數(shù)字濾波課件

1、第三章 數(shù)字濾波一、濾波器基本概念1.濾波器的定義 對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行某種加工處理，以獲得信號(hào)中的有用信息而去掉無(wú)用信息的一個(gè)裝置或系統(tǒng)。2.濾波器分類(lèi) 模擬濾波器：用無(wú)源（R、L、C）器件或有源器件（運(yùn)算放大器）組成的一個(gè)物理裝置或系統(tǒng)。 數(shù)字濾波器：將經(jīng)過(guò)采樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換得到的數(shù)字量，進(jìn)行某種數(shù)學(xué)處理以獲得信號(hào)中有用信息，去掉信號(hào)中的無(wú)用信息。S/HA/D數(shù)字處理D/A1第1頁(yè)，共50頁(yè)。4.數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)數(shù)字濾波器是根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式由軟件實(shí)現(xiàn)，有如下優(yōu)點(diǎn)：特性一致性好不存在溫度變化對(duì)濾波器性能的影響不存在阻抗匹配問(wèn)題濾波器特性容易修改多路模擬量可以共享因此，主要討論數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計(jì)3.模

2、擬濾波器的缺點(diǎn)模擬濾波器由硬件實(shí)現(xiàn)，有如下缺點(diǎn)：元器件特性差異對(duì)濾波器性能的影響溫度對(duì)濾波器性能的影響濾波器特性修改很難輸入阻抗、輸出阻抗的匹配每路模擬量都需要，不能共享2第2頁(yè)，共50頁(yè)。二、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性和沖激響應(yīng)1.基本概念系統(tǒng) 反映原因和結(jié)果關(guān)系的裝置或運(yùn)算可稱為系統(tǒng)。一個(gè)系統(tǒng)可以用下圖表示。線性系統(tǒng)滿足下式的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，即：輸入為X1（t）時(shí)的輸出輸入為X2（t）時(shí)的輸出若用算子符號(hào)T來(lái)描述系統(tǒng)，則可表示為：T3第3頁(yè)，共50頁(yè)。時(shí)不變系統(tǒng)滿足下式的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，即：上式表明：輸入推遲一個(gè)時(shí)間t1，則輸出也推遲一個(gè)時(shí)間t1,且波形不變。因果系統(tǒng)輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸

3、入變化之前的系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)任意有界輸入都不會(huì)產(chǎn)生無(wú)界輸出的系統(tǒng)。絕大多數(shù)系統(tǒng)都是線性、時(shí)不變、穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。4第4頁(yè)，共50頁(yè)。2.沖激函數(shù)(t)定義沖激函數(shù)(t)定義為：沖激函數(shù)表示法面積為1的矩形脈沖由上式可知：(t)是發(fā)生在t=0時(shí)具有單位面積的一個(gè)無(wú)限窄的脈沖?？梢岳斫鉃槊娣e為1的矩形脈沖在脈沖寬度趨于0時(shí)的極限。性質(zhì)任意函數(shù)f(t)與(t)相乘后，沿時(shí)間軸的積分為f(t)在t=0時(shí)刻的值，即：類(lèi)似可得：發(fā)生在t1時(shí)刻的一個(gè)沖擊 (t)的頻譜傅氏變換的定義：5第5頁(yè)，共50頁(yè)。3.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性連續(xù)系統(tǒng)的輸入和輸出在頻域具有如下關(guān)系：輸出的傅氏變換或頻譜輸入的傅氏變換或頻譜系

