激光器的工作原理

1、激光器的工作原理光學(xué)諧振腔結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性激光是在光學(xué)諧振腔中產(chǎn)生的。它的主要功能之一是使光在腔內(nèi)來回反射多次以增長激 活介質(zhì)作用的工作長度，提高腔內(nèi)的光能密度。顯而易見的是，不垂直于反射鏡表面的傍軸 光線經(jīng)過有限次的反射就會投射到平面鏡的通光口徑之外，而使得激活介質(zhì)作用的工作長度 只得到很有限的增長。所以，光線能夠在諧振腔中反射的次數(shù)與其結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。能夠使腔 中任一束傍軸光線經(jīng)過任意多次往返傳播而不逸出腔外的諧振腔能夠使激光器穩(wěn)定地發(fā)出 激光，這種諧振腔叫做穩(wěn)定腔，反之稱為不穩(wěn)定腔。我們討論光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性的 關(guān)系。共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件光學(xué)諧振腔都是由相隔一定距離的兩塊反射鏡組成

2、的。無論是平面鏡還是球面鏡，無 論是凸面鏡還是凹面鏡，都可以用“共軸球面”的模型來表示。因?yàn)橹灰褍蓚€(gè)反射鏡的球 心連線作為光軸，整個(gè)系統(tǒng)總是軸對稱的，兩個(gè)反射面可以看成是“共軸球面”。平面鏡是 半徑為無窮大的球面鏡。如果其中一塊是平面鏡，可以用通過另一塊球面鏡球心與平面鏡垂 直的直線作為光軸。平行平面腔的光軸則可以是與平面鏡垂直的任一直線。當(dāng)然兩個(gè)平面鏡 不平行不能產(chǎn)生諧振，不在討論之列。圖（2-1）共軸球面腔結(jié)構(gòu)示意圖如圖（2-1）所示，共軸球面腔的結(jié)構(gòu)可以用三個(gè)參數(shù)來表示：兩個(gè)球面反射鏡的曲率 半徑虬、R2，和腔長即與光軸相交的反射鏡面上的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離L。如果規(guī)定凹面鏡 的曲率半徑為

3、正，凸面鏡的曲率半徑為負(fù)，可以證明共軸球面腔的穩(wěn)定性條件是R2 J1(2-1)上式左邊成立的條件等價(jià)于（1 - LVRiJ和1-VR2 J同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)，這就要求兩鏡面的曲率半徑為正時(shí)必須同時(shí)大于腔長或同時(shí)小于腔長。如果鏡面的曲率半徑同時(shí)為負(fù)，盡管上式左邊成立，右邊的不等式卻不成立。如果鏡面的曲率半徑一正一負(fù)，則需要具體討論。2.共軸球面腔的穩(wěn)定圖及其分類為了直觀起見,常用穩(wěn)定圖來表示共軸球面腔的穩(wěn)定條件。首先定義兩個(gè)參數(shù)i - LR1i - LR2共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件（2-1）式可改寫為1即當(dāng)（2-2）式成立時(shí)為穩(wěn)定腔；當(dāng)2g 2 0時(shí)為非穩(wěn)腔；當(dāng)或g1 - g 2 2 1g1 -

4、 g 2 = 0或 gg2= 10 g1 - g 2 L，R2L的腔對應(yīng)圖中l(wèi)區(qū)；R1L， R2L的腔對應(yīng)圖中2、3和4區(qū)。平凹穩(wěn)定腔由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成。其中，凹面鏡RL，它對應(yīng)圖中 AC、AD 段。 凹凸穩(wěn)定腔 由一個(gè)凹面鏡和一個(gè)凸面鏡組成。滿足條件R10, R2l R2I， R1LR1-| R2I ；或 IR2I R1L 的腔對應(yīng)圖中 5 區(qū)。R10, R2| R1I，R2LJLJL44JLJL44JL4R2-I RI ；或I RI R2L的腔對應(yīng)圖中6區(qū)。共焦腔R=R2=L,因而g1=0, g2=0,它對應(yīng)圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)。因?yàn)槿我獍S光線 均可在共焦腔內(nèi)無限往返而不逸出腔外，所

5、以它是一種穩(wěn)定腔。但從穩(wěn)區(qū)圖上看，原點(diǎn)鄰近 有非穩(wěn)區(qū)，所以說它是一種很特殊的穩(wěn)定腔。半共焦腔 由一個(gè)平面鏡和一個(gè)R=2L的凹面鏡組成的腔。它對應(yīng)圖中E和F點(diǎn)。臨界腔平行平面腔 因gi = g2=1，它對應(yīng)圖中的A點(diǎn)。只有與腔軸平行的光線才能在腔內(nèi) 往返而不逸出腔外。共心腔 滿足條件R2+R2=L的腔稱為共心腔。如果R10，R20，且R1+R2=L， 公共中心在腔內(nèi)，稱為實(shí)共心腔。這時(shí)，g0，g20，g2 0，g1g2=1，它對應(yīng)圖中第一象限的g1g2=1的雙曲線。半共心腔由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成。凹面鏡半徑R=L，因而，g1 = 1，g2 =0，它對應(yīng)圖中C點(diǎn)和D點(diǎn)。實(shí)共心腔內(nèi)有一個(gè)光束會

