新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點25 空間幾何體的體積及表面積（教師版含解析）

1、39/39考點25 空間幾何體的體積及表面積知識理解一圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l二空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底Veq f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(4,3)R3考向分析考向一 空間幾何的體積【例1】(2021陜西咸陽市高三一模)如圖，在三棱錐中，平面平面是的中點(1)求證：平面；(2)設(shè)點N是的中點，求三棱錐的體積

2、【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)平面平面，平面，平面，是的中點，平面(2)由(1)知平面，是的中點，到平面的距離是，平面，【方法總結(jié)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解割補法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積等體積法等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決三棱錐的體積【舉一反三】1(2020江西吉安市高三其他模擬)在四棱錐中，平面，底面四邊形是邊長為1的正方形，側(cè)棱與底面成的角是，

3、分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】證明：(1)取的中點，連結(jié)、，是的中點，且，底面四邊形是邊長是的正方形，又是的中點，且，且，四邊形是平行四邊形，又磁面，平面，平面.(2)平面，是側(cè)棱與底面成的角，是等腰直角三角形，則，.2(2021內(nèi)蒙古赤峰市高三月考)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，其中，面面，且，點在棱上.(1)證明：當(dāng)時，直線平面；(2)當(dāng)平面時，求的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：連結(jié)與交于點，連結(jié)，又面，面，平面.(2)解：平面，平面，是的中點，面面，點到面的距離為到面的距離為3(2021安

4、徽蕪湖市高三期末)如圖，三棱柱的各棱的長均為2，在底面上的射影為的重心(1)若為的中點，求證：平面；(2)求四棱錐的體積【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)連接交于點，連接，則為的中點，又為的中點，為的中位線，又平面，平面，平面；(2)在中，為重心，則，在中，則考向二 空間幾何的表面積【例2-1】(2020全國高三專題練習(xí))一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為 .【答案】【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h

5、，則棱錐的斜高為該六棱錐的側(cè)面積為【例2-2】(2020全國高三專題練習(xí))某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，則該組合體的表面積為( )A20BC16D【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【方法總結(jié)】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積求不規(guī)則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求

6、出所給幾何體的表面積【舉一反三】1(2020湖南高三月考)如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，.(1)證明：直線平面；(2)若四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)在平面內(nèi)，因為，所以，又平面，平面，故平面.(2)取的中點，連結(jié)，.依題四邊形為正方形，因為為等邊三角形，所以.又側(cè)面底面，平面平面，所以底面.因為底面.所以，同理側(cè)面，所以.設(shè)，則，.四棱錐的體積，解得.取的中點，連結(jié)，則，所以.所以，. 所以四棱錐的側(cè)面積為.2(2020全國高三專題練習(xí))如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D底面ABCD，BD1B1D，四邊形AB

7、CD是邊長為4的菱形，D1D6，E，F(xiàn)分別是線段AB的兩個三等分點(1)求證：D1F/平面A1DE；(2)求四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面積【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接交于，連接，如圖，分別為，的中點，,又平面A1DE，平面A1DE， D1F/平面A1DE(2)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D底面ABCD，所以四棱柱為直四棱柱，因為在矩形中，BD1B1D，所以四邊形是正方形，所以,所以,又，所以，即四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面積為.3(2020上海閔行區(qū)高三一模)如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于的點.(1)求證：平面

8、；(2)若，求圓柱的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：由已知可知平面，平面，點是上異于的點，是的直徑，所以，又，平面.(2)在中，圓柱的側(cè)面積為：S側(cè) .考向三 點面距【例3】(2021河南信陽市高三月考)如圖，在長方體中，為中點(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)連接交于點，則為中點，連接，又為中點，故為的中位線，故， 又平面，平面，所以平面(2)由(1)知，平面，則到平面的距離與到平面的距離相等，連接故，又中，由余弦定理知：，則，故，.故到平面的距離即點到平面的距離為【舉一反三】1(2021安徽蚌埠市高三

9、二模)如圖，已知四邊形和均為直角梯形，且，(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：在平面中，過作于，交于，連接，由題意知，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面 (2)，平面，平面，平面平面平面，在平面內(nèi)過點作交于，則平面， 設(shè)點到平面的距離為，則由得，由題意知， 代入，解得，即點到平面的距離為2(2021河南高三期末)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點()求證：平面平面；()求點到平面的距離【答案】()證明見解析；()【解析】()由題意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因為，所以平面， 因為平面，所以平面平面 ()

10、如圖，在平面內(nèi)作，垂足為 由()知平面，因為平面平面，所以平面，所以， 又因為，所以平面所以線段的長就是點到平面的距離 因為，所以 在平面內(nèi)，可知， 所以，得，所以點到平面的距離為 3(2021河南駐馬店市高三期末)如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上(不含端點)的動點，(1)證明：平面；(2)求到平面的距離【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)證明：取的中點，連接，因為該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四邊形，則因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以因為平面，平面，所以平面(2)解：連接，記到平面的距離為