4、統(tǒng)的頻率特性H(f)一般是復(fù)數(shù)，可表示為：幅頻特性相頻特性H(f) 是對(duì)系統(tǒng)或?yàn)V波器的充分描述，任意輸入信號(hào)可以分解為無(wú)限多個(gè)頻率成分，通過(guò)H(f)得到對(duì)應(yīng)每一個(gè)輸入分量的輸出，其總和就是對(duì)應(yīng)任意輸入信號(hào)的輸出。因此，只要知道濾波器的頻率特性就知道濾波器的行為。H(f)反映的是濾波器的頻域特性，即通過(guò)H(f)可以清楚地看到濾波器濾除不需要頻率成分的能力。不能直觀地看到濾波器的輸入和輸出在時(shí)域的關(guān)系。4.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)定義當(dāng)系統(tǒng)或?yàn)V波器的輸入為沖激函數(shù)(t)時(shí)，其輸出記為h(t),稱為該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，則可表示為：對(duì)于因果系統(tǒng)有：當(dāng)t0時(shí)，h(t)=0,對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)有：6第6頁(yè)，共50

5、頁(yè)。結(jié)論：沖激響應(yīng)h(t)對(duì)系統(tǒng)或?yàn)V波器的描述也是充分的任意輸入信號(hào)可以用無(wú)窮個(gè)沖激之和來(lái)表示，即：變量t對(duì)于積分式來(lái)說(shuō)是一個(gè)常數(shù)。積分式的值等于=t時(shí)x()的值，即x(t)。因此，只要知道沖激響應(yīng)h(t)，就可以求出任意輸入時(shí)的輸出。卷積積分5.沖激響應(yīng)與頻率特性之間的關(guān)系對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅氏變換可得：進(jìn)行變量替換=t-，可得：可以證明卷積滿足交換率，即：因此，可得：7第7頁(yè)，共50頁(yè)。因此有：時(shí)域卷積定理：結(jié)論：頻率特性和沖激響應(yīng)是一個(gè)傅氏變換對(duì)。頻域卷積定理：例：具有矩形沖激響應(yīng)的濾波器的濾波作用8第8頁(yè)，共50頁(yè)。濾波器的響應(yīng)時(shí)間 濾波器的輸入從一個(gè)穩(wěn)態(tài)到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)時(shí)，其輸出要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)

6、渡過(guò)程的延時(shí)才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)輸出，這種延時(shí)成為濾波器的響應(yīng)時(shí)間。對(duì)于微機(jī)保護(hù)，這是一個(gè)重要指標(biāo)。響應(yīng)時(shí)間與濾波器的沖激響應(yīng)有直接的聯(lián)系。沖激響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，濾波器的響應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。結(jié)論：設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，既要考慮頻率特性，又要考慮響應(yīng)時(shí)間。實(shí)際的沖激響應(yīng)必定是偏向時(shí)間軸右側(cè)，如圖所示，因?yàn)楸仨殱M足當(dāng)t0時(shí)，h(t)=0的條件，根據(jù)延時(shí)定理，其傅氏變換如圖所示，增加了一個(gè)相移特性(f)?？傻茫阂虼?，具有沖激響應(yīng)的濾波器實(shí)際上是將輸入信號(hào)移動(dòng)的積分，積分區(qū)間的長(zhǎng)度為T(mén)，能夠完全濾除輸入信號(hào)中頻率為f=1/T及其整數(shù)倍的各種頻率成分。將如圖（a）所示的沖激響應(yīng)帶入下式：9第9頁(yè)，共50頁(yè)。5.周期時(shí)間

7、函數(shù)的傅氏變換和傅氏級(jí)數(shù)直流量的傅氏變換設(shè)f(t)=1，則：因?yàn)闆_激函數(shù)(t)的傅氏變換為1，通過(guò)傅氏反變換可得：用變量置換，將t和f互換，可得：比較式（1）和式（2）的右側(cè)，除了e的指數(shù)符號(hào)不同外，其它完全相同，由于積分的上下限為+和-，所以式（1）和式（2）右側(cè)的積分值相同。結(jié)論：常數(shù)1的傅氏變換為頻域的沖激函數(shù)(f)。復(fù)指數(shù)函數(shù) 的傅氏變換對(duì)f(t)進(jìn)行傅氏變換得：正弦和余弦信號(hào)的傅氏變換正弦和余弦信號(hào)可以表示為：10第10頁(yè)，共50頁(yè)。周期為T(mén)的任意函數(shù) 的傅氏變換將fT(t)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)：對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅氏變換，可得：結(jié)論：周期函數(shù)的傅氏變換的一般形式是一串間隔為基頻f0的沖激，各