6、聚點(diǎn)，會引起工作物質(zhì)的破壞；半共心腔的光束會聚點(diǎn)在平面 鏡上，會引起反射鏡的破壞。因此，有實(shí)際價(jià)值的臨界腔只有平行平面腔和虛共心腔。非穩(wěn)腔對應(yīng)圖中陰影部分的光學(xué)諧振腔都是非穩(wěn)腔。非穩(wěn)腔，因其對光的幾何損耗大，不宜用 于中小功率的激光器。但對于增益系數(shù)G大的固體激光器，也可用非穩(wěn)定腔產(chǎn)生激光，其 優(yōu)點(diǎn)是可以連續(xù)地改變輸出光的功率，在某些特殊情況下能使光的準(zhǔn)直性、均勻性比較好。區(qū)分穩(wěn)定腔與非穩(wěn)腔在制造和使用激光器時(shí)有很重要的實(shí)際意義，由于在穩(wěn)定腔內(nèi)傍軸 光線能往返傳播任意多次而不逸出腔外，因此這種腔對光的幾何損耗(指因反射而引起的損 耗)極小，一般中小功率的氣體激光器(由于增益系數(shù)G小)常用穩(wěn)定腔

7、，它的優(yōu)點(diǎn)是容易產(chǎn) 生激光。以下將會看到，整個(gè)激光穩(wěn)定腔的模式理論是建立在對稱共焦腔的基礎(chǔ)上的，因此， 對稱共焦腔是最重要和最有代表性的一種穩(wěn)定腔。3.穩(wěn)定圖的應(yīng)用有了穩(wěn)定圖，選取光學(xué)諧振腔的腔長或反射鏡的曲率半徑就方便多了，現(xiàn)舉例如下：(1)要制作一個(gè)腔長為L的對稱穩(wěn)定腔，反射鏡曲率半徑的取值范圍如何確定？在穩(wěn)定圖中，對稱腔對應(yīng)于區(qū)域1、2中連接A、B兩點(diǎn)的線段AB,如圖(2-2)。由 AB線段所對應(yīng)的坐標(biāo)值范圍立即就可找到曲率半徑的范圍是：L/2R 8 ,最大曲率半徑 可以取R1=R2- 8，這是平行平面腔，最小取R=R2=L/2，即共心腔。給定穩(wěn)定腔的一塊反射鏡，要選配另一塊反射鏡的曲率

8、半徑，其取值范圍如何確 定？根據(jù)已有反射鏡的數(shù)據(jù)，例如R1 = 2L，求出g1=l-L/R1 = 0.5,在穩(wěn)定圖g1軸上找出 相應(yīng)的C點(diǎn)，如圖(2-3a)，過C點(diǎn)作一直線平行于g2軸，此直線落在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的線段CD 就是所要求的另一塊反射鏡曲率半徑的取值范圍，由CD上任一點(diǎn)所對應(yīng)的R2值都能與已 有的反射鏡配成穩(wěn)定腔，R2可用凹面鏡，也可用凸面鏡，若用凹面鏡，則取值范圍為：LR2 8，若用凸面鏡，取值范圍為一8 R2 -L。如果已有兩塊反射鏡，曲率半徑分別為、R2,欲用它們組成穩(wěn)定腔，腔長范圍 如何確定？由已知的曲率半徑求出k=R2/R1，代入g、g2的表達(dá)式中，找出g、g2的方程，從而 找

9、出腔長的取值范圍。例如，k=2,有L L 11 k 1g =1=1=(k l+g)= g +=0.5g+0.52 R kR k 1 k 1 k 1這是斜率為0.5、截距為0.5的直線方程，此直線落在穩(wěn)定區(qū)中的線段為AE、DF，如圖(2-3b)。 圖2-3 (b)中的線段中的AE線段對應(yīng)的腔長取值范圍為0LR，圖2-3 (b)中的線 段DF對應(yīng)的腔長取值范圍為2R1 L )的速率增加?？偲饋?， 單位時(shí)間內(nèi)E1能級上粒子數(shù)密度的增加可由下式表示dn1 = R + n A - n A + (n B - n B ) p f (v)(2-5b)dt 12 211 12 211 12而總的粒子數(shù)為各能級上

10、粒子數(shù)之和n = n0 + % + n2(2-5c)上述三個(gè)方程組成描述各能級上的粒子數(shù)密度隨時(shí)間變化規(guī)律的速率方程組，它是個(gè)微 分方程組。由這個(gè)方程組出發(fā)，原則上可以計(jì)算出任何時(shí)刻各個(gè)能級上的粒子數(shù)量，因而可 以用來研究上下能級之間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)的問題。穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布首先來簡化(2-5)式表示的微分方程組。(2-5)式描述的是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，而激光器在工 作的時(shí)候會達(dá)到穩(wěn)態(tài)的動(dòng)平衡，各能級上粒子數(shù)密度并不隨時(shí)間而改變，即dndndn八0 = 1 =2 = 0dtdtdt從而第一步可將微分方程組簡化為一個(gè)描述穩(wěn)態(tài)過程的代數(shù)方程組。不失一般性，可以假設(shè)能級e2、e1的簡并度相等，

