彈性力學題楊桂通課后答案匯總

1、zj.一組：蔡曉光馬彥波王露萌韓1Al史美珺；題目楊桂通P27,16、P28,1（P27,3未找到）12P27,2-1,已知一點處的應(yīng)力狀態(tài)為10X103Pa，試求該點處的最大主應(yīng)力及主方向。解：11x+Qy+Qz二12+10+0二22IQ+QQ+QQ2Z2Z2Z2=10X10+0+06200=84yzzxXYyzzx12606100Q3一IQ2+IQ-I=0解三次方程n1n2n3Q322q2+84qnn可得Q=0(2土*0224x8417.083X103Pa4.917X103Pa故q1二17.083X103PaQ2二4.917X103PaQ3二0即該點處的最大主應(yīng)力為17.083x103Pa

2、當q二17.083x103Pa時n1(QQ)l+Tl+Tl=0 xn1xy2xz3Tl+(QQ)l+Tl=0TOC o 1-5 h zxy1yn2yz3Tl+Tl+(QT)l=0 xz1yz2zn3即(1217.083)x1031+6x1031+0 xl=01236x103l+(1017.083)x103l+0 xl=01230 xl+0 xl+(0-17.083)x1031=0123又由+12+131可得1=0.7631=0.6461=0123123由1=cos(nx)=0.763得(nx)=40.27。=40。16因此該點處的最大主應(yīng)力為17.083x103Pa主方向為b與x軸的夾角為40

3、。16,1P27,2-2,試用初等理論求出受均布荷載作用的簡支梁(矩形截面)的應(yīng)力狀態(tài)，并校核所得結(jié)果是否滿足平衡方程與邊界條件解：由材料力學可知：bx駕=7(8q12一2qx2)=Ay一Bx2yxy孚=-翠-L=-Cx+Bxy2A=qi2b=qc=仁A=莎，21,81fab肛x+xy=0dxqTxy+dyaby=0dxdy把上式代入到第一個平衡方程中去，滿足由第二個方程得dTy3b=-fxydy=Cy一B+Dydx3平衡方程：利用邊界條件：y-h/2=0，得D=-q滿足邊界條件byy-h/2由第二式可知，它滿足上下兩個表面的邊界條件：Txy=0ql由左右邊界上1為txydy=q、邁1x2利用

4、圣維南原理知其邊x2界條件滿足P27,2-3，試證在坐標變換時，I為一不變量。P27，2-4，已知下列應(yīng)力狀態(tài)&j=83x105Pa，試求八面體正應(yīng)力11與剪應(yīng)力。5解：由&.3ij83803x105P可得a311i&+&+&5+0+11161XYZI&+&+&-T2-T265x0+0 x11+5x1133&-27XYYZZXxyyzzx538i303038311解三次方程&3-1&2+I&-I-0 x1x2x3即&316&227&0可得xxx=2(16162+4x27)17.539x105pa1.539x105pa即&17.539x105pa&0&1.539x105pa1231八面體上的正應(yīng)

5、力為：二+)二5.333x105paz3123八面體上的剪應(yīng)力為：T二bP丿2+(b2P丿2+(b3P丿2二8.653X105paz3122331故八面體上的正應(yīng)力為5333X105pa剪應(yīng)力為8.653X105pa5,試求出下列情況的邊界條件(坐標系如圖所示)(b)解，5,(a)1)題中已給出坐標系oxy,2)求方向余弦，已知邊界s與x組成角，故有:I=cos(n,x)=sinbxi=cos(n,y)=cosbzzj.Xzj3)s邊受力為;=p-Sinafpql+zl4)由pxxix+zxy廠可得Vyyzxyxp-cosx二Q-sin卩+Z-cos卩p-sinx二Q-cos卩+Z-sin卩y