8、沖激的強(qiáng)度為其各次諧波的幅度。一串等間隔沖激的傅氏變換T(t)為無(wú)窮多個(gè)間隔為T(mén)、強(qiáng)度為1的沖激，其傅氏級(jí)數(shù)的各次諧波的復(fù)系數(shù)為：則T(t)的傅氏變換為：結(jié)論：T(t)的傅氏變換是在頻域的一串等間隔沖激，其強(qiáng)度和間隔均為1/T。11第11頁(yè)，共50頁(yè)。三、離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性和單位沖激響應(yīng)1.離散時(shí)間信號(hào)的頻譜連續(xù)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)采樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換后得到離散信號(hào)離散時(shí)域表示法沖激表示法僅在離散的時(shí)間域有定義，因此其傅氏變換定義為：采樣信號(hào) 可表示為：X*(t)的傅氏變換為：結(jié)論：x(nTs)與x*(t)的傅氏變換相同。12第12頁(yè)，共50頁(yè)。x*(t)與x(t)頻譜之間的關(guān)系x*(t)是x(t)

9、與一串間隔為T(mén)s的均勻沖激Ts(t）的乘積，各沖激的強(qiáng)度是該采樣時(shí)刻x(t)的瞬時(shí)值，可表示為：對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅氏變換，并應(yīng)用頻域卷積定理可得：X*(f)與X(f)的關(guān)系由圖可知：X*(f)相當(dāng)于X(f)以fs為周期，拓廣成頻率的周期函數(shù)。如果X(f)是限帶的，并且滿足：則X*(f)在-fs/2到fs/2的一個(gè)周期范圍內(nèi)的形狀同X(f)一樣，即：通過(guò)x(t)在各個(gè)時(shí)刻的值x(nTs),就可以求出X*(f),在-fs/2到fs/2范圍內(nèi)按下式積分就可以得到x(t)在任意時(shí)刻的值。13第13頁(yè)，共50頁(yè)。由于離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是周期性的，其傅氏反變換形式定義為：定義在連續(xù)域的采樣信號(hào)x*(t)的傅

10、氏反變換為：14第14頁(yè)，共50頁(yè)。2.單位沖激序列和單位沖激響應(yīng)單位沖激序列的定義與(t)的區(qū)別是，定義在離散域單位沖激響應(yīng)一個(gè)離散系統(tǒng)對(duì)(nTs)的響應(yīng)記為h(nTs)，稱為該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，用算子符號(hào)T表示為：任意的離散輸入信號(hào)x(nTs)可以表示為一串相互錯(cuò)開(kāi)、幅值受到調(diào)制的單位沖激序列之和，即：對(duì)應(yīng)的輸出可以用單位沖激響應(yīng)表示為：上式右側(cè)成為卷積和，記為：15第15頁(yè)，共50頁(yè)。3.離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h(nTs)的離散系統(tǒng)的輸入輸出可以表示為：對(duì)上式兩端進(jìn)行傅氏變換得：輸入信號(hào)的傅氏變換或頻譜單位沖激響應(yīng)的傅氏變換或頻譜上式可以表示為：就是離散系統(tǒng)的頻率特性