11、即g=g2。因此有對許多四能級系統(tǒng)的高效率激光器，可以認(rèn)為E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率氣遠(yuǎn)大于E2能級向基態(tài)E0的自發(fā)躍遷幾率0，即有A A此時(shí)，速率方程組簡化為R2 - n 2 A2 - (n -n)B pf。)= 0(2-6a)R - n A + n A + (n - n )B pfG)= 0(2-6b)11 12 22121兩式相加，有R + R = n A = % n n =(R + R 七1211 T1121將上式代回(2-6a)式得R + (R + R )t,B ,P f (v)廣A； + B： p f 不)_ R2 + ( + R2)l B“ p f (v)-+ B p f

12、(v) T 212R t + (R + R )t t B p f (v)_ 2212_1-211 +T2B21 p f (V )式中T 2、T1分別為上、下能級上粒子的壽命。激光上、下能級間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布An可以表示為An _ n - nR t + (R + R )t t B p f (v) _ 12211 +T2B21 p f (v )-(R + R?)R T - (R + R )t1+T 2 B21 p f (V )Ano1+T 2a” p f (V )(2-7)(2-7)式就是一般的穩(wěn)態(tài)情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值與各參量之間的關(guān)系式。小信號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布式(2-7)中的

13、參數(shù)o的表達(dá)式為An0 = R T -(R + R )c(2-8)它是當(dāng)分母中的第二項(xiàng)為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值。由于分母中的第二項(xiàng)一定是個(gè)正 值，因此它又是粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值可能達(dá)到的最大值。顯然，t 2、B21和f C)作為物 理常數(shù)是不能改變的，不會為零只有在諧振腔中傳播的單色光能密度P可能趨近于零。換句話說，參數(shù)An 0對應(yīng)著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分 布值的大小。在激光諧振腔中尚未建立受激輻射光放大的穩(wěn)定工作狀態(tài)發(fā)出激光之前，諧振 腔內(nèi)單色光能密度相對于穩(wěn)定工作發(fā)出激光時(shí)的值要小得多，可認(rèn)為近似為零。因此參數(shù)An 0對應(yīng)著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時(shí)的狀

14、態(tài)，通常把這個(gè)狀態(tài)叫作小信號工作狀態(tài)，而 參數(shù)An 0就被稱作是小信號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布。式(2-8)給出了小信號工作時(shí)粒子數(shù)密度在能級間的反轉(zhuǎn)分布值與能級壽命、抽運(yùn)速率 之間的關(guān)系?？梢钥闯?，首先，在選擇激光上、下能級時(shí)應(yīng)該滿足這樣的要求：e2能級的 壽命要長，使該能級上的粒子不能輕易通過非受激輻射而離開；E1能級的壽命要短，使E1 能級上的粒子能很快地衰減。這就是說，滿足條件T2T1的能級，有利于實(shí)現(xiàn)能級間的粒子 數(shù)反轉(zhuǎn)分布。其次，應(yīng)該選擇合適的激勵(lì)能源，使它對介質(zhì)的2能級的抽運(yùn)速率R2愈大愈 好，對E1能級的抽運(yùn)速率R1愈小愈好。均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分

15、布表達(dá)式中包含有激光工作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)，這就意味著激光工 作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)對激光器的工作有很大影響。首先來討論均勻增寬型介質(zhì)的情況。均勻增寬的介質(zhì)的線型函數(shù)為f G）=%12Uv 0 * 2犬刃中心頻率值為& ）=三okAv如果介質(zhì)中傳播著的光波頻率為v0,則pf（V ）=-2I0kcAv于是光波頻率為vo時(shí)，（2-7）式分母上的第二項(xiàng)可改寫為式中Is為飽和光強(qiáng)，其定義為(2-9)kcAv2四B t如果介質(zhì)中傳播著的光波頻率vv o則（2-7 ）式分母上的第二項(xiàng)可以化簡為T 2 B21這樣，（2-7）式就可以表示為An0-:r = sAn0Isv =v0(v -v )2 +02An o

16、(2-10)(v -v )2 +0r I)4,1+1 IJI 2 J2s（2-10）式就是均勻增寬型介質(zhì)內(nèi)E2、El能級之間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式，它給出了能 級間的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值與腔內(nèi)光強(qiáng)/、光波的中心頻率v0、介質(zhì)的飽和光強(qiáng)1,、激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率R2、R1以及介質(zhì)能級的壽命12、T1等諸參量之間的關(guān)系(后兩項(xiàng)體現(xiàn)在Am 中)。均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)(2-10)式表明，當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)長0(即小訊號)時(shí)，介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值A(chǔ)最大，其值為Am，A。由能級壽命、抽運(yùn)速率決定。對一定的介質(zhì)，R愈大，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分R1布值A(chǔ)n。也愈大。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)的影響不能忽略時(shí)

