從一個疑惑中所引出的圓錐曲線焦點弦性質(zhì)

1、 PAGE 6從一個疑惑中所引出的圓錐曲線焦點弦性質(zhì)吳享平（福建省廈門第一中學(xué)361000）.“疑惑”的分析與解答 文的問題213有如下一道題：題目： 直線過拋物線的焦點F，且交拋物線于P，Q兩點，由P，Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR，QS，垂足分別為R，S，如果M為RS的中點，則等于 。問題提出者給出了兩種解法：解法所得結(jié)果為MF|=；解法得到結(jié)果為MF，由于得到了兩個不同結(jié)果，從而對以上兩種解法和題目產(chǎn)生了疑惑，筆者再給出如下的解法：解法：（如圖所示）拋物線的焦點F,準(zhǔn)線：，設(shè)直線PQ的方程為：,P,則聯(lián)立消去x得，由此可得，于是M，又由=得，將（*）式代入（*）式得.所得結(jié)果與解法、解法所得結(jié)果

2、都不相同，難道真是解法或題目有問題嗎？事實上，題目本身并沒有問題（當(dāng)然，再加上條件會更嚴(yán)密些），解法、解法以及筆者的解法所得結(jié)果都是正確的（因為他們是等價的），由于拋拋物線的焦點弦有如下一個性質(zhì)：性質(zhì)：對于拋物線，若存在過焦點F的弦PQ,使得FPa，F(xiàn)Qb（），則.證明：（如圖所示）不妨設(shè)a,準(zhǔn)線與x軸交于點N，當(dāng)時過Q作QG/分別交x軸與直線PR于E,G兩點，則與相似，由相似比可得，于是；）當(dāng)a=b時，由拋物線定義知顯然成立。綜上述），）知結(jié)論成立.證明：以為極點，射線FX為極軸（單位長不變）建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線PQ的傾斜角為，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得

3、兩式相加得.由以上性質(zhì)知，拋物線的焦參數(shù)p由題設(shè)中的a,b唯一確定，即.將代入（）式得FM|=.同樣，將代入解法的結(jié)果得.因此，題目、解法、解法以及筆者的解法都是正確的。.圓錐曲線焦點弦的共性探究受證明的啟發(fā)，我們不難得到三種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的焦點弦被該焦點所內(nèi)分成的兩條焦半徑的一個共同性質(zhì)：定理：如果圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）C的焦點弦被該焦點所內(nèi)分成的兩條焦半徑長分別為a和b，p為該圓錐曲線C的焦點F到其對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為該圓錐曲線C的離心率，那么成等差數(shù)列（或稱是與的等差中項）。即.證明：以該圓錐曲線C的焦點F為極點，F(xiàn)x為極軸（如圖所示）建立極坐標(biāo)系，則圓錐曲線的

4、極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線PQ的傾斜角為，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得兩式相加得.（雙曲線時，由焦點F內(nèi)分，滿足）。由于圓錐曲線的通徑（即與圓錐曲線的焦點所在的對稱軸垂直的焦點弦）長為，由此可得如下推論。推論：對于確定的圓錐曲線C，其焦點弦被該焦點所內(nèi)分成的兩條焦半徑長的倒數(shù)和為定值，這個定值為通徑長的倒數(shù)的4倍。定理：如果線段AB是圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）C的一條通過焦點F的焦點弦，焦點F分有向線段的定比分點的比值為，直線AB與圓錐曲線C的焦點F所在的對稱軸的夾角為（），p為該圓錐曲線C的焦點F到其對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為該圓錐曲線的離心率，則且.證明：以該圓錐曲線C的焦點F為極點，

5、Fx為極軸（如圖所示）建立極坐標(biāo)系，設(shè)焦點F到圓錐曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，則圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線AB的傾斜角為（），設(shè)A、B點的極坐標(biāo)分別為，則；，由于，.且AB（無論F是內(nèi)分有向線段,還是外分有向線段（A,B在雙曲線不同支）、兩式均成立）.更加有趣的是：將與兩式中的都用替換代入，化簡后表達式不變。因此無論是F分的比值，還是F分的比值，公式：與均成立.定理的應(yīng)用例1.（2010年高考全國卷理科）已知橢圓的離心率為，過右焦點F且斜率為的直線與C相交于A，B兩點，若，則k= （ ）（A）1 （B） （C） （D）2解:由定理得，又由斜率k0,D正確選項為（B）。例2.（2010年高考

6、全國卷（）理科）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓C的離心率為 。解：如圖，設(shè)，在中可得，又由定理得.例3.過雙曲線C:的右焦點F作直線與該雙曲線相交于A,B兩點，若弦長|AB|=且，則。解：雙曲線C:的，由定理得解得：為，或共四個值.例4.(2011年浙江高考理科17題）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點，點A，B在橢圓上。若則點A的坐標(biāo)是 。解：如圖，延長交橢圓于點，由橢圓的對稱性得，設(shè)直線與x軸的夾角為，該橢圓的,，由定理得（若在此，通過數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)A為短軸端點，就可很快獲得結(jié)果；否則，記則，又由定理得即，設(shè)則A為短軸兩端點）點A的坐標(biāo)為.例

7、5.（2010年高考遼寧卷理科）設(shè)橢圓的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線的傾斜角為（）求橢圓C的離心率；（）如果求橢圓C的方程。解：（）由定理得，解得離心率；（）由得，于是解得，所求橢圓方程為. 例6.已知過拋物線的焦點F的一條焦點弦，被焦點F所分成的兩條焦半徑長分別記為和5，（）求此拋物線的方程；（）求這條焦點弦所在直線的方程。解：（）由定理得，于是所求拋物線方程為；（）由定理得又直線的斜率，焦點弦所在直線方程為.例7.通過拋物線的焦點F的任意一條焦點弦，被焦點F所分成的兩條焦半徑長分別記為m,n。（i）求m,n的取值范圍；（ii）求2m+n的最小值.解：（i）設(shè)P是拋物線上的任意一點，由拋物線定義知PF|=1+,；（ii），由定理得 當(dāng)且僅當(dāng)（此時） 時取到等號，.例8.已知通過橢圓C：左焦點F的n條直線（），且與該橢圓相交所得到的焦點弦