6、xyQ=_T得邊界條件為xQ=_T、yxy-tan卩+P-tan卩+Pcosa卩卩xycosa(b)1)題中已給定坐標系oxy2)求方向余弦，已知邊界s與x軸成0度角，故有I=cos(n,x)=cos90o=0y=cos(n,x)=cos0o=1z3)邊界受力為=pCOSap=pSinay”p=Q/+T/px=Qxlx+TxylZ可得,、yyzxyxcosx=Tsinx=QxyyQ=psina2ky得邊界條件為T=pcosxIxyC)1)題中已給定坐標系oxy.2)求方向余弦，邊界S與X軸成三角，故有=cos(n,x)=-sinoi=cos（n，y）=cosozp=p=03)S邊界為自由邊界，

7、則有：P=Gl+Tlxxxxyz4）|px=Gl+Tl可得yyzxyx0=-Q-sin0+T-cos00=-Q-cos0-T-sin0yxyQ=T-cos0得邊界條件為VQx=Txy.tan0yxy（d）1）題中已給定坐標系oxy,2）求方向余弦，邊界S與X軸成0角，故有I=cos（n,x）=-sin0 xI=cos（n,y）=cos0z3）S邊界受力為：p=pgh.sin0，p=pghcos0 xy”P=Ql+Tl八亠Qxx7xxy7z4）由p=Q/+T/VyyzxyxPgh.sin0=-Q.sin0+Tcos0-Pgh.cos0=Q.cos0-Tsin0yxyQ得邊界條件為VqxVy=-P

8、gh+Tcot0=-Pgh+Ttan0 xy(e)1)題中已給定坐標系Oxy2)求方向余弦，已知邊界S與x軸成90度角，故有l(wèi)=cos(n,x)=sin900=1xl=cos(n,y)=cos900=0Z3)S邊界受力為p=-pgh,p=0 xyp=Ql+Tl八出QxxxxyZrznTOC o 1-5 h z4）由p=Ql+Tl可得JyyZxyxpgh=o+0 HYPERLINK l bookmark61 Qx0=T+0得邊界條件為Ixyo=pghxT=0Jxy2-6，設(shè)圖中短柱體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，試證在牛腿尖端C處的應(yīng)力等于零。p=Pog（h一y）,p=0 xxyl=1,m=0;p=lo+m

9、T=o=pg（hy）xxxyxpIt+mo=t=0yxyyxyAC:l=0,m=1;p=lo+mT=t=0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark73 xxxyxyp=It+mo=o=0yxyyyBC:l=sinm=cos申p=lo+mT=tsinqo+cosqT=0 xxxyxyxxyp=It+mo=sinqT+cosqo=0yxyyxyy由（1）和（2）得:o=0,o=0,T=0 xyxy3-1,已知下列位移，試求指定點的應(yīng)變狀態(tài)。卩=(3X2+20)xlO-2,v=(4xy)xlO-2在(0,2)點處;卩=(6X2+15)xIO-2,v=(8zy)xIO-2,

10、w=(3Z2-2xy)x10-2，在(1,3,4)點處;解：（1）應(yīng)變X量可完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài),ijTOC o 1-5 h z沖1/沖Ov、(+)dx2dxdx在二維情況下，ije卩Ov、dv(+)OyOxOyOO-2由題知，卩=(3x2+20)x10-2,v=(4xy)x10由題知，卩=(6x+15)xlO-2,v=(8zy)xlO-2,=(3Z22xy)xlO-2則g=ij6x1O-2x2x1O-2y2x1O-2y4x1O-2xO4O在點（0,2）處，ij0 x10-20在三維情況下，gijOyOx1(空+空)2OxOy1(Oy2Oz*型)Ox2(Ox+OvOyOv-(+OzOyOw(

11、+) HYPERLINK l bookmark234 OxOy HYPERLINK l bookmark43 OvOw(+) HYPERLINK l bookmark424 OxOyOwOz12x0y則jij08z4y一xx10-2y4yx6z在三維情況下，ijdx1即仏-(+)2dxdy/dxd、-(+)dzdx1(dvdp)2(卩)!(嘰空)2dzdxdydvd-(+)dzdydv(dxdd由題知，p=(6x2+15)x10-2,v=(8zy)x10-2,=(3z22xy)x10-212x則=ij0y08z4yx一y4yxx10-26z在點（1,3,4）處，ij120032311x10-2

