考研數(shù)學(xué)D考研基礎(chǔ)班教案課件

1、會計(jì)學(xué)1考研數(shù)學(xué)D考研基礎(chǔ)班定積分:二重積分:三重積分:第1頁/共48頁顯然第2頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計(jì)算方法（三）格林公式及其應(yīng)用 主 要 內(nèi) 容一、 曲線積分的計(jì)算法（四）線積分的應(yīng)用第3頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L是分段光滑的，且有有限長度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線L上依次插入分點(diǎn)及為L的兩個(gè)端點(diǎn)),把L分成n個(gè)小弧段記小弧段的長度為并在上任取一點(diǎn)如果極限存在，1.對弧長的曲線積分的概念及性質(zhì)第4頁/共48頁存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧長的曲線積分，記作即積分變量積分

2、弧段被積表達(dá)式弧長元素積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量也稱第一類曲線積分.第5頁/共48頁注意：(1)曲線積分也是一個(gè)確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).(2) f(x,y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為(3)若L分段光滑的則有(4)存在條件：當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)，對弧長的曲線積分存在.第6頁/共48頁(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：高在底L上的線積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分為特別地：聯(lián)想：第7頁/共48頁（2）性質(zhì) (4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即思考: 定積分是否可看作對弧長

3、曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).回憶定積分：故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.第8頁/共48頁2.對坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條分段光滑的有向曲線，函數(shù)在L上有界.沿L的方向依次取分點(diǎn)把L分成n個(gè)有向小弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大值.在上任意取一點(diǎn)如果極限存在，那么這個(gè)極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo)x的曲線積分，記作第9頁/共48頁類似地，如果極限存在，那么這個(gè)極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo) y記作的曲線積分，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，(1) L稱為積分路徑.說明：(2)與第一類

4、曲線積分記號的區(qū)別.可正可負(fù).這里的第10頁/共48頁(3)組合形式由實(shí)例和定義知:變力 沿A B所作的功為：(4)特殊路徑情況x由若則記作第11頁/共48頁（5）存在條件：當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)，第二類曲線積分 存在.(6) 推廣到空間有向曲線弧第12頁/共48頁（2）對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì) 則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).回憶定積分：故定積分是第二類曲線積分的特例.第13頁/共48頁第14頁/共48頁例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N， 為L上（B）（C）（D）（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）,（A）則下列小于零的是（ ）從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，B第15頁/共48頁（二）曲線

5、積分的計(jì)算方法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分1.計(jì)算第一類曲線積分的基本方法-三代一定定 義計(jì)算方法第16頁/共48頁對弧長的曲線積分的計(jì)算步驟：化為：第17頁/共48頁例1.解:oayxA所以第18頁/共48頁解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計(jì)算，較復(fù)雜.注意到：關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù).計(jì)算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性.3.利用第一類曲線積分的積分弧段的方程化簡被積函數(shù).第19頁/共48頁注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy第20頁/共48頁例3.解:對于用一般方程表示的空間

6、曲線,曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個(gè)過程一般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理.要計(jì)算函數(shù)對弧長的第21頁/共48頁推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO第22頁/共48頁 例5. 計(jì)算其中L為圓周提示:原式 =說明: 1.若用參數(shù)方程計(jì)算,則 2.若用參數(shù)方程：第23頁/共48頁2.計(jì)算第二類曲線積分的基本方法-二代一定定理特殊情況：(1)曲線弧L的方程為：x自a到b,則(2)曲線弧L的方程為：y自 c到d,則(3)推廣則第24頁/共48頁對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算步驟：化為：第25頁/共48頁比較直接法或參數(shù)方程法第26頁/共48頁例6. 計(jì)算其中L 為沿拋物線

7、解法1:化為對x的定積分，則解法2:化為對y的定積分，則從點(diǎn)的一段. 第27頁/共48頁例7.計(jì)算其中L為圓周沿逆時(shí)針方向.解一:=0.解二:在L上則于是0.0.這里故由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，第28頁/共48頁例8.解:第29頁/共48頁3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系 第30頁/共48頁（三）格林公式及其應(yīng)用 1. 格林公式：(1)格林公式是牛頓萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線（有向性）.D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分與區(qū)域邊界上的線積分的聯(lián)系.注意：(2) 公式的記憶方法：溝通了區(qū)域(3)對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分

8、且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向 閉性），第31頁/共48頁(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：格林公式;(5) 格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計(jì)算.(6)如果L不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個(gè)別點(diǎn)上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，格林公式不能直接使用，此時(shí)往往需添加輔助線，然后再作計(jì)算.第32頁/共48頁2. 格林公式的應(yīng)用：(2) 簡化計(jì)算曲線積分(1) 利用曲線積分計(jì)算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件(4)二元函數(shù)的全微分求積格林公式;第33頁/共48頁與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(

9、2)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(4)閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià).說明：1.四個(gè)等價(jià)命題第34頁/共48頁2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個(gè)全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一第35頁/共48頁閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線后用格林公式或直接計(jì)算注意條件第36頁/共48頁例1.L為由點(diǎn)(a,0) 到(0,0)的上半圓周解:L如圖，D添加輔助線：第37頁/共48頁2.注意格林公式成立的條件.說明：有向性；連續(xù)性；封閉性.格林公式;第38頁/共48頁例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.xyoL解:記L所圍的閉區(qū)域?yàn)镈，令由格林公式知，其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)第39頁/共48頁yxo注意格林公式的條件:作位于D內(nèi)圓周其中 l 的方向取逆時(shí)針方向.應(yīng)用格林公式,得即有第40頁/共48頁解:例3.計(jì)算為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(1,1)的曲線其中L因?yàn)閯t在 平面上成立.第41頁/共48頁選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑（1）新路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)不變（2）新路徑第42頁/共48頁例4.驗(yàn)證：在整個(gè)xoy平面內(nèi)，是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出它的一個(gè)原函數(shù).解:這里則在整個(gè)xoy平面內(nèi)有：于是在整個(gè)xoy平面 (它是一個(gè)單連通區(qū)域)內(nèi)，是某個(gè)函數(shù)的全微分，由公式線積分法第43頁/