人教B版（2019）必修第四冊第十一章 立體幾何初步 本章小結 學案（Word版無答案）

1、第十一章 小結一、教材內(nèi)容分析本節(jié)課主要復習平面的基本事實與推論、直線與平面、平面與平面的平行及垂直關系的判定、性質定理及其簡單應用。線、面的垂直關系是空間位置關系中的核心內(nèi)容之一，是線面關系中特殊而且重要的一種位置關系，是平面內(nèi)平行、垂直關系的拓展，是學生進一步研究空間距離和夾角的基礎，在教材中起到了承上啟下的作用。同時，線、面關系中特殊而且重要的一種位置關系，是平面內(nèi)平行、垂直關系的拓展，是學生進一步研究空間距離和夾角的基礎，在教材中起到了承上啟下的作用。同時，線、面垂直關系的轉化，能較好的培養(yǎng)和提高學生的轉化意識和能力，對學生的空間想象能力的提高有舉足輕重的作用。二、教學目標通過實例進一

2、步掌握平面的基本事實與推論，用平面的基本事實正面點共線、線共點、點線共面三個典型問題通過實例進一步掌握空間中線線、線面、面面平行關系的相互轉化和綜合應用，掌握空間問題和平面問題的轉化通過實例進一步掌握空間中線線、線面、面面垂直關系的相互轉化和綜合應用，掌握空間問題和平面問題的轉化三、教學重點、難點重點：空間中線線、線面、面面平行關系的相互轉化和綜合應用、線線、線面、面面垂直關系的相互轉化和綜合應用難點：空間問題和平面問題的轉化四、教學方法講練結合考點1：截面、共點、共線、共面問題如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.【變式練習

3、】如圖所示的幾何體中，且，.求證:直線，相交于同一點.例2如圖，在正方體中，是的中點，畫出過點，的平面與平面的交線，并說明理由.【變式練習】在棱長為4的正方體中，點分別為的中點，則過三點的平面與正方體各個面的交線組成的平面多邊形的面積為（ ）ABCD【解題方法】1.平面的基本性質的應用公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).2.證明點共線問題的常用方法（1）公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上；（2）同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在

4、該直線上.3.證明線共點問題的方法,先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.4.證明點、直線共面問題的常用方法（1）納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi)；（2）輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合.考點2：空間中的位置關系例3. 設m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題中，正確的是（ ）A若m，n與所成的角相等，則m/n B若，m/，則mC若m，m/，則 D若m/，n/，則m/n【變式練習】設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則考點3：空間中的平行關

5、系例4.如圖，在三棱臺DEFABC中，AB2DE，點G，H分別為AC，BC的中點求證：BD平面FGH.例5. 如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2eq r(17).點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積例6. 如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)證明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面B1D1C直線l，證明：B1D1l.【解題方法】1線線、線面、面面平行間的轉化其中線面平行是核心，線線平行是基礎，

6、要注意它們之間的靈活轉化2直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面面平行的性質3平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.考點4：空間中的垂直關系例7.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.例8.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.例9. 如圖，在三棱錐ABCD中

7、，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【解題方法】1證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：eq blc rc(avs4alco1(m、n，mnA,lm，ln)l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質：，aa；(5)面面垂直的性質：，l，a，ala.2證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質：a，bab；(4)線面垂直的性質：a，bab.3證明面面垂直的方法(

8、1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4轉化思想：垂直關系的轉化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決考點5：空間角的計算例10.如圖，二面角的大小是60，線段.，與所成的角為30.則與平面所成的角的正弦值是 .例11. 已知三棱柱的所有棱長均相等，側棱平面，過作平面與平行，設平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關系為( )ABCD例12.已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）設SE與BC所成的角為，SE與平面ABCD所成的角為，二面角