12、31124二組：周東升、武帥萌、宋光仁、曹進海、黃辰題目：楊桂通書P38,25；P94,13（P94,2沒找到）3-2試證明在平面問題中下式成立：+=+xyx,y,證明：設(shè)X軸和X軸的交角為9，貝V：+=匕+匕cos20+ysin20 x，22xy8+88-88y,到)兀（在上式以9+-代0得2y-ycos20-Vsin2022xy其中中廠為剪應(yīng)變。上面?zhèn)z式相加即得:8+8=8+8xyx,y,證畢。3-3已知應(yīng)變X量-0.0068=0.002ij0-0.0020-0.004000（a）主應(yīng)變（b）主應(yīng)變方向（c）八面體剪應(yīng)變（d）應(yīng)變不變量解：（a）8由ij-0.006-0.0020=0.00

13、20-0.0040可得，應(yīng)變不變量為：I,=8+8+8=-0.006-0.004+0=-0.0101xyzI,=88+88+882xyyzzx=0.0000240.00000482+82+82)xyyzxz=0.000020.0060.00200.0020.0040=000083I,82+I,8I,=0解方程n1n2n3代入解得8=2.764x10-3,8=7.236x10-3,8=0123(b)8=2.764x103時，有：1(-0.006+2.764)S-0.002S=0-0.002S+C0.004+0.007236)S=0 xy且有：S2+S2+S2=S2=1xyzn可得：S=0.525

14、739x可得主應(yīng)變81與X軸的夾角為12143,(c)丿八面體的剪應(yīng)變?yōu)椋簓=?k-8+(8-8+(8-83122331I310.O。7236+O.O。27641+(-O.O。2764+(0-0072361】2=5.96x10-3(d)應(yīng)變不變量為：D=8+8+8=-0.011xyzD=88+88+88-y212xyxzyz4xy4y2xz1y2=2.3x10-54yz3-4=8=0ij試說明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能a)8ijC(X2+y2)Cxy0CxyCy20解：8b)ijC(x2+y2)zCxyz0CxyzCy2z0d28xd28+(a)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為Qy2Qx2dxdyd糾xyd28Q28

15、由于+y=2C+0=2C由于Qy2Qx2yxy=28=2Cxyxyd2丫d28d28x+ydy2dx2二2Cd糾xy帝y成立，故應(yīng)變狀態(tài)存在。d28d28d糾e)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為詣+話二旋yd28Q28y+z_Qz2Qy2Q糾yz(2)Q28Q28Q27z+x=xz_cQx2Qz2QzQx2QL丄QyQzQx(Q伙說yz+xz+xy/QxQyQz丿()Q282匕QzQxQ(QyQyyzxzQy、+xyQz丿(5)Q28zQxQyQ(QQyyz+xzQz(QxQyQy、xyQz丿(6)對于式，2C+0二2Cz成立;對于(2)式，0二0成立；對于(3)式，0+0二0成立；對于(4)式，4Cy豐2Cy

16、不成立;對于(5)式，0豐2Cx不成立；對于(6)式，0二0成立；由于對(4)(5)不成立，故應(yīng)變狀態(tài)不可能存在。3-5試求下列正方形單元在純剪應(yīng)變狀態(tài)時，剪應(yīng)變y與對角線應(yīng)變8之間的xyOB關(guān)系。Y解：如圖可知:設(shè)如圖OA二|AB|二ds,則OB=-Jlds卩=卩COS45。=J/i_卩 HYPERLINK l bookmark338 x20B變形量為u,則卩二卩cos45。=72卩y2卩_卩_富卩oOB|OB|42ds2ds卩卩中卩由定義可知：xyAB邏ds2ds得：ooOBxy由變形與應(yīng)變的推導公式：1卡即Quo_Y或Ya2o+xy2xyxyxyQyQx0OBxy12Yxy可得：故:0O