11、，其物理意義與連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性一樣。沖激響應(yīng)h(nTs)的Z變換稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或傳遞函數(shù)。16第16頁(yè)，共50頁(yè)。四、Z變換及其性質(zhì)1.Z變換定義離散信號(hào)為x(n)的Z變換定義如下：2.Z變換的基本性質(zhì) 線性性質(zhì)設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)，a、b為常數(shù)，則： 位移性質(zhì)設(shè)離散信號(hào)x(n)的Z變換為X(z)，則右移序列x(n-r)的Z變換為：右移序列x(n-r)的Z變換公式推導(dǎo)如下，根據(jù)Z變換的定義有：變量替換k=n-r17第17頁(yè)，共50頁(yè)。設(shè)離散信號(hào)x(n)的Z變換為X(z)，則左移序列x(n+r)的Z變換為：左移序列x(n+r)的Z變換公式推導(dǎo)如下，由Z變換的定義有：變量替換i

12、=n+r卷積性質(zhì) 設(shè)m(n)是x(n)和y(n)的卷積，即：則：推導(dǎo)如下，由Z變換的定義有：18第18頁(yè)，共50頁(yè)。五、數(shù)字濾波器分類(lèi)按脈沖響應(yīng)時(shí)間分無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器(IIR): 有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR): 按運(yùn)算結(jié)構(gòu)分 非遞歸型數(shù)字濾波器: 遞歸型數(shù)字濾波器: 特點(diǎn)：在有限沖擊響應(yīng)濾波器(FIR)和非遞歸型數(shù)字濾波器中，一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路。數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比，即：非遞歸型數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：遞歸型數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：19第19頁(yè)，共50頁(yè)。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)定義為：=式中=2f，f為輸入信號(hào)的頻率；幅頻特性：相頻

13、特性： 20第20頁(yè)，共50頁(yè)。六、幾種常用的數(shù)字濾波器1.差分濾波器差分濾波器可以表示為：y(n)=x(n)-x(n-k)，K1 差分濾波器當(dāng)前時(shí)刻輸出y(n)與先行輸出無(wú)關(guān)，屬于非遞歸型數(shù)字濾波器。 傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行Z變換可得：傳遞函數(shù)為：差分濾波器的幅頻特性和相頻特性將 帶入上式中，得差分濾波器的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性：相頻特性：21第21頁(yè)，共50頁(yè)。差分濾波器的特性分析設(shè)需濾除m次諧波，將 帶入，應(yīng)使即：將帶入上式，可求得： 即：差分濾波器特點(diǎn)：能夠?yàn)V除直流分量；能夠?yàn)V除所有的偶次諧波分量；能夠?yàn)V除部分奇次諧波分量。22第22頁(yè)，共50頁(yè)。2.加法濾波器加法濾波器可以表示為：

14、y(n)=x(n)+x(n-k)，K1 加法濾波器當(dāng)前時(shí)刻的輸出y(n)與先行輸出無(wú)關(guān)，屬于非遞歸型數(shù)字濾波器。 傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行Z變換可得：傳遞函數(shù)為：加法濾波器的幅頻特性和相頻特性將 帶入上式中，得加法濾波器的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性：相頻特性：23第23頁(yè)，共50頁(yè)。加法濾波器的特性分析設(shè)需濾除m次諧波，將 帶入，應(yīng)使即：將帶入上式，可求得： 即：加法濾波器特點(diǎn)：不能濾除直流分量；能夠?yàn)V除所有的奇次諧波分量；能夠?yàn)V除部分偶次諧波分量。24第24頁(yè)，共50頁(yè)。3.積分濾波器積分濾波器可以表示為：y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2) +x(n-k)，K1積分濾波器當(dāng)前時(shí)刻的輸

15、出y(n)與先行輸出無(wú)關(guān)，屬于非遞歸型數(shù)字濾波器。 傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行Z變換可得：傳遞函數(shù)為：積分濾波器的幅頻特性和相頻特性將 帶入上式中，得積分濾波器的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性：相頻特性：積分濾波器的特性分析設(shè)需濾除m次諧波，將 帶入，應(yīng)使25第25頁(yè)，共50頁(yè)。將帶入上式，可求得： 即：能夠?yàn)V除所有的偶次諧波分量；能夠?yàn)V除部分奇次諧波分量。積分濾波器的幅頻特性可為表示為：此時(shí)，上式的值為1，所以積分濾波器不能濾除直流分量。 由可知，當(dāng)積分濾波器特點(diǎn)： 不能濾除直流分量；26第26頁(yè)，共50頁(yè)。4.加減法濾波器加減法濾波器可以表示為：當(dāng)前時(shí)刻的輸出y(n)與先行輸出無(wú)關(guān)，屬于非遞歸型數(shù)字