17、，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值A(chǔ)n將隨光強(qiáng)的增加而減小，此現(xiàn)象稱為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)一定時(shí)，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值A(chǔ)n隨腔內(nèi)光波頻率而變，圖(2-6)給出了 I 一定時(shí)An隨v變化的曲線。為了更具體地說明頻率對An的影響，令腔中光強(qiáng)都等于I,，根 據(jù)(2-10)式算出幾個(gè)頻率下的An值。結(jié)果表明，頻率為V。的光波能使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布 值下降一半，而頻率為V 土 AV的光波僅能使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值下降1/6。隨著頻率對 。中心頻率V的偏離，光波對粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的影響逐漸減小。為了確定對介質(zhì)有影 。響的光波的頻率范圍，通常采用與線型函數(shù)的線寬同樣的定義方法：頻率為V。、強(qiáng)度

18、為Is1 .An 0.的光波使An。減少了Ano/2,這里把使An。減少5()的光波頻率與。之間的間隔定義為能使介質(zhì)產(chǎn)生飽和作用的頻率范圍，計(jì)算表明這個(gè)范圍是V -V。=(2-11)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值不能由實(shí)驗(yàn)直接測定。但是(1-90)式給出了增益系數(shù)和粒子數(shù)密度反 轉(zhuǎn)分布值之間的關(guān)系，而增益系數(shù)G是可以由實(shí)驗(yàn)測定的，因此，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值 An的表示式的正確性可以通過測定G而間接地得到驗(yàn)證。圖(2-6) An的飽和效應(yīng)需要說明的是，雖然公式(2-10)是經(jīng)過較多簡化后導(dǎo)出的，但是實(shí)驗(yàn)證明，在激光器 工作的過程中，它能夠反映增益介質(zhì)與各個(gè)參量之間關(guān)系的主要特性。均勻增寬介質(zhì)的增益系數(shù)和增

19、益飽和增益系數(shù)對激光器的工作特性起著十分重要的作用，本節(jié)將對增益系數(shù)進(jìn)行深入的討 論。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同的介質(zhì)，其增益系數(shù)可以有很大的差別，同一種介質(zhì)的增益系數(shù)也隨工 作條件的變化而改變。介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率變化的規(guī)律和介質(zhì)的線型函數(shù)隨頻率變化的規(guī) 律相似。當(dāng)測量增益系數(shù)所用的入射光強(qiáng)度很小尚未發(fā)出激光時(shí)，測得的增益系數(shù)是一個(gè)常 數(shù)，可以視為上一節(jié)中定義的小訊號的增益系數(shù)。當(dāng)測量所用的光強(qiáng)增大到一定程度后，增 益系數(shù)G的值將隨光強(qiáng)的增大而下降，產(chǎn)生增益飽和現(xiàn)象。這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都將在本節(jié)進(jìn)行 討論。均勻增寬介質(zhì)的增益系數(shù)當(dāng)增益介質(zhì)中發(fā)生粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布時(shí)，受激輻射將大于受激吸收，在介質(zhì)中傳播的 光將

20、得到受激放大。標(biāo)志介質(zhì)受激放大能力的物理量一增益系數(shù)G可以用式(1-90)表示為G (v) = AnB法h f (v)該式說明，增益系數(shù)與介質(zhì)的若干物理常數(shù)有關(guān)，同時(shí)還取決于介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分 布值A(chǔ)n。對于均勻增寬介質(zhì)，將粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布(2-10)式代入(1-90)式，得到gG )=(2-12)當(dāng)介質(zhì)中尚未發(fā)生光放大時(shí)，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值達(dá)到最大值A(chǔ)。，與之對應(yīng)的增益系數(shù)可以定義為小訊號增益系數(shù)Go（v ）(2-13)GoG)= AnoB /zv /C)21 C 0式中/W）代表介質(zhì)的線型函數(shù)，并且已用 加來代替如。由于光的頻率v很大，線寬AVV 所必與加?？梢曰ハ嗵娲?。將（2T

21、3）式代入（2-12）式得到(2-14)Go。）決史/川）+T/C ）S 0這就是均勻增寬介質(zhì)增益系數(shù)的表達(dá)式。因?yàn)樾∮嵦柫Ｗ訑?shù)密度反轉(zhuǎn)與光強(qiáng)無關(guān)，所以Q-13）表示的小訊號增益系數(shù)也與光強(qiáng) 無關(guān)，而僅僅是頻率v的函數(shù)。這說明增益介質(zhì)對不同頻率的光波有不同的小訊號增益系數(shù), Go&）與譜線的線型函數(shù)/C）有相似的變化規(guī)律，如圖（2-7）所示。從圖中可以看出，譜 線中心頻率v處的增益系數(shù)值GoG ）最大，隨著頻率對中心頻率v的偏離，小訊號增益 000系數(shù)Go & ）也逐漸減小。圖（2-7）均勻增寬介質(zhì)小訊號增益系數(shù)對均勻增寬型介質(zhì)，中心頻率處線型函數(shù)值%） = -A-，代到（2-13域中，可得到