17、B12Yxy5-1試用逆解法求圓截面柱體扭轉(zhuǎn)問題的解。（提示參考初等問題的解答。如柱體的軸線為軸，則假定QQQT0 xyzxy）d4d4d4G=G=G=T=0解：由茜+2時+莎=0，x=y=z=xy=0，則d2(x,y,z)dydzxd2(x,y,z)上dxdzd2(x,y,z)Txydxdyd2(x,y,z)dxdydzfyy又由于正應(yīng)力都為0,x,y面的切應(yīng)力也為0,則，u=叫v=g,w=0。5-2設(shè)一物體內(nèi)的位移分量為卩=u=0,=（z）。試求位移函數(shù)（z）解：(1)由幾何方程求解應(yīng)變分量：dwyzdzYxy2)=Y=Y=0yzzx由物理方程求解應(yīng)力分量：EEug=8+80=2口8+X0

18、8,0=8ij1+uiju+u)(2u)ijijijkkdwG=G=人-xydzG=匕+zT=T=T=0 xyyzzx3）利用平衡微分方程求解前兩個方程滿足，由第三個方程有:對該式積分得：W=CZ+C（CC為常數(shù)）1212不考慮剛體位移則：C2=0W二CZ25-3試求解例5-2中的梁在中點受集中力作用時的彈塑性彎曲問題。三組：馬志旺王浩楊恒杰X哲耿玲題目：楊桂通書P130,176-1求下圖中給出的圓弧曲梁內(nèi)的應(yīng)力分布。提示：（1）選用極坐標；（2）應(yīng)力函數(shù)取申=f（r）sin0zjbX解:d4f+rd3f+1d2f+上d4f-1=0dx42dx3r2dx2r3dx4r4f(r)=Ar4Cr+D

19、rInrAr4+DrInr丿sin0(a=2Ar-rI(a=6Ar+0(TOC o 1-5 h zt=2Ar-r0.2BD).q+一sm0r3r丿2BD).0+一sin0r3r丿2BD)o+一cos0r3r丿=0,tr=ar0=0,tr0rr=b次要邊界條件:邊界條件:ara=0；r=a=0;r=bzj.brrdr=0;Jk0MJdr=0;0=0a0A=F,B=Fa2b2,D=2NN0=0dr=F;0,N=a2-b2+J+blna6萬6-2試分析下列應(yīng)力函數(shù)可解什么樣的平面應(yīng)力問題。y27首先將函數(shù)申代入雙調(diào)和方程V4p二0即cX4dxHycy知，滿足故該函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù)，求得應(yīng)力分量為:C

20、呻3F.2x、yc3F=（-_y）+_x2=q-xy=dyi4cci22c3（ab面x=0）rC2OQ二二0ycX2C申3F/Jy2、麗hT=-=-（1-二）（取?=）xyCXCy4cc22顯然，上述應(yīng)力分量在ad邊界及be邊界上對應(yīng)的面力分量均為零。而在ab邊界上，切向面力分量呈對稱于原點O的拋物線型分布，指向都向下。法向面力為均勻分布的荷載q顯然，法向均布荷載q在ab面上可合成為一軸向拉力p,且p=2cq；而切向面力分量在ab面上可合成為一切向集中力。hhF=J2Fdy=J2h2dy=6Fxyfhh2h2dyJ2一一一dy-J2y2dy=h3-h46Fh3h2Tyh2-h3-2y3h2h-

21、26F6Fh3厲牙3牙h312而cd邊界則為位移邊界條件要求：U=0,v=0,w=0以及轉(zhuǎn)角條件用以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對于一端固定的直桿（坐標系如圖所示）可解決在自由端受軸向拉伸（拉力為p=2cq）和豎向集中力作用下的彎曲問題。6-3懸臂梁（-cycOxl）沿下邊受均勻剪力，而上邊和x=l的一端不受荷載時，可用應(yīng)力函數(shù)s（1xy-Xy2-+竺+竺、44c4c24c4c2丿得出解答，并說明此解答有哪些方面是不完善的。解：bsc首先將函數(shù)申代入雙調(diào)和方程V4p二0滿足。故該函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù)。求得應(yīng)力分量為：在ab邊界上：x=l,-cyc則/216ly216ly、_TOC o 1-5 h zc