11、，則到平面的距離為在中，高為，所以的面積為因為三棱錐的高為，所以的體積為在中，所以的面積為因為的體積與的體積相等，所以，所以故到平面的距離為強化練習(xí)1(2021安徽高三期末)如圖，在直四棱柱(側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱)中，底面是邊長為2的菱形，且，點E，F(xiàn)分別為，的中點，點G在上(1)證明：平面ACE(2)求三棱錐B-ACE的體積【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：連接BD交AC于點O，則O為BD的中點，連接BF，OE，則平面ACE，平面ACE，平面ACE，四邊形為平行四邊形，又平面ACE，平面ACE，平面ACE，平面平面ACE，平面，平面ACE(2)在中，則AC邊上

12、的高為1，又點E到平面ABC的距離為DE，且，2(2021安徽六安市高三一模)如圖，在四棱錐中，平面ABCD，E是PD的中點(1)證明：平面PBC；(2)若，求三棱錐的體積【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：取PC的中點F，連接EF、BF，如圖所示：因為E、F分別為PD，PC的中點，所以且，又，所以且所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面PBC，平面PBC所以平面PBC (2)因為AB=1，所以，即，所以，即，因為E是PD的中點，所以，又，所以，所以，所以，所以.3(2021陜西西安市高三一模)如圖在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.(1)證明：；(2

13、)若M是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求M點的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)M點在上靠近P點的四等分點處.【解析】(1)連接且E是的中點，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又為菱形，且分別為棱的中點，.，又平面；平面.(2)如圖，連接，設(shè)，則，則，又. 解得，即M點在上靠近P點的四等分點處.4(2021安徽池州市高三期末)已知正方體，棱長為2，為棱的中點，為面對角線的中點，如下圖.(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)在正方體中，易知.(2)證明：取的中點分別為，連接，.因為，分別為，的中點，所以,又是正方體，所以平面所以平面

14、，因為平面所以.因為，所以，所以，所以，所以.因為，所以平面，因為平面，所以.連接，在正方體中，易知，所以.又，所以.又，平面，所以平面.5(2021六盤山高級中學(xué)高三期末)如圖，四邊形為矩形，且，平面，為的中點.(1)求證：；(2)若為的中點，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖，連接，為的中點，由，得，又得，又平面，且平面，又，平面，又平面，.(2)如圖，取、的中點、，連接、.易得平面平面，又且，平面，.法二：因為為的中點，所以.6(2020江西吉安市高三其他模擬)如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，分別為，的中點，在上，且.(1)求證：平面；(2)

15、若平面平面，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：連接，為的中點，為的重心，點一定在上，且，為的中點，又，即，則，平面，平面，平面；(2)解：延長，交于，由題設(shè)知，為的中點，是正三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，即為三棱錐的高，又，故.7(2021陜西寶雞市高三一模)如圖三棱柱中，底面是邊長2為等邊三角形，分別為，的中點，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】設(shè)，因為，所以，因為為的中點，所以，所以，即，所以四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形，因為為的中點，所以，所以，所以，即，因為三棱柱底面是等邊三角形，為的

16、中點，所以，又，AB與相交，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)由(1)知：平面，所以CE為三棱錐的高，且 ,，所以.8(2021全國高三專題練習(xí))如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=1，ACBC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.(1)求三棱錐A1ABC1的體積；(2)求證：AC1EG.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC， 所以BC平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距離為1，所以=.(2)如圖所示：，在AC上取點D，使CD=CA，連接ED，DG，因為BE=BA，所以DE

17、BC，又BC平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，所以DEAC1.在正方形ACC1A1中，由CD=CA，A1G=A1A，得DGAC1.又DEDG=D，所以AC1平面DEG.所以AC1EG.9(2020洛陽市教育局中小學(xué)教研室高三月考)如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，(1)求證：；(2)求三棱柱的側(cè)面積【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)如圖所示：連接，側(cè)面是菱形，側(cè)面底面，且平面平面，平面，又平面，又，平面，又平面，；(2)如上圖：設(shè)棱的中點為，連，則，底面從而，由，得：，在中，由余弦定理得:，即，由(1)知平面，又，三棱柱的側(cè)面積為10(2020全國高三

18、專題練習(xí))如圖所示，在直三棱柱中，為的中點，.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求直三棱柱的表面積.【答案】(1)證明見解析；(2)60.【解析】(1)如圖所示，設(shè)與相交于點，連接，在中，為的中點，為的中點，所以，因為平面，平面，所以；(2)因為三棱錐的體積為，可得，解得，所以.11(2020全國高三專題練習(xí))如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.(1)求正三棱錐的表面積；(2)求正三棱錐的體積.【答案】(1)；(2).【解析】(1)取的中點D，連接，在中，可得.正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形，正三棱錐的側(cè)面積是.正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，.則正三棱錐的表面積為；(

19、2)連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.正三棱錐的體積為.12(2021山西呂梁市高三一模)棱長為的正方體，為中點，為的中點(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離【答案】(1)見解析；(2).【解析】(1)如圖，連接，取的中點為，連接，因為，故，而平面，平面，故平面，因為，故，由正方體可得，故，而平面，平面，故平面，因為，而平面，故平面平面，而平面，故平面.(2)連接，因為為的中點，正方體的棱長為2，故，.故.又，其中為點到平面的距離，故.13(2021江西新余市高三期末)在四棱錐中，四邊形為正方形，平面平面為等腰直角三角形，(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為的中點，求點到平面的距離【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：面面，且平面平面，面面，又面又因為由已知且，所以面，又面面面.(2)中，取的中點，連，則面面且它們交于面面由，由已知可求得，所以