16、濾波器。 傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行Z變換可得：傳遞函數(shù)為：加減法濾波器的幅頻特性和相頻特性當(dāng)K為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，加減法濾波器的特性不同。將 帶入上式中，得加減法濾波器的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性：相頻特性：K為奇數(shù)時(shí)K為偶數(shù)時(shí)K為奇數(shù)時(shí)K為偶數(shù)時(shí)27第27頁(yè)，共50頁(yè)。加減法濾波器的特性分析(K為奇數(shù))設(shè)需濾除m次諧波，將 帶入，應(yīng)使即：將帶入上式，可求得： 即：加減法濾波器(K為奇數(shù)時(shí))特點(diǎn):能夠?yàn)V除直流分量；能夠?yàn)V除所有的偶次諧波分量；能夠?yàn)V除部分奇次諧波分量。28第28頁(yè)，共50頁(yè)。加減法濾波器的特性分析(K為偶數(shù)時(shí))設(shè)需濾除m次諧波，將 帶入，應(yīng)使即：將帶入上式，可求得： 即：加減法濾波器(

17、K為偶數(shù)時(shí))特點(diǎn)：不能濾除直流分量；能夠?yàn)V除部分偶次諧波分量；能夠?yàn)V除所有奇次諧波分量。 29第29頁(yè)，共50頁(yè)。5.簡(jiǎn)單濾波器的級(jí)聯(lián)由M個(gè)濾波器串聯(lián)構(gòu)成的濾波器的傳遞函數(shù)為：幅頻特性為：相頻特性為：第i個(gè)濾波器的傳遞函數(shù)30第30頁(yè)，共50頁(yè)。七、非遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)非遞歸型數(shù)字濾波器是將輸入信號(hào)與濾波器的單位沖激響應(yīng)做卷積和而實(shí)現(xiàn)的一類(lèi)濾波器，即：幾點(diǎn)說(shuō)明： 卷積和的上下限分別為k=0和N，對(duì)于因果系統(tǒng)，在k0時(shí)，h(nTs)必為0； 單位沖激響應(yīng)必須是有限長(zhǎng)，否則意味著有無(wú)限的運(yùn)算量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)； 非遞歸濾波器必定是有限沖激響應(yīng)濾波器，其輸出只與輸入有關(guān)。設(shè)計(jì)方法： 先在連續(xù)域進(jìn)行，根據(jù)

18、頻域提出的要求，找到一個(gè)合適的傅氏變換對(duì)H(f)和h(t)，稱為設(shè)計(jì)樣本； 對(duì)h(t)按系統(tǒng)的采樣頻率采樣，得到h(nTs) 的各系數(shù)值； 按（1）式實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。1.基本要求1在對(duì)h(t)進(jìn)行采樣時(shí)，必須滿足：則所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率特性 在-fs/2到fs/2范圍內(nèi)將和H(f)的形狀完全相同，即達(dá)到設(shè)計(jì)要求；否則將出現(xiàn)頻率混疊，設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的特性與設(shè)計(jì)樣本有差異。微機(jī)保護(hù)一般需要低通和50Hz帶通濾波器，上述條件一般都滿足。31第31頁(yè)，共50頁(yè)。需證明：在-fs/2到fs/2范圍內(nèi)，只要 和H(f) 相同，且數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的采樣不產(chǎn)生頻率混疊，即滿足：則該數(shù)字濾波器的輸出