22、中心頻率處的小訊號增益系數(shù)G0。)= M0B hv -(2-15)（2-15）式說明，中心頻率處的小信號增益系數(shù)與線寬成反比，其原因是線型函數(shù)的歸一化條 件決定了線寬A-愈小，中心頻率處的f G ）值愈大，受激輻射幾率氣Pf * ）也愈大，因 此增益系數(shù)G0（V ）也愈大。0均勻增寬介質(zhì)的增益飽和在測定增益系數(shù)的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在抽運(yùn)速率一定的條件下，當(dāng)入射光的光強(qiáng)很弱時(shí)，增 益系數(shù)是一個(gè)常數(shù)；當(dāng)入射光的光強(qiáng)增大到一定程度后，增益系數(shù)隨光強(qiáng)的增大而減小，這 種現(xiàn)象稱為增益飽和。增益系數(shù)隨光強(qiáng)的增加而減小是因?yàn)楣獾氖芗ぽ椛鋵橘|(zhì)的粒子數(shù)密 度反轉(zhuǎn)分布有著強(qiáng)烈的影響造成的。當(dāng)諧振腔中光強(qiáng)很弱時(shí)，介質(zhì)的

23、受激輻射幾率很小，粒 子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布幾乎不隨光強(qiáng)變化，介質(zhì)對光波的增益系數(shù)也不隨光強(qiáng)改變。此時(shí)，光波 在介質(zhì)中以最大的相對增長率G0（V ）不斷地獲得放大。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)逐漸增強(qiáng)，介質(zhì)中的粒 0子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值將因受激輻射的消耗而明顯下降，光強(qiáng)越強(qiáng)，受激輻射幾率越大，上能 級粒子數(shù)密度減少得越多，這就使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值也下降得越多，進(jìn)而使增益系數(shù)也 同樣下降，這就是增益飽和的實(shí)質(zhì)。但是這里應(yīng)該提請注意的是，上面所說的光強(qiáng)的大小都 是相對于飽和光強(qiáng)而言的，也就是指比值I /1的大小。增益飽和現(xiàn)象可分三種情況進(jìn)行討論。1、介質(zhì)對頻率為-0、光強(qiáng)為1的光波的增益系數(shù)介質(zhì)中傳播著強(qiáng)度為/、頻率v0

24、的光波時(shí)，介質(zhì)對此光波的增益系數(shù)可由（2-14）式得出G 0(-)iS（2-16）G(v、 G0(v )(0)= IEI(v 0)式中包含的飽和光強(qiáng)Is在上一節(jié)中已經(jīng)定義，它是激光工作物質(zhì)的一個(gè)重要參量，是發(fā)光物質(zhì)光學(xué)性質(zhì)的反映。不同激光工作物質(zhì)的飽和光強(qiáng)值不相同。有些介質(zhì)如二氧化碳，它的 飽和光強(qiáng)值很大。由二氧化碳構(gòu)成的激光器，即使腔內(nèi)光強(qiáng)的數(shù)值已經(jīng)很大，與介質(zhì)的飽和 光強(qiáng) e 外的f (v)V 、值迅速趨近于零，所以，實(shí)際上v 1的取值范圍為V5 或積分是在以V為中心、以均勻增 寬的線寬為范圍的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行的。也就是說，G(y )實(shí)際上是由頻率在范圍vAvv -v v + 212內(nèi)的粒子數(shù)密

25、度反轉(zhuǎn)分布值貢獻(xiàn)的。在此范圍內(nèi)，非均勻增寬的線型函數(shù)京1)幾乎不變， 可以用fD(v )代替，如圖(2-11)所示。這樣，上式積分可以化為Go G)=AnoB hvf。卜竽竺*-v 1 )+： T /=AnoB hv f (v)(2-27)21 C D(2-27)式就是非均勻增寬型介質(zhì)的小訊號增益系數(shù)的表達(dá)式?？梢钥闯觯c均勻增寬型介質(zhì)的小訊號增益系數(shù)(2-13 )式在形式上是一致的。圖(2-11)非均勻增寬型介質(zhì)的小訊號增益根據(jù)(2-27)，同樣可以求得中心頻率處的小訊號增益系數(shù)Gd(v 0)，它與線寬AvD成反比2 H -(2-28)Go(v ) = An。B 一 hD非均勻增寬型介質(zhì)穩(wěn)

26、態(tài)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布對非均勻增寬型介質(zhì)，當(dāng)頻率為V1、強(qiáng)度為/的光波在其中傳播時(shí)，對中心頻率為七的 粒子來說，這相當(dāng)于用中心頻率的光波與均勻增寬型介質(zhì)作用引起粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的 飽和，(2-1。)式的第一式相應(yīng)地變?yōu)?a / 、 Ano(v )Ano(2-29)An(v ) = = T f (v )1 a I、Id 11 + 1 + I I(2-29)式給出了非均勻增寬型介質(zhì)中頻率為V1附近單位頻率間隔內(nèi)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值隨頻率為v 1、光強(qiáng)為/的光波變化的關(guān)系式。由于光波的頻率V不在該粒子的中心頻率，頻率V1的光對附近的頻率為v處單位頻率間隔內(nèi)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值A(chǔ)n(v )的飽和效應(yīng)

27、規(guī)律，應(yīng)由(2-1。)式的第二式給出，故有An(v)=Ano(v)AnoIf (v )1Isf (v)1f (v ) fD (v )1 +1 Isf (v)(v-v)2 +岑2(2-30),JAn0 f (v) (v-v)2 + + 3停 jd1 I Is 八 2 7式中七是光波的頻率，v是粒子的中心頻率，Av為均勻增寬譜線的線寬。這就是說，頻率 為v 1的光波也可以引起頻率為v的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值A(chǔ)n(v )的飽和。計(jì)算表明，v 1光波對頻率為12 Av的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的1飽和作用已很弱。圖(2-12)非均勻增寬型粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用圖(2-12)描繪了 v 1光波對頻率為v的