9、S-AB-C的平面角為，則（ ）BCD【解題方法】1.求異面直線所成的角的一般步驟(1)找出(或作出)適合題設的角用平移法,遇題設中有中點,?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且直線對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點,使異面直線轉化為相交直線.(2)求轉化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形,求出所找的角.(3)結論設由(2)所求得的角的大小為.若090,則為所求;若90180,則180-為所求.2. 求直線和平面所成角的步驟:尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;連接垂足和斜足間得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;把該角歸結在某個三角形中,通過解三角形

10、,求出該角.3. 方法一(定義法):在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖所示,AOB為二面角-a-的平面角.方法二(垂線法):過二面角的一個面內(nèi)的一點作另一個平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.如圖所示,AFE為二面角A-BC-D的平面角.方法三(垂面法):過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即二面角的平面角.如圖所示,AOB為二面角-l-的平面角. 第十一章測試題一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知空間中不

11、過同一點的三條直線m,n,l,則“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.下列說法不正確的是()A.空間中,一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B.同一平面的兩條垂線一定共面C.過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一平面內(nèi)D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直3.已知圓錐的底面半徑為1,且它的側面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的體積為()A.B.C.D.4.如圖所示,有一個圓柱,在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻,它想吃到上底面的點B處的食物.當圓柱的高等于12 cm,底面

12、半徑為3 cm時,螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程是(=3)()A.12 cmB.13 cmC.15 cmD.18 cm5.設,為兩個平面,則的充要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行C.,平行于同一條直線D.,垂直于同一平面6.如圖,在矩形ABCD中,EFAD,GHBC,BC=2,AF=FG=BG=1,現(xiàn)分別沿EF,GH將矩形折疊,使得AD與BC重合,則折疊后的幾何體的外接球的表面積為() A.B.C.6D.247.如圖,點N為正方形ABCD的中心,ECD為正三角形,平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點,則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BMEN,

13、且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BMEN,且直線BM,EN是異面直線8.設三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側棱長均相等,P是棱VA上的點(不含端點),記直線PB與直線AC所成角為,直線PB與平面ABC所成角為,二面角P-AC-B的平面角為,則()A.,B.,C.,D.,二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.設l為直線,是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是()A.若l,l,則B.若l,l,則C.若l,l,則D.若,l,則l10.如圖,在

14、三棱錐P-ABC中,已知PCBC,PCAC,點E,F,G分別是所在棱的中點,則下面結論正確的有()A.平面EFG平面PBCB.平面EFG平面ABCC.BPC是直線EF與直線PC所成的角D.FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角11.如圖,在正方體ABCD -A1B1C1D1中,點P在面對角線AC上運動,則下列結論正確的為()A.D1P平面A1BC1B.D1PBDC.平面PDB1平面A1BC1D.三棱錐A1 -BPC1的體積不變12.如圖,在四棱錐S -ABCD 中,底面ABCD 為正方形,且SA=SB=SC=SD ,其中E,M ,N分別是 BC,CD,SC 的中點,動點P在線段MN上

15、運動時,下列結論正確的是()A.EPACB.EPBDC.EP平面SBDD.EP平面SAC三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.湖面上漂著一個小球,湖水結冰后將球取出,冰面上留下一個直徑為12 cm、深2 cm的空穴,則該球的半徑是cm,表面積是cm2.14.在正方體ABCD-ABCD中,過對角線BD的一個平面交AA于點E,交CC于點F,則:四邊形BFDE一定是平行四邊形;四邊形BFDE有可能是正方形;四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形;平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上結論正確的為.(寫出所有正確結論的編號)15.如圖所示,以等腰直角三角形ABC斜邊BC上

16、的高AD為折痕.使ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面,則:(1)BD與CD的關系為;(2)BAC=.16.已知ACB=90,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為.四、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)如圖,已知點E,F,G,H分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點,求證:EF,HG,DC三線共點.18.(12分)如圖,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN平面C1DE.(2)求點C到平面C1DE的距離.19.(12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BEEC1.(1)證明:BE平面EB1C1.(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.20.(12分)如圖,已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別為A1B和A