從一個(gè)疑惑中所引出的圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)

1、 PAGE 6從一個(gè)疑惑中所引出的圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)吳享平（福建省廈門第一中學(xué)361000）.“疑惑”的分析與解答 文的問(wèn)題213有如下一道題：題目： 直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，由P，Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR，QS，垂足分別為R，S，如果M為RS的中點(diǎn)，則等于 。問(wèn)題提出者給出了兩種解法：解法所得結(jié)果為MF|=；解法得到結(jié)果為MF，由于得到了兩個(gè)不同結(jié)果，從而對(duì)以上兩種解法和題目產(chǎn)生了疑惑，筆者再給出如下的解法：解法：（如圖所示）拋物線的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線：，設(shè)直線PQ的方程為：,P,則聯(lián)立消去x得，由此可得，于是M，又由=得，將（*）式代入（*）式得.所得結(jié)果與解法、解法所得結(jié)果

2、都不相同，難道真是解法或題目有問(wèn)題嗎？事實(shí)上，題目本身并沒(méi)有問(wèn)題（當(dāng)然，再加上條件會(huì)更嚴(yán)密些），解法、解法以及筆者的解法所得結(jié)果都是正確的（因?yàn)樗麄兪堑葍r(jià)的），由于拋拋物線的焦點(diǎn)弦有如下一個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)：對(duì)于拋物線，若存在過(guò)焦點(diǎn)F的弦PQ,使得FPa，F(xiàn)Qb（），則.證明：（如圖所示）不妨設(shè)a,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)過(guò)Q作QG/分別交x軸與直線PR于E,G兩點(diǎn)，則與相似，由相似比可得，于是；）當(dāng)a=b時(shí)，由拋物線定義知顯然成立。綜上述），）知結(jié)論成立.證明：以為極點(diǎn)，射線FX為極軸（單位長(zhǎng)不變）建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線PQ的傾斜角為，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得

3、兩式相加得.由以上性質(zhì)知，拋物線的焦參數(shù)p由題設(shè)中的a,b唯一確定，即.將代入（）式得FM|=.同樣，將代入解法的結(jié)果得.因此，題目、解法、解法以及筆者的解法都是正確的。.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的共性探究受證明的啟發(fā)，我們不難得到三種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的焦點(diǎn)弦被該焦點(diǎn)所內(nèi)分成的兩條焦半徑的一個(gè)共同性質(zhì)：定理：如果圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）C的焦點(diǎn)弦被該焦點(diǎn)所內(nèi)分成的兩條焦半徑長(zhǎng)分別為a和b，p為該圓錐曲線C的焦點(diǎn)F到其對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為該圓錐曲線C的離心率，那么成等差數(shù)列（或稱是與的等差中項(xiàng)）。即.證明：以該圓錐曲線C的焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸（如圖所示）建立極坐標(biāo)系，則圓錐曲線的

4、極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線PQ的傾斜角為，于是|FP|=a,FQ|=b,由此可得兩式相加得.（雙曲線時(shí)，由焦點(diǎn)F內(nèi)分，滿足）。由于圓錐曲線的通徑（即與圓錐曲線的焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的焦點(diǎn)弦）長(zhǎng)為，由此可得如下推論。推論：對(duì)于確定的圓錐曲線C，其焦點(diǎn)弦被該焦點(diǎn)所內(nèi)分成的兩條焦半徑長(zhǎng)的倒數(shù)和為定值，這個(gè)定值為通徑長(zhǎng)的倒數(shù)的4倍。定理：如果線段AB是圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）C的一條通過(guò)焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)F分有向線段的定比分點(diǎn)的比值為，直線AB與圓錐曲線C的焦點(diǎn)F所在的對(duì)稱軸的夾角為（），p為該圓錐曲線C的焦點(diǎn)F到其對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為該圓錐曲線的離心率，則且.證明：以該圓錐曲線C的焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，

5、Fx為極軸（如圖所示）建立極坐標(biāo)系，設(shè)焦點(diǎn)F到圓錐曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，則圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線AB的傾斜角為（），設(shè)A、B點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，則；，由于，.且AB（無(wú)論F是內(nèi)分有向線段,還是外分有向線段（A,B在雙曲線不同支）、兩式均成立）.更加有趣的是：將與兩式中的都用替換代入，化簡(jiǎn)后表達(dá)式不變。因此無(wú)論是F分的比值，還是F分的比值，公式：與均成立.定理的應(yīng)用例1.（2010年高考全國(guó)卷理科）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若，則k= （ ）（A）1 （B） （C） （D）2解:由定理得，又由斜率k0,D正確選項(xiàng)為（B）。例2.（2010年高考

6、全國(guó)卷（）理科）已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓C的離心率為 。解：如圖，設(shè)，在中可得，又由定理得.例3.過(guò)雙曲線C:的右焦點(diǎn)F作直線與該雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|=且，則。解：雙曲線C:的，由定理得解得：為，或共四個(gè)值.例4.(2011年浙江高考理科17題）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上。若則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 。解：如圖，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性得，設(shè)直線與x軸的夾角為，該橢圓的,，由定理得（若在此，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)A為短軸端點(diǎn)，就可很快獲得結(jié)果；否則，記則，又由定理得即，設(shè)則A為短軸兩端點(diǎn)）點(diǎn)A的坐標(biāo)為.例

7、5.（2010年高考遼寧卷理科）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為（）求橢圓C的離心率；（）如果求橢圓C的方程。解：（）由定理得，解得離心率；（）由得，于是解得，所求橢圓方程為. 例6.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的一條焦點(diǎn)弦，被焦點(diǎn)F所分成的兩條焦半徑長(zhǎng)分別記為和5，（）求此拋物線的方程；（）求這條焦點(diǎn)弦所在直線的方程。解：（）由定理得，于是所求拋物線方程為；（）由定理得又直線的斜率，焦點(diǎn)弦所在直線方程為.例7.通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的任意一條焦點(diǎn)弦，被焦點(diǎn)F所分成的兩條焦半徑長(zhǎng)分別記為m,n。（i）求m,n的取值范圍；（ii）求2m+n的最小值.解：（i）設(shè)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線定義知PF|=1+,；（ii），由定理得 當(dāng)且僅當(dāng)（此時(shí)） 時(shí)取到等號(hào)，.例8.已知通過(guò)橢圓C：左焦點(diǎn)F的n條直線（），且與該橢圓相交所得到的焦點(diǎn)弦