28、粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用以及起作用的頻率范圍。由于光波頻率v】恰好是a點(diǎn)的中心頻率，因此，在光波I作用下(U下降到a點(diǎn)。12 Av元，所以飽和效應(yīng)但對力點(diǎn),光波的頻率 1不是它的中心頻率，故b點(diǎn)的飽和效應(yīng)比a點(diǎn)弱，它僅下降至b品(I) 對于c點(diǎn)，光波的頻劄對它的中心頻率的偏離已大于寬度1 +廠I 112獸 范圍內(nèi)的粒子有飽和作用，因此在偵。)v曲線上形成一個(gè)以v21可以忽略。由此可見，頻率為v 1強(qiáng)度為/的光波僅使圍繞中心頻氣、寬度為v -v =(1 + /J為中心的凹陷，習(xí)慣上把它叫做孔，這就是非均勻增寬型介質(zhì)在較大訊號情況下的粒子數(shù)密 度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)?？椎纳疃葹锳no(v )-

29、An(v ) = -LAno(v )11. I11 + Is孔的寬度為8v =孔的面積8 S 牝 An0 (v )Av1通常稱上述現(xiàn)象為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的“燒孔”效應(yīng)。大致說來，燒孔面積的大小 與受激輻射功率成正比。非均勻增寬型介質(zhì)穩(wěn)態(tài)情況下的增益飽和(i Y 在非均勻增寬型介質(zhì)中，頻率為V、強(qiáng)度為I的光波只在V附近寬度約為1 +亍 AvI T 的范圍內(nèi)有增益飽和作用，如圖(2-13)所示。增益系數(shù)在v 1處下降的現(xiàn)象稱為增益系數(shù)的“燒孔”效應(yīng)。與圖(2-12)的燒孔情況相仿，孔的中心頻率仍是光頻V1，孔寬8v仍為12 一Av，只是孔的深度淺了一點(diǎn)。在頻率為強(qiáng)度為/的光波作用下，介質(zhì)的增益

30、系數(shù)%v 1)可以計(jì)算出得到Gd (v1) =(2-31)G 0(v )12至于在七光波的作用下對其他頻率下介質(zhì)的增益系數(shù)，由于它與小訊號增益系數(shù)相比變化不大，圖(2-13)非均勻增寬型增益飽和比較(2-16)式和(2-31)式可以看出，光波I使非均勻增寬型介質(zhì)發(fā)生增益飽和的速率要 比對均勻增寬型介質(zhì)的情況緩慢。例如，當(dāng)光強(qiáng)I=Is時(shí)，均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)下降為小訊號增益系數(shù)的一半即2 %)，而非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)僅降到小訊號增 益系數(shù)的二2。比較圖(2-9)與圖(2-13)可以看出，光強(qiáng)為/的光波使均勻增寬型介質(zhì)對各種頻率的光波 的增益系數(shù)都下降同樣的倍數(shù)。而對非均勻增寬型介質(zhì)，光

31、強(qiáng)為I的光波只能引起以光波頻一 (i V2率v 1為中心頻率、頻寬兩二1 + Av范圍內(nèi)的增益系數(shù)下降，而且孔內(nèi)不同頻率處 s /增益系數(shù)下降的值不同。實(shí)際上均勻增寬型與非均勻增寬型的飽和作用影響的頻率范圍是一 樣大的。由于多普勒增寬比均勻增寬要寬得多，同樣的頻率范圍對于多普勒增寬只能燒一個(gè) 孔。對多普勒增寬型氣體激光器，由于諧振腔的存在，腔內(nèi)光束是由傳播方向相反的兩列行 波組成的。頻率為V 1、沿腔軸正方向傳播的光波將引起沿腔軸方向運(yùn)動(dòng)的速度匕為u=C1 V0附近的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和，因而在G00， 或者說增益系數(shù)G0。但是，由于光波在實(shí)現(xiàn)了粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的介質(zhì)中傳播時(shí)還有 各種損

32、耗，只有當(dāng)因增益放大而增加的光能量除了能夠補(bǔ)償因損耗而失去的部分外還能有剩 余時(shí)，光波才能被放大。所以要求增益系數(shù)要大于一個(gè)下限值，此下限值即為激光器的閾值， 它由各種損耗的大小所決定。本節(jié)從分析穩(wěn)定光強(qiáng)形成的過程出發(fā)，找出雙程光放大倍數(shù)K與增益系數(shù)和各種損耗 之間的關(guān)系，從而得出增益系數(shù)的閾值表達(dá)式和粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的閾值表達(dá)式。1.激光器的損耗激光器的損耗指的是在激光諧振腔內(nèi)的光損耗，這種損耗可以分為兩類，第一類是諧振 腔內(nèi)增益介質(zhì)內(nèi)部的損耗，它與增益介質(zhì)的長度有關(guān)，叫做內(nèi)部損耗，第二類損耗是可以折 合到諧振腔鏡面上的損耗，叫做鏡面損耗。1.內(nèi)部損耗在增益介質(zhì)內(nèi)部由于成分不均勻、粒子數(shù)密

