行程問題變速問題

1、變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于這種分段變速問題，利用算術(shù)方法、折線圖法和方程方法解題各有特點。算術(shù)方法對于運(yùn)動過程的把握非常細(xì)致，但必須一步一步來；折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；方程的優(yōu)點在于無需考慮得非常仔細(xì)，只需要知道變速點就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推理過程轉(zhuǎn)化成了計算行程問題常用的解題方法有公式法即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；圖示法在一些復(fù)雜的

2、行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具示意圖包括線段圖和折線圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；比例法行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數(shù)值更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件（ 如路程、速度、時間等） 往往是不確定的， 在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題;分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用.這時通常把不勻速的運(yùn)動分 為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都

3、很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多 的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼?模塊一、變速問題【例1】小紅和小強(qiáng)同時從家里出發(fā)相向而行。 小紅每分走52米，小強(qiáng)每分走70米,二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強(qiáng)每分走90米, 則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)兩人的家相距多少米？【例2】 甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反 方向跑去。相遇后甲比原來速度增加 2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒， 結(jié)果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。【例3】（2008年日本小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽）上午8點整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點20分甲與

4、從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍, 乙速度不變；8點30分，甲，乙兩人同時到達(dá)各自的目的地.那么，乙從 B地出發(fā) 時是8點 分.【例4】（難度等級次）A B兩地相距7200米，甲、乙分別從A, B兩地同時出發(fā)，結(jié)果在距B 地 2400 米處相遇如果乙的速度提高到原來的 3 倍，那么兩人可提前10 分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【例5】（難度等級 派）甲、乙兩車分別從A, B兩地同時出發(fā)相向而行，6小時后相遇在C 點 如果甲車速度不變， 乙車每小時多行5 千米， 且兩車還從A ，B 兩地同時出發(fā)相向而行， 則相遇地點距C 點 12 千米； 如果乙車速度不變，

5、甲車速度每小時多行5 千米，則相遇地點距C 點 16 千米甲車原來每小時行多少千米？【鞏固】（難度等級 派）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，5小時后相遇在C 點。如果甲速度不變，乙每小時多行4 千米，且甲、乙還從A 、 B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇點 D 距 C 點 lO 千米；如果乙速度不變，甲每小時多行 3 千米，且甲、乙還從A 、 B 兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇點 E 距 C點 5 千米。問：甲原來的速度是每小時多少千米？6A、 B 兩地間有一座橋 （ 橋的長度忽略不計） ， 甲、 乙二人分別從兩地同時出發(fā)，3 小時后在橋上相遇如果甲加快速度，每小時多走2 千米，而乙提前

6、0.5 小時出發(fā)，則仍能恰在橋上相遇如果甲延遲0.5 小時出發(fā)，乙每小時少走2 千米，還會在橋上相遇則 A 、 B 兩地相距多少千米？7 一列火車出發(fā)1 小時后因故停車0.5 小時，然后以原速的 3/4 前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚 1.5 小時若出發(fā)1 小時后又前進(jìn)90 公里再因故停車 0.5 小時，然后同樣以原速的 3/4 前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚1 小時，那么整個路程為多少公里？1/98 王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了結(jié)果提前一個半小時到達(dá)；返回時，按原計劃的速度行駛280千米后，將車速提 高1/6 ,于是提前1小時40分到達(dá)北京.北京、上海兩市間的路程是多少千米

7、？【例9】 上午8點整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點20分甲與從B地出發(fā)勻速 去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的 3倍，乙速度不變；8點30分, 甲、乙兩人同時到達(dá)各自的目的地.那么，乙從 B地出發(fā)時是8點幾分.【例10（難度等級 ）甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā) 后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時，甲恰好到半山腰。 那么甲回到出發(fā)點共用多少小時？【例11】小華以每小時8/3千米的速度登山，走到途中A點后，他將速度改為每小時2千米，在接下來的1小時中，他走到山頂，又立即下

8、山，并走到 A點上方500 米的地方.如果他下山的速度是每小時4千米，下山比上山少用了 52.5分鐘.那 么，他往返共走了多少千米？【例12（難度等級 派）甲、乙兩車從 A、B兩地同時出發(fā)相向而行，5小時相遇；如果乙車提前1小時出發(fā)，則差13千米到中點時與甲車相遇，如果甲車 提前1小時出發(fā)，則過中點37千米后與乙車相遇，那么甲車與乙車的速度差等 于多少千米/小時？【例13】 甲、乙兩名運(yùn)動員在周長400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行10000米長跑比賽，兩人從同 一起跑線同時起跑，甲每分鐘跑 400米，乙每分鐘跑360米，當(dāng)甲比乙領(lǐng)先整整一 圈時，兩人同時加速，乙的速度比原來快 1 ,甲每分鐘比原來多跑1