22、=s（+）=0 x4c4c24c4c2T=S（1-空）xy44c4c2AF丿嚴1-H-H）心-0在ad邊界上：y=-c,0 xl則a=0yt=s(1-匕-3(ZC)2=0與44c4c2在be邊界上：y=c,Oxl則a二0Y/I2c3c2T-S()二一sxy44c4c2即懸臂梁下墻受均布剪力大小為s。在cd邊界上為位移邊界條件，u=O,v=O,w=O及轉(zhuǎn)角條件。6-4已求得三角形壩體的應(yīng)力場為a-ax+byXa-ex+Dyyt-t-一Dy一ay一yxxyyxtta0 xzyzz其中Y為壩體材料比重，Y為水的比重；試根據(jù)邊界條件求a,b,c,d的值。yT解：據(jù)圖示列出水壩OA邊界和0B邊界上的應(yīng)力

23、邊界條件。0B邊：x=0,l=cos(n,x)=cos180。=-1m=cos(n,x)=cos90。=0P=yy,P=0 x1y=Q,0=TxxyP=Ol+Tm,P=Tl+O由xxxyyxyy得1b=1T=0=d-0ayy-0a=0 xyx=0OA邊：x=y-tan卩,l=cos(n,x)=cos卩,m=cos(n,y)=cos(90o+卩)=-sin卩P=P=0 xy由得xyxx0=QP=Ql+Tm,P=Tl+Qmxyyxyycos卩-tsin卩,0=tcos卩-Qsin卩xyxyyTxyx=ytan卩=dxyxx=ytan卩=ytan|3(d+y)Qyx=ytan卩=cx+dyx=yta

24、n卩=y(ctanP+d)代入上式，兩邊同時消掉y,得y-cosP+tanP-sinP-d+tanP-sinPy=012sinP-dsinP-yc-tanP-sinP=0解得:d=ycot2Py,c=y-cotP2ycot3P11常數(shù)：a=0,b=-y,d=ycot2卩一丫,c=ycot卩一2ycot3卩iii6-5試以簡支梁受均布荷載為例，求當泊松比y=0.3時，用初等理論給出的結(jié)果的誤差不超過2.5%時的跨長1與梁高h之比。解：初等理論：5q（2l丄ql4TOC o 1-5 h zv384EI24EI12x2x4h2x2(+u+vrn2x22125V0=-嘉彈力解：v=0.3,x=l時q5

25、l4八”ql45=h2V=q+0.95h2l2_+0.9502EI22EI212TOC o 1-5 h zV一Vh_o0.025;n-0.106Vl0 x2+xy+(x2+y2)2(1一卩6-6圖中的懸臂梁受均布荷載q=100kN/m作用，試求其最大應(yīng)力（a）應(yīng)力函數(shù)（兀y） HYPERLINK l bookmark274 arctan_V4x丿（b）用初等理論求，并比較以上結(jié)果解：（a）將申式代入雙調(diào)和方程V細=0式知，滿足。2x2y故申可作為應(yīng)力函數(shù)，相應(yīng)的應(yīng)力分量為：cy2xy-2arctan2xx2+y221-“dx2txy-2arctan-2dxdyQcx(b)dzQcydzx2+y

26、2x(x2+y2)2-2-2arctan-qr1I4丿y22+y2)x(x2+y2)2-20,y=0,x主0;cmax;x=0;時不定。14min二qmax1-K兀vbbja1tan-1一一14b2Qtxydzxymax1-；(a二3qctg2d二3qyxmaxc=3qctg2d-6qctg3d;cxxtxyry)2二6qctg2d-(xIx丿ctga；txymax3aq2bc不考慮。y6-7試確定應(yīng)力函數(shù)d=cr2Cos2e-cos2d）中的常數(shù)c值使?jié)M足圖中條件在e=d面上二o,t二sre在e=-d面上ce二0,t二srezj并證明楔頂沒有集中力或力偶作用。穴1如1如=+=2ccos2+c

