高考數(shù)學試題主觀題分類剖析

1、2009年高考數(shù)學試題主觀題分類剖析馬興奎(云南省文山州硯山一中，663100)在高考數(shù)學試卷中，主觀題包括計算題、證明題、應用題等。其基本架構是：給出一定 的題設(即已知條件)，然后提出一定的要求(即要達到的目標)，讓考生解答。考生解答時， 應把已知條件作為出發(fā)點，運用有關的數(shù)學知識和方法，進行推理、演繹或計算， 最后達到所要求的目標，同時要將整個解答過程的主要步驟和經(jīng)過，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。 縱觀近幾年高考命題情況，可以發(fā)現(xiàn)，主觀題在高考卷中的考查呈現(xiàn)以下特點：(1)對基礎知識的考查，要求全面又突出重點，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合。(2)對數(shù)學思想和方法的考查，數(shù)學思想與方

2、法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括， 在高考中，常將它們與數(shù)學知識的考查結合進行考查時，從學科整體意義和思想含義上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。(3)對能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力， 強調(diào)探究性、綜合性、應用性，突出數(shù)學試題的能力立意，強化對素質(zhì)教育的正確導向。(5)出現(xiàn)一些背景新穎的創(chuàng)新題、開放題、富有時代特色的應用題，并有越演越烈的趨 1 (4)在強調(diào)綜合性的同時，注重試題的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層 次的考查。勢.一、三角與三角函數(shù)的綜合問題例 1已知函數(shù) f(x) -2.3sin2x sin2x 3.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值；

3、(n)在給出的直角坐標系中，畫出函數(shù)y = f (x)在區(qū)間0,冗上的圖象.命題意圖：三角與三角函數(shù)的綜合問題主要考點是三角變換、圖像、解析式、向量或三角應用題，重點是三角、向量基本知識的綜合應用能力。數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想、化歸轉化的思想是解決三角函數(shù)問題時經(jīng)常使用的基本思想方法。屬于基礎題或中檔題的層面，高考中一定要盡量拿滿分。【分析及解】(I) f (x) = 73(12sin2 x)+sin 2x =sin 2x +石 cos2x = 2sin(2x + .) 2二所以，f (x)的最小正周期T =冗，最小值為-22評注：三角函數(shù)的訓練應當立足課本，緊扣高考真題，不需要加深加寬.解答

4、三角函數(shù)考題的關鍵是進行必要的三角恒等變形，其解題通法是：發(fā)現(xiàn)差異（角度，函數(shù)，運算），尋找聯(lián)系（套用、變用、活用公式，技巧，方法） ，合理轉化（由因導果，由果探因）.其解題技 巧有：常值代換：特別是用“1”的代換；項的分拆與角的配湊；化弦（切）法；降次與升次；引入輔助角：asinQ +bcos = = Ja2 +b2 sin（。+邛），這里輔助角 中所在象限由a、b的b符號確定，中角的值由tan5確定.此類題目的特點是主要考查三角函數(shù)的概念、周期a性、單調(diào)性、有界性、“五點法”作圖，以及求三角函數(shù)的最大（最?。┲档?二、概率與統(tǒng)計的綜合問題【例2】如圖所示，質(zhì)點 P在正方形ABCD的四個頂點

5、上按逆時針方向前進 .現(xiàn)在投擲一個 質(zhì)地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點P前進一步（如由A到B）;當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是 2,質(zhì)點P前兩步（如由A到C）,當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是 3,質(zhì)點P前進三步（如由A到D）.在質(zhì)點P轉一圈之 前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止（II ）在點用隨機變量（I）求點P恰好返回到A點的概率；P轉一圈恰能返回到 A點的所有結果中，E表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求E的數(shù)學期望.命題意圖：概率與統(tǒng)計的綜合問題主要考點是概率、分布列、

6、期望，文科重點是概率，理科 重點是概率、分布列、期望，考查從摸球、擲骰子、體育活動、射擊及生產(chǎn)生活中抽象出的 數(shù)學模型的能力，分類討論的思想。屬中檔題的范疇。從命題者立意看，命題材料源于課本， 貼近考生，貼近生活，背景公平，設問新穎。解題時，多讀題目，多審題，注意語言轉換是 關鍵?！痉治黾敖狻浚↖）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為21一 一 、一，八 , 一 TOC o 1-5 h z Pi =-因為只投擲一次不可能返回到 A點；若投擲兩次點P就恰好能返回到 A點, 63則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應依次為：（1, 3）、（3, 1）、（2, 2）三種結果，其概率為1

