首項、公比都為3的等比數(shù)列，即，2(2021懷仁市第一中學(xué)校)已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以數(shù)列是一個以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以.所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：3(2020廣東清遠(yuǎn)市高三月考)若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式_.【答案】【解析】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以 故答案為：考向

6、五 倒數(shù)法求通項【例5】(2020四川省閬中東風(fēng)中學(xué)校高三月考)已知數(shù)列滿足：，則 【答案】【解析】因為，所以兩邊取倒數(shù)得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則，【舉一反三】1(2020湖南婁底市)在數(shù)列中，已知，則等于 【答案】【解析】 ， 所以是以 為首項，公差為的等差數(shù)列， ，2(2020四川成都市)若數(shù)列滿足(，)，且，則 【答案】【解析】當(dāng)且，在等式兩邊取倒數(shù)得，且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，因此，.強(qiáng)化練習(xí)1(2020寧夏長慶高級中學(xué)高三月考)已知數(shù)列的前項和為，若，()，則_.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列，；經(jīng)檢驗：不滿足.綜上所述：.故答案為：.

7、2(2020江蘇宿遷市)已知數(shù)列的前項和，則的通項公式為 【答案】【解析】，當(dāng)時，當(dāng)時，上式也成立，3(2020江蘇高三)已知，則數(shù)列的通項公式是 【答案】【解析】由得：，即，則，.，由累乘法可得，又因為，所以.4(2020全國)已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式_【答案】【解析】易知，由，得，當(dāng)時，有，將以上個等式相加得，又，經(jīng)驗證，當(dāng)時符合上式，5(2020岑溪市第一中學(xué))若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_.【答案】【解析】，當(dāng)時，；當(dāng)時，故當(dāng)時，所以故答案為：6(2020全國高三專題練習(xí))在數(shù)列中，則 .【答案】【解析】因為,.7(2020四川遂寧市射洪中學(xué))若數(shù)列滿足：，則_.【答案】【解析

8、】由，累加可得，得，當(dāng)時，也符合，故.故答案為：8(2020吉林長春市長春外國語學(xué)校)設(shè)數(shù)列中，則通項 _【答案】【解析】 ，將以上各式相加得： 故應(yīng)填；9(2020吉林市第二中學(xué))在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為_【答案】【解析】由題意，數(shù)列中，可得，即數(shù)列的通項公式為.故答案為：.10(2020全國高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_【答案】【解析】由題得a12a23a3nan2n，(1)a12a23a3(n-1)an-12n-1,n2，(2)兩式相除得nan2，所以.由題得,滿足.故.故答案為11(2020興仁市鳳凰中學(xué))設(shè)數(shù)列中，則通項_【答案】【解析】因為，所

9、以.即，所以數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列.故，所以.故答案為：12(2020全國高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足，則_【答案】【解析】因為，所以=13(2020全國高三專題練習(xí))為數(shù)列的前項和，若，則_.【答案】【解析】當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，即，因為，所以，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以；故答案為：.14(2020全國)若數(shù)列的前項和，則的通項公式是_【答案】【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：15(2020寧夏長慶高級中學(xué)高三月考)已知數(shù)列的前項和為，若，()，則_.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列，；經(jīng)檢驗：不滿足.綜上所述：.故答案為：.16(2020湖南高三期中)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則_.【答案】【解析】，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，即，故，驗證時成立，故.故答案為：.17(2020羅山縣楠桿高級中學(xué)高三月考)已知數(shù)列的首項，則的通項公式_【答案】【解析】，所以，.故答案為：.18(2020全國)若數(shù)列滿足，且，則_【答案】5050【解析】因為，所以，所以故答案為：505019.(2020廣州市天河外國語學(xué)校)若數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式【答案】【解析】，故答案為：20(2020江蘇省海頭高級中學(xué))已知數(shù)列的首項，則_；_.【答案】 【解析】(1)，；(