27、os2arrdrr2602q二d二2ccos2-cos2a解:0dr2T=-1沁=4csin20r0rdrd0考慮邊界條件0二aQ=0,T二-s0r0q0TIr0a=2cLos2-cos2a_aa=4csin20la=ssc=所以4sin2a0=-a,q=0,T=-s0r0同樣地sc=4sin2azj.取微元，設(shè)半徑為r0Jkr2do=oM=_arO0所以無力偶=嚴orcosOdOr0sr5sina2=(2-)2cosa3所以x方向無外力F=JaorsinOdO=Yar0sr1o(cosO3cosO+cos2acosa)2sin2a3所以y方向無外力：綜上所訴，楔形體頂點無集中力或力偶作用四組

28、：王蓓彌玉娟姜歐夏強楊超越題目：楊桂通書P13O,810、P207,14（P130,10未找到）P132,6-8，試求內(nèi)外徑之比為1/2的后壁筒在受內(nèi)外相等壓力（即p=p）時12的極限載荷。并討論之。答：平面應(yīng)力問題：p=o，由于圓筒內(nèi)外壓力相等，各點為均勻受壓狀態(tài)性ss狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄誀顟B(tài)，不出現(xiàn)彈塑性狀態(tài)。平面應(yīng)變問題：由于o=2vp=p為三向等擠壓狀態(tài)，不出現(xiàn)塑性極限狀2態(tài)P132,6-9，試求只有外壓作用的厚壁筒的應(yīng)力分布及塑性區(qū)應(yīng)力公式。答：當厚壁筒受到均勻內(nèi)外壓作用時其彈性解為p外壓力p內(nèi)壓力a內(nèi)半徑b外半徑12a2b2(p-p)1pa2-pb2TOC o 1-5 h zG=21X+

29、12rb2a2r2b2a2a2b2(p-p)1pa2-pb2G二21X_+120b2a2r2b2a2pa2pb2g=2v12zb2a21vpa2pb2u(r)=x12rEb2a21+va2b2(pp)1r+x21x_ HYPERLINK l bookmark328 Eb2a2r如果筒體只受外壓作用，p1=0G-L(1-t)rb2a2r2pb2a22(1+)b2a2r2=2vp2b2b2a21+va2b2p1X2X_Eb2a2r1vpb2u(r)=x2rrEb2a2此時，筒體內(nèi)各點處的應(yīng)力分布，應(yīng)力分量GG和G都是壓應(yīng)力，處于r0z三向受壓應(yīng)力狀態(tài)。三個主應(yīng)力分別為G1=GG=GG=G，最大壓應(yīng)

30、力發(fā)r2z30生在筒內(nèi)側(cè)Gmaxb)P132,6-10,試求懸臂梁受均布荷載作用時的彈塑性分界層的曲線形式。答：取坐標軸X沿梁的軸線方向,設(shè)梁的撓曲線方程為W=W(x).在此基礎(chǔ)上，給梁一個可能的微小位移5W，它應(yīng)該滿足固定端處的邊界條件5W二0,d5(W)x=0dx=ox=0在給定的外力的邊界ST上,Ti=q不計梁的自重，即體應(yīng)力為零，因此式右面的外力總可能功記為5A=JJJf5udV+JJT5udS=J，q5Wdxiiii0ST梁內(nèi)總可能應(yīng)變5U=.,Pc5&dV=5sdVx根據(jù)材料力學分析可知5s=5(、y=5d2WxLpJ(dx2丿所引起，6s可能由5Wxd2y=dX25由位移W所引起