33、度不均勻、或者有缺陷，光波通過這樣的介 質(zhì)時(shí)就會發(fā)生折射、散射，使部分光波偏離原來的傳播方向，造成光能量的損耗。增益介質(zhì) 內(nèi)還會有不在下能級的粒子吸收光能，躍遷至其他上能級去造成光能量的損耗。這樣，當(dāng)光 穿過增益介質(zhì)時(shí)，在獲得增益的同時(shí)，又會因上述損耗的存在以相對速物內(nèi)而減小，。內(nèi)稱 為內(nèi)部損耗系數(shù)，和增益系數(shù)一樣具有L-i量綱。它表示光通過單位長度介質(zhì)時(shí)光強(qiáng)的相對 損耗率，介質(zhì)越長，因內(nèi)損耗而失去的光能量也越多，此時(shí)，光在增益介質(zhì)中的變化規(guī)律就 由（1-91）式變?yōu)橄率絀 = I exp G 一 a內(nèi)）z（2-32）2.鏡面損耗用r、r和1、t分別代表諧振腔反射鏡Mr M,的反射系數(shù)和透射系

34、數(shù)，當(dāng)強(qiáng)度為I 121212的光波射到鏡面上時(shí)，其中二i部分（或七1）反射回腔內(nèi)繼續(xù)放大，其余部分對諧振腔來說都 是損耗，這些損耗包括：由鏡面上透射出去作為激光器對外輸出的 i（或t21），鏡面的散射、 吸收以及由于光的衍射使光束擴(kuò)散到反射鏡范圍以外而造成的損耗，后者用a1I （或a21）表 示，這些損耗統(tǒng)稱為鏡面損耗。應(yīng)當(dāng)注意：與內(nèi)損耗系麴內(nèi)不同，反射系數(shù)、透射系數(shù)二、 r、t、t和鏡面損耗a、a都是無量綱的參數(shù)。21212激光諧振腔內(nèi)形成穩(wěn)定光強(qiáng)的過程激光諧振腔內(nèi)光強(qiáng)由弱變強(qiáng)直至最后達(dá)到穩(wěn)定的過程可以用圖（2-15）來描繪。設(shè)增益介 質(zhì)長為L，用圖（2-15）中的橫坐標(biāo)表示，腔內(nèi)光強(qiáng)用縱軸

35、表示。M2是反射率r 1的全反射 鏡，置于z=L處，M1是反射率二 1的部分反射鏡，置于坐標(biāo)z=0處。由于M2的透射率t2牝0,我們把M2上的鏡面損耗全部折合到M1上，這樣，腔內(nèi)各點(diǎn)的光強(qiáng)值隨時(shí)間而增長的情況，由圖（2-15）中不同曲線II，II”，II，II ，II”，I I11111222m m mm+1所表示。這一部分曲線代表光的放大過程，當(dāng)光強(qiáng)達(dá)到穩(wěn)定后，穩(wěn)定光強(qiáng)在腔中傳播的過程圖（2-15）激光諧振腔內(nèi)光強(qiáng)增長由閉合曲線AI（L），I（2 L ）A所表示。I（L ） I（2 L ）1.諧振腔內(nèi)光強(qiáng)的放大過程激光器開始工作時(shí)，由于自發(fā)輻射，腔內(nèi)沿z軸方向有很微弱的光強(qiáng)傳播著。把這微弱

36、的光強(qiáng)等效成在z = 0處有一束強(qiáng)度為I1的入射光沿腔軸傳播，由于腔內(nèi)光強(qiáng)很弱，此時(shí)介 質(zhì)的增益系數(shù)就是小訊號增益系數(shù)G0。I在介質(zhì)中依I1 exp（70 -內(nèi)的規(guī)律放大，傳至 M2處時(shí)，I1已放大為expG0 -a內(nèi)L。在M2上，光波經(jīng)M2反射，反射光將沿-z方向 傳播，其光強(qiáng)為I = r I expG0 - a L12 1內(nèi)圖中曲線11/1表示了這個(gè)過程。/：又經(jīng)增益介質(zhì)進(jìn)行放大，再傳到M1處時(shí)，光強(qiáng)已增至I； = I expG0 - a L = r I expG0 - a 上L內(nèi) 2 1內(nèi)如圖中曲線11 I:所示。I = rrI21 2 1I:光強(qiáng)在M1上一部分反射回波內(nèi)繼續(xù)放大，這部分

37、為部分作為激光器的輸出由M1鏡透射出去，這部分的大小為I = trIout 12 1其余部分都作為鏡面損耗而損失掉了，這部分為I = a I = a r I expG0 - a 上Lh 1 11 2 1內(nèi)圖中縱軸上II代表總鏡面損耗I+1，即12out h)r I expG0 一 a內(nèi)上L此時(shí)腔內(nèi)光的放大倍數(shù)為K =匕=rr exp1(G 0 - a 內(nèi))2 L 1(2-33)I2又在增益介質(zhì)中沿z軸傳播，并往返于M、M2反射鏡之間，每往返一次，就重復(fù)上述過 程放大K倍，如此往返不止，來回放大，隨著腔內(nèi)光強(qiáng)增大，光的放大倍數(shù)由于增益飽和也逐漸下降。整個(gè)過程由圖中一組曲線II，II，1I，II，