19、y(nTs)就是同一個(gè)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)作為設(shè)計(jì)樣本的模擬濾波器后輸出的采樣值。證明如下：設(shè)樣本模擬濾波器的輸出為：數(shù)字濾波器的輸出為：若在對(duì)x(t)采樣時(shí)不產(chǎn)生頻率混疊，則有：代入上式可得：在-fs/2到fs/2范圍內(nèi)，只要 和H(f) 相同，就有：結(jié)論：可以用數(shù)字濾波器來(lái)模擬模擬濾波器32第32頁(yè)，共50頁(yè)。2.基本要求2非遞歸型數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)必須是有限長(zhǎng)，但根據(jù)頻域的要求，樣本的沖激響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)。因此，在設(shè)計(jì)非遞歸數(shù)字濾波器時(shí)就要截?cái)啵瑥亩乖O(shè)計(jì)的濾波器的頻率特性偏離設(shè)計(jì)樣本。余弦50Hz帶通濾波器圖（a）和（b）是一對(duì)傅氏變換對(duì)，時(shí)域?yàn)橐粋€(gè)50Hz的余弦函數(shù)，頻域則是沖激函數(shù)。

20、圖（a）是理想的50Hz帶通濾波器特性，無(wú)法實(shí)現(xiàn)。為了用非遞歸方法近似實(shí)現(xiàn)這個(gè)理想特性，采用圖（c）所示的矩形時(shí)間函數(shù)p(t)與圖（a）所示的理想特性相乘，將其截?cái)喑蓤D（d）所示的有限長(zhǎng)特性。矩形時(shí)間函數(shù)p(t)的頻率特性如圖（e）所示。根據(jù)頻域卷積定理可得：33第33頁(yè)，共50頁(yè)。特性分析具有50Hz帶通特性，在0100Hz間有一個(gè)主瓣，在高頻段有許多旁瓣，能完全濾除所有的50Hz的整數(shù)倍的高次諧波。主瓣的寬度決定于截取的長(zhǎng)度，p(t)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，圖（e）中的主瓣就越窄，圖（f）中的主瓣也越窄，即濾波器的選擇性越好，p(t)的長(zhǎng)度趨向無(wú)窮大時(shí)，（f）的特性就趨近理想特性。數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)求h(

21、nTs)的有限個(gè)系數(shù)：只需要p(t)進(jìn)行采樣，就可求得，對(duì)p(t)采樣相當(dāng)于用一串均勻沖激與圖(d)相乘。沖激函數(shù)可以看成矩形脈沖的極限，取h(0Ts)=1/2，因?yàn)榫匦蚊}沖無(wú)限縮小時(shí)，不連續(xù)點(diǎn)的右側(cè)面積始終為1/2。取Ts=5/3ms, 可得h(nTs)如下表。頻率特性為圖（f）與均勻沖激串的卷積，如下圖（b）所示。34第34頁(yè)，共50頁(yè)。正弦型50Hz帶通濾波器濾波器的沖激響應(yīng)是用20ms的矩形窗函數(shù)去截?cái)嘁粋€(gè)負(fù)的正弦函數(shù)，如圖（a）所示。當(dāng)Ts=5/3ms時(shí)，h(nTs)的值如下表所示。特點(diǎn)：余弦型50Hz帶通濾波器對(duì)50Hz信號(hào)的相移為零，而正弦型50Hz帶通濾波器的相移為/2。說(shuō)明：

