新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)23 空間幾何中的平行（學(xué)生版）

1、17/17考點(diǎn)23 空間幾何中的平行知識理解一直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la，a，l，l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb二平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，b，ab如果兩個(gè)

2、平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面線線平行相似比(常用三角形的中位線)構(gòu)造平行四邊形(證明一組對邊平行且相等)平行的傳遞性線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)平面向量空間向量線面平行證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行考向分析考向一 三角形的中位線證線面平行【例1】(2021全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：平面.【方法總結(jié)】三角形中位線證明線面平行思路通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行

3、的直線構(gòu)造三角形中位線【舉一反三】1(2021廣東湛江節(jié)選)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC求證：A1B1平面DEC1.2(2020全國高三專題練習(xí))在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)求證：平面.3(2021南寧市邕寧高級中學(xué)節(jié)選)如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.考向二 構(gòu)造平行四邊形證線面平行【例2】(2020全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)證明：MN平面C1DE；【方法總結(jié)】構(gòu)造平行四邊形證線面平行（1）通過把面外的

4、直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線（2）構(gòu)造平行四邊形，通過一組對邊平行且相等證明平行四邊形（3）利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行【舉一反三】1(2020廣東梅州節(jié)選)如圖，四棱錐PABCD中，E是PD的中點(diǎn)證明：直線平面PAB.2(2021全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.3(2021河南洛陽市節(jié)選)在棱長為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面考向三 三角形相似比證線面平行【例3】(2021內(nèi)蒙古赤峰市高三月考節(jié)選)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時(shí)，直線平面【舉一反三】1(2021浙江杭州市高三期末節(jié)選)在三棱錐中，為

5、等腰直角三角形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.若，.()求證：平面；2(2020江西吉安市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，求證：平面考向四 面面平行的性質(zhì)證線面平行【例4】(2021江西宜春市節(jié)選)如圖所示，在多面體中，四邊形為矩形，證明：平面【方法總結(jié)】面面平行的性質(zhì)證明線面平行1：把線放在某個(gè)平面或構(gòu)造一個(gè)平面與之平行2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行【舉一反三】1(2020全國高三月考節(jié)選)斜三棱柱中，設(shè)中點(diǎn)為，且，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面2 .(2021寧夏吳忠市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D、E、F分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，

6、G為AD的中點(diǎn)，求證：平面BDE考向五 證明線線平行-線面垂直的性質(zhì)【例5】(2021江西贛州市節(jié)選)在如圖所示的幾何體中，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；【舉一反三】1如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，證明：直線平面；2如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD平面BCE，平面ABCD，求證：平面ABCD 考向六 面面平行【例6】(2020江西省奉新縣第一中學(xué)節(jié)選)如圖，在多面體中，面為正方形，面和面為全等的矩形，求證：平面平面【舉一反三 】1(2021武漢市第一中學(xué)節(jié)選)如圖所示，多面體中，四邊形為菱形，求證：平面平面2(2021山西呂梁市節(jié)

7、選)正方體，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面3(2021安徽高三期末節(jié)選)如圖，在四棱柱中，底面是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，證明：平面ACE強(qiáng)化練習(xí)1(2021安徽淮南市節(jié)選)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC與BD的交點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，求證：平面PAD2(2021河南高三月考節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，平面2(2020江西吉安市高三節(jié)選)在四棱錐中，底面四邊形是邊長為1的正方形，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面3(2021江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選)如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；4(2021廣西河池市節(jié)選)如圖，在長方體中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，證明

8、：平面5(2021安徽蚌埠市高三二模節(jié)選)如圖，已知四邊形和均為直角梯形，且，.，求證：平面6(2021河南節(jié)選)如圖，在長方體中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，證明：平面7(2021河南駐馬店市高三期末節(jié)選)如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上(不含端點(diǎn))的動點(diǎn)，證明：平面；8(2021山西運(yùn)城市高三期末節(jié)選)如圖，在幾何體中，四邊形為等腰梯形，且，四邊形為矩形，且，M，N分別為，的中點(diǎn)，求證：平面9(2021安徽黃山市節(jié)選)已知四棱錐中，設(shè)平面平面，求證：10(2021江蘇蘇州市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，對角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面，求的值;11(2021安徽六安市高三一模節(jié)選)如圖，在四棱錐中，E是PD的中點(diǎn)，證明：平面PBC12(2021浙江臺州市高三期末節(jié)選)如圖，在三梭柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面13(2021江西高三其他模擬節(jié)選)如圖，已知四邊形為菱形，對角線與相交于O，平面平面直線，求證：14(2020全國高三專題練習(xí))如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，D