31、xEd2WQ=y=Eyxpdx28U=B!o呢dV=!Epxxoxxv=EIJ衛(wèi)2Wd2血dodx2dx2d2Wd2(8W)dx2dx2fy2dFdxI=uy2dF8U=EIpd2Wd(8W)dx2dxd3Wi0dx3fd4W8W1+J18Wdx00dx4=EId2Wd(8W)dx2dx紗5Wx=ldx3+Jid4W8Wdxx=l0dx4根據(jù)可能位移原理表達式（6-24）,再利用（b）（i）和（g）,得J1(EI0d4Wdx4q)8Wdx+EId2Wd剛)dx2dx_EIx=1d3W8W=0 x=1由于SIV為任意的微小可疑位移。若使式（h）成立，必定要求EI絲dx4q=0d2Wd(5W)EI

32、-dx2dx=0EiUW5Wdx3=0 x=1式（i）就是梁的撓曲線微分方程式，他本質(zhì)是一個用位移（撓度）表示的平衡方程。此外，考慮到懸臂梁在端點x=l處還是自由的，這意味著對該處的撓度和轉(zhuǎn)角沒有任何的約束限制。也就是說，可能撓度等于0，可能轉(zhuǎn)角=0，因此由式（j）和（h）得EI仝Wdx2EId3Wdx3xl式子（l）和（m）實際上表示了自由端x=l處,彎矩和剪力等于零的力邊界條件1/9iju+jnjiijawV=JJJ1Cu2iji,j=JJJaudV=JJJ(yu)dV-JJJaiji,jM1adVijj,iijiJVJJVJ,j=JanudS-JJJaudVSijjiij,jiVudVi

33、j,jiVf社正明虛位移與虛應(yīng)力是下列高斯散度定理的特殊情況:adV=ijijv度定理pudS+JJJSuiFudV+JpudSbiiSiiva0iju*二u解：取iiJJJaedV二JJJF(u+su)dV+ijijbiiVV(1)對其真實應(yīng)力和位移原式變?yōu)镴JJaedV=JJJFudV+ijijVbiiVaijsui是虛位移，原式成為JpudS+Jp(uSuiiSai+5w)dSi兩式相減得2)JpudS+SuiiuudSifffcedV=fffF5udV+fp5udSijijbiiSiiVV即虛功原理或虛位移原理iCj=Cij+5ij5為虛應(yīng)力，原式成為ijijijij+5g)edV=f

34、ffFudV+ijijbiiVpudSSiiq0u11.66_s得：1212該解與完全解的誤差為q*-q0u3%q*9.9設(shè)有正方形斷面的棱柱體，其一端固定，一端則以角速度e繞Z軸轉(zhuǎn)動，如不計斷面的翹曲，試求極限扭曲的上限和下限。10.1寫出應(yīng)力Q，表示板的平衡方程。xyTOC o 1-5 h zSc氏St二+匹+壬+x=0SxSySzStScSt型+匕+y=0解：SxSySzStStSc斗+迄+二+z=0SxSySz由于板的彎曲問題不考慮面向（縱向）荷載：X=Y=0StScSzzx=xyxSzSxSyStScSzzy=yxSzSySx10.2證明在極坐標系內(nèi)，下式成立SMSMSMSMQ二匚+

35、,Q二+rSrrSO0rSOSr六組：賈增輝郭子義X守慶李宜江題目：楊桂通P248，38薛守義P193,3楊桂通P248,4、6、7及8題第二問未找到14.3設(shè)長為a,寬為b的矩形薄板兩對邊簡支，梁對百年固支，受均布橫向荷載q作用。取撓度函數(shù)如下，并用Ritz法求解。g2m兀x、.Cmn(1一cos)smam=1n=1解：本題的位移邊界條件為:()C)=0C)=0 x=ay=0 x=b62W其內(nèi)力邊界條件為:JQx2按Ritz法求解，先求薄板彎曲時的總應(yīng)變能，考慮到薄板為周邊上w=0的矩形板，于是總應(yīng)變能可簡化為：d2W+2W6x2dyi：dxd嚴竺！fasin，竺20baa2fdy根據(jù)Ritz法，可得：2ab2mxV72ab1-cosdxdy=qbJa丿從而，可得:r843)兀5D+Vb4a2b2a4丿4q0