22、分析一個(gè)已知的FIR濾波器的特性，不需要知道它的連續(xù)域樣本，一般是直接根據(jù)已知的h(nTs)各系數(shù)，用離散信號(hào)的傅氏變換求出 ，或先用Z變換求出H(Z)，再用 取代Z而得到濾波器的頻率特性。35第35頁(yè)，共50頁(yè)。八、遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)1.非遞歸型數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)為了達(dá)到頻率提出的要求，常常要求沖擊響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)；在實(shí)際中常近似地用時(shí)窗函數(shù)來(lái)截?cái)?，但想逼近樣本，所要求的長(zhǎng)度比較長(zhǎng)，如正弦、余弦50Hz帶通濾波器需要20ms；進(jìn)一步提高選擇性，長(zhǎng)度還要加長(zhǎng)，使運(yùn)算量增大。對(duì)于某些實(shí)時(shí)應(yīng)用，可能跟不上節(jié)拍，或?qū)τ布岢龈叩囊蟆?.遞歸型數(shù)字濾波器遞歸型數(shù)字濾波器可按下式實(shí)現(xiàn)：各系數(shù)ak和bk決

23、定濾波器的特性，上式?jīng)]有直接顯示出濾波器的單位沖激響應(yīng)，因此不能從h(nTs)推出其頻率特性。對(duì)上式進(jìn)行傅氏變換可得：整理可得：36第36頁(yè)，共50頁(yè)。3.遞歸型數(shù)字濾波器的特點(diǎn)遞歸型濾波器一般是無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器，簡(jiǎn)稱為IIR在實(shí)際中，IIR并不意味著無(wú)限長(zhǎng)的響應(yīng)時(shí)間。例如：按指數(shù)衰減的曲線經(jīng)其衰減時(shí)間常數(shù)的3倍以后，可以認(rèn)為已衰減為0，而理論上t時(shí)其極限才為零。遞歸型濾波器的單位沖激響應(yīng)是客觀存在的，可以通過(guò)濾波器的頻率特性求傅氏反變換得到。與非遞歸型數(shù)字濾波器相比，在達(dá)到同樣的逼近樣本特性的條件下，遞歸型數(shù)字濾波器的運(yùn)算量一般要小得多。4.遞歸型數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)方法遞歸型數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)就

24、是如何根據(jù)頻域的樣本確定各系數(shù)ak和bk確定系數(shù)ak和bk遞歸型數(shù)字濾波器的頻率特性：37第37頁(yè)，共50頁(yè)。5.遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)舉例設(shè)已知樣本模擬濾波器的頻率特性為：這是一個(gè)一階巴特沃思（Butterworth）濾波器，其單位沖激響應(yīng)為：階躍函數(shù)可以用一個(gè)RC電路來(lái)構(gòu)成，如下圖所示。滿足：=1/RC沖激響應(yīng)幅頻特性由圖可知，這是一個(gè)IIR濾波器。對(duì)h(t)采樣可得：兩邊求傅氏變換得：與比較可得：M=0,a0=1,N=1,可得：38第38頁(yè)，共50頁(yè)。九、用零極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 1. N階線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程 一個(gè)N階線性時(shí)不變系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程表示為：對(duì)上式進(jìn)行Z變換可

25、得：傳遞函數(shù)為：上式可以表示為連積形式：令 ，得：39第39頁(yè)，共50頁(yè)。濾波器的零點(diǎn)在上式中，當(dāng) 時(shí)， ，表示對(duì)于選定的頻率成分，濾波器的輸出為零，因此， 稱為濾波器的零點(diǎn)。濾波器的極點(diǎn)在上式中，當(dāng) 時(shí)， ，表示對(duì)于選定的頻率成分，濾波器的輸出為無(wú)窮大 ，因此， 稱為濾波器的極點(diǎn)。極點(diǎn)應(yīng)設(shè)置在單位圓內(nèi)，即：p越接近1， 的值越小，濾波器對(duì)極點(diǎn)頻率的輸出越大，但濾波器的穩(wěn)定性降低 。2.用零、極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)非遞歸型數(shù)字濾波器 N階線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：令 ，得非遞歸型數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為：表示為連積形式：由上式可知：非遞歸型數(shù)字濾波器只有零點(diǎn) ，沒(méi)有極點(diǎn)，所以又稱為全零點(diǎn)濾波器。 40