7、21P2 =（一）2 3=一,若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應依次 331 O1為：（1, 1, 2）、（1, 2, 1）、（2, 1, 1）二種結果，其概率為 F3=（）3 3 = 39若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應依次為：（1, 1, 1, 1）1 41 其概率為P4 =L）=一所以，點P恰好返回到 A點的概率為：38111137P = P2 P3 P4 : 1 1二 373 981 81（II）在點P轉一圈恰能返回到 A點的所有結果共有以上問題中的7種,331因為，P（ =2）=7，P（ =3尸 7，P（ =4）-7所以，E E =2 +3

8、- +4 = 7777評注：高考中概率大題多以實際問題為背景，時代感強.其解題的關鍵是利用語言轉換策略把“問題情景”譯為數(shù)學語言，抽象成數(shù)學問題，以“摸球”為背景的；以體育競賽(比賽勝負、射擊、投籃命中率)為背景的；以知識能力(選題、做題、搶答、面試、考駕照) 為背景的；其他的還有像投擲硬幣、旅游交通、經(jīng)濟利潤、產(chǎn)品的(抽取、檢驗，加工)等 為背景的。這些背景在教材或高考復習備考資料中均能找到與其相關的習題、例題。平時訓 練既要熟悉以這些材料背景為試題的題型特點，又要歸納整理解題思路。三、立體幾何問題【例3】如圖所示，已知 ABCD是正方形，PD，平面ABCD ,PD=AD=2.(1)求異面直

9、線PC與BD所成的角；(2)在線段 PB上是否存在一點 E,使PC,平面 ADE? 若存在，確定E點的位置；若不存在，說明理由 .命題意圖：立體幾何問題主要考點是底面為四邊形的柱體或錐體或折疊問題，主要考距離、 二面角、線面垂直、平行。重點是處理空間線、面關系的能力，運動的觀點、探究、開放的思想(存在性問題)。從這個角度來看，變化并不大，題目的難度也不大，屬中檔題的范疇，但是還要關注立體幾何試題命題的一些變化趨勢，關注試題的創(chuàng)新。因此，立體幾何的復習探究問題的存在性，解決問題的嘗試性?！痉治黾敖狻?如圖建立空間直角坐標系，則 D (0, 0, 0),A (2, 0, 0), C (0, 2,

10、0), P (0, 0, 2), B (2, 2, 0),(1) PC =(0,2=2),DB =(2,2,0),cos ： PC, DB =PC DB|PC|DB|42 2 22 PC,DB * 60)異面直線PC與BD所成的角為60要在強化常規(guī)題訓練和關注試題創(chuàng)新這兩個方面下功夫。本題一道已從解決現(xiàn)成問題發(fā)展為(2)假設在PB上存在E點，使PC,平ADE,記PE =，PB,PB =(2,2,-2),. PE =(2,2,一2),- E(2- ,2 ,2-2 ),AE = (2九一2,2九,2 2九)，若 PC,平面 ADE ,則有 PCXAE,1即 PC AE =8兒一4=0, . 九=1

11、,E(1,1,1),2存在E點且E為PB的中點時，PC,平面ADE.評注：立體幾何的試題考查的核心和熱點仍然是考查空間圖形的線面關系及幾何量的計算， 即圍繞平行，垂直， 距離和角的問題進行命題設計，其中平行和垂直是線面的位置關系，距 離和角是線面的數(shù)量關系，在試題設計時，仍然是以正方體，長方體，棱柱，棱錐為載體， 在解法上，則注意解法的多樣化， 對于一道立體幾何試題，往往既能用傳統(tǒng)方法求解又能用向量方法求解，有的題目可以用兩種方法結合求解。有些立體幾何試題，已經(jīng)不是單一的幾何背景，還涉及到解析幾何，方程，不等式，最值，概率等其它數(shù)學分支，從而考查綜合運用數(shù)學知 識和技能的靈活性.四、函數(shù)與導數(shù)