38、I I，11111222m mII所表示。m m+12.諧振腔穩(wěn)定出光過程以均勻增寬型介質(zhì)為例，當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)和介質(zhì)的飽和光強(qiáng)可以比擬時(shí)，增益系數(shù)不再可以-G 0用小信號增益系數(shù)來近似。增益系數(shù)開始依G =-規(guī)律下降，光的放大速率開始隨光強(qiáng)1 + Is的增大而減小，而總損耗卻隨光強(qiáng)的增大而增大，但是光強(qiáng)仍然在增長。隨著光強(qiáng)的增大， 增益系數(shù)進(jìn)一步地減少，光放大速率也進(jìn)一步地減慢。這個(gè)逐漸減慢的放大過程一直持續(xù)到 光在增益介質(zhì)中來回往返一次，由增益而增加的光能量僅夠補(bǔ)償損耗而無剩余為止。此時(shí)， 雖然腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，但腔內(nèi)各點(diǎn)的光強(qiáng)不再隨時(shí)間而變化，輸出光強(qiáng)也不再改變。 光波在腔中往返傳播一次

39、，光強(qiáng)隨路程而變化的曲線構(gòu)成一個(gè)閉合曲線AI（L），IG）IGL），I（2L）A，其中曲線AI（L），I（L）/（2L）代表光波在介質(zhì)中往返一次被 放大的情況，I（2L）A代表往返一次的總鏡面損耗。此時(shí)，光波在介質(zhì)中往返一次所獲得 的放大倍數(shù)為K = r r exp G a內(nèi)）2L = 1（2-34）閾值條件上面討論指出，腔內(nèi)光強(qiáng)比較弱時(shí)，光波往返一次的放大倍數(shù)犬 1，隨著光強(qiáng)不斷地增強(qiáng)，放大倍數(shù)就不斷下降，直至K = 1為止。因此，合并(2-33)式和(2-34)式就可以得到形成激光所要求的雙程放大倍數(shù)K = r r exp G(2-35)也可把(2-35)式改寫為增益系數(shù)的形式(2-36)

40、a內(nèi)一 2L【 尸)=a總(2-37)稱為總損耗系數(shù)，則(2-36 )式可寫為(2-38)這就是形成激光所要求的增益系數(shù)的條件。小訊號增益系數(shù)G 0是激光器在形成激光的過程中增益系數(shù)所能取的最大值。隨著腔內(nèi)光強(qiáng)的增大，增益系數(shù)將不斷下降，當(dāng)增益系數(shù)下降到下限值時(shí)，腔內(nèi)光強(qiáng)也就達(dá)到最大值IM (/M為平均值)。增益系數(shù)的下限值稱為增益系數(shù)的閾值，表示為廠G o氣=-=%1 + *Is(2-39)對非均勻增寬型介質(zhì)，增益系數(shù)的閾值則為G oD(I I s(2-40)由增益系數(shù)的閾值也可以導(dǎo)出粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的閾值俱閾G閾=An閾 B hvf G)= a總An= a-C a閾 B hvfkJ21

41、代入上式有A C3c3OJ 218兀h 3日38兀h 3日3T8兀v 2日2T a(2-41)An 總閾C 2 f (V )式中：t為E2能級的壽命，R為折射率，f(V )為譜線的線型函數(shù)。(2-41)式給出了對激8丸v 2 Li 2T a勵(lì)能源的要求，即激勵(lì)能源對介質(zhì)粒子的抽運(yùn)一定要滿足An 2 An閾-(-，才能 產(chǎn)生激光。對介質(zhì)能級選取的討論在選取激光的能級方面也有一些值得考慮的問題。前面的討論指出，激光上下能級間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值愈大，增益系數(shù)也愈大，而粒 子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值直接由激光上下能級的粒子數(shù)密度決定。如果選取的激光下能級只是基 態(tài)，或者是很接近基態(tài)的能級，那么，根據(jù)玻爾茲曼

42、分布，在常溫下激光下能級上的粒子數(shù) 密度已經(jīng)很大，上能級幾乎是空的，完全靠激勵(lì)能源把下能級中一半以上的粒子不停地抽運(yùn) 到2能級上去，造成粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布，并且E2能級上的粒子數(shù)密度值要滿足(2-42)n n + An閾這就要求激勵(lì)能源有較大的抽運(yùn)功率。如果選取的激光下能級不是基態(tài)，在常溫下它就是一個(gè)空能級，此時(shí)，只要激勵(lì)能源抽 運(yùn)n2 An閾的粒子到E2能級上即可，這對激勵(lì)能源的功率要求就低多了。這兩種情況就是 目前激光能級選取上常說的三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)問題。大量的實(shí)驗(yàn)證明，現(xiàn)有效率較高 的激光器絕大多數(shù)都屬于四能級系統(tǒng)。也就是說，輸出的光能量占激勵(lì)能源輸入的總能量的 百分比高的激光器大多數(shù)用的是四能級系統(tǒng)。下面以常見的三種固體激光器為例，給出參數(shù)，用公式41)算出粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布 值的閾值A(chǔ)n、達(dá)到閾值時(shí)上能級粒子