26、第40頁(yè)，共50頁(yè)。零點(diǎn)配置原則：為使濾波器的系數(shù)為實(shí)數(shù)，零點(diǎn) 按共軛復(fù)數(shù)成對(duì)設(shè)置。 設(shè)對(duì)m次諧波設(shè)置零點(diǎn)，則濾波器的傳遞函數(shù)為：諧波次數(shù)基波角頻率采樣間隔時(shí)間設(shè)采樣頻率為600Hz，可求得直流分量、基波、2次諧波.6次諧波濾波器的傳遞函數(shù)如下表。 濾波器傳遞函數(shù)直流分量基波2次諧波3次諧波4次諧波5次諧波6次諧波例：設(shè)采樣頻率為600Hz ，設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，要求保留基波分量，將直流分量和其它各整次諧波濾除。 解：在直流、2次、3次、4次、5次、6次諧波出設(shè)置零點(diǎn)，將這些濾波器串聯(lián)，得濾波器的傳遞函數(shù)為： 41第41頁(yè)，共50頁(yè)。對(duì)應(yīng)的差分方程為：該濾波器的幅頻特性為：濾波器幅頻特性42第42

27、頁(yè)，共50頁(yè)。3.用零、極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)遞歸型數(shù)字濾波器 N階線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng) ，構(gòu)成的數(shù)字濾波器的當(dāng)前輸出不僅與歷史輸入有關(guān)，而且與歷史輸出有關(guān)。因此，這種濾波器稱為遞歸型數(shù)字濾波器。 極點(diǎn)設(shè)置原則為使濾波器的系數(shù)為實(shí)數(shù)，極點(diǎn) 按共軛復(fù)數(shù)成對(duì)設(shè)置；為保證濾波器的穩(wěn)定性，極點(diǎn) 設(shè)置在單位圓內(nèi)。極點(diǎn)配置方法設(shè)對(duì)m次諧波設(shè)置極點(diǎn)，則濾波器的傳遞函數(shù)為：p為小于1的數(shù)，其大小直接影響濾波器對(duì)極點(diǎn)頻率的輸出響應(yīng)。 p越接近1，數(shù)字濾波器在極點(diǎn)頻率處的輸出越大，濾波效果越好，但輸出達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越長(zhǎng)；p越接近0，輸出達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短，數(shù)字濾波器在極點(diǎn)頻率處的濾波效果越不明顯。43第43頁(yè)，

28、共50頁(yè)。例：設(shè)采樣頻率為600Hz，設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，要求保留基波分量，將直流分量和2次、3次諧波濾除。解：在直流分量、2次諧波和3次諧波處設(shè)置零點(diǎn)因此，該濾波器的傳遞函數(shù)為：差分方程描述為：幅頻特性為： 在基波處設(shè)置極點(diǎn)，取 ，則有：44第44頁(yè)，共50頁(yè)。十、數(shù)字濾波器型式的選擇 從響應(yīng)時(shí)間上考慮，采用非遞歸型數(shù)字濾波器較好；從處理速度和運(yùn)算量上考慮，采用遞歸型數(shù)字濾波器較好；當(dāng)由啟動(dòng)元件時(shí)，采用非遞歸型數(shù)字濾波器較好。45第45頁(yè)，共50頁(yè)。十一、本章小結(jié)1.數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)2.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和頻率特性（1）沖激函數(shù)(t) 定義： 性質(zhì)：（2）沖激響應(yīng)與頻率特性 沖激響應(yīng)： 頻率特性： 關(guān)系：傅氏變換對(duì)濾波器的頻域特性濾波器的時(shí)域特性（3）周期時(shí)間函數(shù)的傅氏變換 包括：直流量、復(fù)指數(shù)函數(shù)、正弦和余弦信號(hào)、周期為T(mén)的任意函數(shù) 、一串等間隔沖激卷積積分46第46頁(yè)，共50頁(yè)。3.離散時(shí)間系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和頻率特性（1）單位沖激序列 定義：（2）