12、的綜合問題2【例 4】已知 f (x) = ln( x 1), g (x) ax bx.(1)若b = 2,且h(x) = f(x1) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍；(2)若 a =0,b =1 時，求證 f (x) - g(x) 0對于xw (-1,收)成立；x V(3)利用(2)的結論證明：右 0 x(x + y)ln.2命題意圖：函數(shù)與導數(shù)的綜合問題主要考點是函數(shù)、導數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式， 重點是三次或含自然對數(shù)的函數(shù)的導數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式(主要是恒成立、能 成立或利用導數(shù)證明不等式問題)。屬高檔題的范疇，考查交匯知識綜合處理能力。解題中 需用到函數(shù)與

13、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、轉化與劃歸思想2【分析及解】(1) b=2日t h(x) =ln x -ax2 -2x11 - ax2 - 2xh (x) =ax-2 , 丫 h(x)有單倜減區(qū)間，h(x)0有解，即 0 , ax +2x10有角軍a之0時合題意 a0,即 a1, a 的范圍是(一1,收)一.1-x(2)設中(x) = f (x) - g(x) = ln(x+1) - x , 中(x) =-1 =, - x -1x 1 x 1x(-1,0)0(0尸)(x)+0一邛(x)/最大值當x=0時平(x)有最大值0, 平(x)M0恒成立即 f (x) -g(x) 1 成立(3)0

14、： x : y TOC o 1-5 h z x yx yx yxln x y ln y (xy) ln二 x(ln x ln-) y(ln y ln)2222x2yx y x y= xln y l n =-xln -ylnx y x y2x2yy -xx - y y - x x - y= -xln(1 +-)-yln(1 +-)-x -y -=0 , 求證成立 2x2y2x 2y評注：導數(shù)是研究函數(shù)的工具，導數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間。所以把導數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，

15、反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)， 對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周 期性等，而是把高次多項式函數(shù)， 分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、 差、積、商都成為命題的對象， 試題的命制往往融函數(shù)，導數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的 范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶 藏。通過構造函數(shù)，以導數(shù)為工具，證明不等式，解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證 明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結

16、構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。五、圓錐曲線的綜合問題【例5】已知拋物線x2=4y,過定點M o(0,m)(m 0)的直線l交拋物線于A、B兩點.(I)分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條切線的交點 P(x0,y0) 在定直線y = m上.(n)當m2時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關于直線l對稱，弦長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用 m表示)，若不存在，請說明理由.命題意圖：圓錐曲線的綜合問題主要考點是雙曲線、拋物線、橢圓相結合，重點是圓錐曲線 的統(tǒng)一定義，點、弦、面積、取值范圍、定值，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想。 TOC o 1-5

17、 h z 1 21一 【分析及斛】(I)由y = x ,得 y = x,設 A(x1, y1), B(x2,y2)421.一過點A的切線萬程為：y y1 = x1(x -為)，即x1x = 2(y+y1) 2同理求得過點B的切線方程為：x2x = 2(y + y2).直線 pA、PB過 P(x, y), . x1小 =2(y0+y)，x2x0 =2(y+y2)，點 A(xi,yi),B(x2, y2)在直線 xx0=2(y0+y)上， .直線 AB 過定點 M 0(0,m),0=2(% +m),即 y0 = -m 1 1兩條切線PA、PB的父點P(x, y)在te直線y = m上.(n)設 P

18、(x3, y3),Q(x4, y4)，設直線 l 的方程為：y = kx + m,則直線PQ的方程為：y = x+n, k1y 二一x n 2 4k x x -4n = 0, TOC o 1-5 h z x2 =4y卜工 44 2 1，x3+x4=-一，x3 x4 = -4n , = ；+16n0kIk， Xq x212設弦 PQ 的中點 G(x5, y5)，則 x5 = - , y5 = - x5 + n = 2 + nkkk HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 22,弦 PQ 的中點 G(x5, y5)在直線 l 上，2-+n = k (- ) + m, k2k.2.2- 2-即 n =k (一一)+m = m-2 k k2k2一一i- 4、21代入中，得一+16(m-2-)0= m-2.Ik Jk k|PQ|=11+“+ J J(x3 +4)24x3X411 1-4I X3 - X4 I =16n =16(m-2-k；)=4J+(m_3)J+m_2