9、8米，并且都 4以這樣的速度保持到終點.問：甲、乙兩人誰先到達(dá)終點?【例14】 環(huán)形場地的周長為1800米，甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)相背而行（甲速大于乙速），12分鐘后相遇.如果每人每分鐘多走25米，則相遇點與前次相差33米, 求原來二人的速度.【例15 王剛騎自行車從家到學(xué)校去，平常只用 20分鐘。因途中有2千米正在修路， 只好推車步行，步行速度只有騎車速度的 1,結(jié)果這天用了 36分鐘才到學(xué)校。從3王剛家到學(xué)校有多少千米？【例16】 甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲，乙的速度之 比是5： 4,相遇后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%.這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時， 乙

10、離開A地還有10千米.那么A、B兩地相距多少千米？【例17】 甲、乙往返于相距1000米的A , B兩地.甲先從A地出發(fā)，6分鐘后乙也從A地 出發(fā)，并在距A地600米的C地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B 地休息1分鐘后加快速度向A地返回，并在C地追上乙.問：甲比乙提前多少分鐘 回到A地？【例18】一輛大貨車與一輛小轎車同時從甲地開往乙地，小轎車到達(dá)乙地后立即返回，返回時速度提高50% o出發(fā)2小時后，小轎車與大貨車第一次相遇，當(dāng)大貨車到 達(dá)乙地時，小轎車剛好走到甲、乙兩地的中點。小轎車在甲、乙兩地往返一次需 要多少時間？【例19】 甲、乙兩地間平路占1 ,由甲地去往乙地，上山路千

11、米數(shù)是下山路千米數(shù)的 1 , 一輛汽車從甲地到乙地共行了 10小時，已知這輛車行上山路的速度比平路慢 20% , 行下山路的速度比平路快20%,照這樣計算，汽車從乙地回到甲地要行多長時間？【例20】 甲、乙二人在同一條圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地出發(fā)，沿相反 方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙 的速度是甲的速度的-.甲跑第二圈的速度比第一圈提高了 1,乙跑第二圈的速 33度提高了 1,已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路 5程是190米，問這條跑道長多少米？【例21】 甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一

12、地點向相反方 向跑去.相遇后甲比原來速度增加4米/秒，乙比原來速度減少4米/秒，結(jié)果都 用25秒同時回到原地.求甲原來的速度.【鞏固】從A村到B村必須經(jīng)過C村，其中A村至C村為上坡路，C村至B村為下坡路，A 村至B村的總路程為20千米.某人騎自行車從A村到B村用了 2小時，再從B村返 回A村又用了 1小時45分.已知自行車上、下坡時的速度分別保持不變，而且下 坡時的速度是上坡時速度的2倍.求A、C之間的路程及自行車上坡時的速度.【例22】（ 2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級）歡歡和貝貝是同班同學(xué)，并且住在同一棟樓里.早晨7： 40 ,歡歡從家出發(fā)騎車去學(xué)校，7： 46追上了一直勻速步行的貝貝；看到

13、身穿 校服的貝貝才想起學(xué)校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度提高到原來的2倍，回家換好校服，再趕往學(xué)校；歡歡8:00趕到學(xué)校時，貝貝也恰好到學(xué)校.如果歡歡 在家換校服用去6分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里出發(fā)時是 點 分.【例23】 甲、乙兩人都要從A地到B地去，甲騎自行車，乙步行，速度為每分鐘60米.乙 比甲早出發(fā)20分鐘，甲在距A地1920米的C處追上乙，兩人繼續(xù)向前，甲發(fā)現(xiàn) 自己忘帶東西，于是將速度提高到原來的1.5倍，馬上返回A地去取，并在距離C 處720米的D處遇上乙.甲到達(dá)A地后在A地停留了 5分鐘，再以停留前的速度 騎往B地，結(jié)果甲、乙兩人同時到達(dá) B地.A、B兩地之間的距離是 米

14、.【例24】 小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半 下坡路.小芳上學(xué)走這兩條路所用的時間一樣多.已知下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【例25】（2003年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽）某校在400米環(huán)形跑道上進(jìn)行1萬米比賽，甲、乙兩名運(yùn)動員同時起跑后，乙的速度始終保持不變，開始時甲比乙慢， 在第15分鐘時甲加快速度，并保持這個速度不變，在第18分鐘時甲追上乙并且開始超過乙。在第23分鐘時甲再次追上乙，而在23分50秒時甲到達(dá)終點。那么， 乙跑完全程所用的時間是多少分鐘？【例26】（2003年迎春杯）甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑

15、道勻速跑步.如果出發(fā)時乙的速度是甲的2.5倍，當(dāng)乙第一次追上甲時，甲的速度立即提高 25%,而 乙的速度立即減少20%,并且乙第一次追上甲的地點與第二次追上甲的地點相距 100米，那么這條環(huán)形跑道的周長是 米.【例27如圖所示，甲、乙兩人從長為 400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步。跑道右 半部分（粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、 乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒 4米。兩人一直跑下去， 問：他們第99次迎面相遇的地方距A點還有 米?！纠?8】（2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級）丁丁和樂樂各拿了一輛 玩具甲蟲在400米跑道上

16、進(jìn)行比賽，丁丁的玩具甲蟲每分鐘跑30米，樂樂的玩具 甲蟲每分鐘跑20米，但樂樂帶了一個神秘遙控器，按第一次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的10%倒退1分鐘，按第二次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的20%倒退1分鐘，以此類推，按第N次，使丁丁的玩具甲蟲以原來的速度的 N 10%倒退 1分鐘，然后再按原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，如果樂樂在比賽中最后獲勝，他最少按 次遙控器?！纠?9】 唐老鴨和米老鼠進(jìn)行5000米賽跑.米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的 速度是每分鐘100米.唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用 都能使米老鼠進(jìn)入“麻痹”狀態(tài) 1分鐘，1分鐘后米老鼠就會恢復(fù)正常，遙控器 需要1

17、分鐘恢復(fù)能量才能再使用.米老鼠對“麻痹”狀態(tài)也在逐漸適應(yīng)，第 1次 進(jìn)入“麻痹”狀態(tài)時，米老鼠會完全停止，米老鼠第2次進(jìn)入“麻痹”狀態(tài)時，就會有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度，第20次進(jìn)入“麻 痹”狀態(tài)時已有原速度95%的速度了，這以后米老鼠就再也不會被唐老鴨的遙控 器所控制了 .唐老鴨與米老鼠同時出發(fā)，如果唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米 老鼠跑了多少米的時候第一次使用遙控器 ？【例30】 小周開車前往某會議中心，出發(fā) 20分鐘后，因為交通堵塞，中途延誤了 20分 鐘，為了按時到達(dá)會議中心，小周將車速提高了25%，小周從出發(fā)時算起到達(dá)會議中心共用了多少分鐘？【例31】 （20

18、08年清華附中入學(xué)測試題）如圖，甲、乙分別從 A、C兩地同時出發(fā)，勻 速相向而行，他們的速度之比為5:4,相遇于B地后，甲繼續(xù)以原來的速度向C地 前進(jìn)，而乙則立即調(diào)頭返回，并且乙的速度比相遇前降低-,這樣當(dāng)乙回到C地5時，甲恰好到達(dá)離C地18千米的D處，那么A、C兩地之間的距離是 千米?！纠?2】 甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲車速度為 32千米/時，乙 車速度為48千米/時，它們到達(dá)B地和A地后，甲車速度提高1 ,乙車速度減少1 , 它們第一次相遇地點與第二次相遇地點相距74千米，那么A、B之間的距離是多少千米？【例33】（2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克初賽）上午8點

19、整，甲從A地出發(fā)勻速 去B地，8點20分甲與從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到 原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲、乙兩人同時到達(dá)各自的目的地. 那么， 乙從B地出發(fā)時是8點 分.【例34】 甲、乙往返于相距1000米的A, B兩地.甲先從A地出發(fā)，6分鐘后乙也從A地 出發(fā)，并在距A地600米的C地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B 地休息1分鐘后加快速度向A地返回，并在C地追上乙.問：甲比乙提前多少分鐘 回到A地？【例35】（2005年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽）如圖所示，有 A、B、C、D四個游樂景點，在連接它們的三段等長的公路 AB、BC、CD上，汽車行駛的

20、最高時速限 制分別是120千米、40千米和60千米。一輛大巴車從A景點出發(fā)駛向D景點， 到達(dá)D點后立刻返回；一輛中巴同時從 D點出發(fā)，駛向B點。兩車相遇在C景點， 而當(dāng)中巴到達(dá)B點時，大巴又回到了 C點，已知大巴和中巴在各段公路上均以其 所能達(dá)到且被允許的速度盡量快地行駛，大巴自身所具有的最高時速大于60千米，中巴在與大巴相遇后自身所具有的最高時速比相遇前提高了12.5% ,求大巴客車的最高時速。40【鞏固】從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時千米；在第二段上，汽車速度是每小時 90千米；在第三段上，汽車速度是每小時 50千米.己知第一段公路的長恰好是第三段的2倍，現(xiàn)有兩汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1小時20分后，在第二段從甲到乙方向