定積分的性質課件

1、第二節(jié)定積分的性質 第1頁，共65頁。一、定積分的基本性質 交換定積分的上下限，定積分改變符號，即 上下限相同的定積分等于零，即第2頁，共65頁。 定積分不依賴于積分變量的記號，即 如果在區(qū)間 上被積函數(shù) ，則 第3頁，共65頁。 線性性質： 可積函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外，即第4頁，共65頁。證 ：第5頁，共65頁。 定積分對于積分區(qū)間具有可加性，即證明：先設 由于函數(shù)在 上可積，在 時，Riemann和 的極限總是存在。 由于此極限與區(qū)間 的分割無關，因此可以使 為一個分點，將原有區(qū)間分成兩個子區(qū)間：和第6頁，共65頁。 此時區(qū)間 上的

2、Riemann和就等于子區(qū)間 和 上 Riemann和的和，即 在 條件下，上式兩端同時取極限即得第7頁，共65頁。再設 ，由 ，得 證畢第8頁，共65頁。 保號性質：如果 ，則證明：由 得 第9頁，共65頁。 保序性質：如果 則 證明：令 ，由得第10頁，共65頁。 絕對值性質：證明：由 ，根據(jù)得 又 故 第11頁，共65頁。附：按絕對值不等式性質若則因此，由第12頁，共65頁。 定積分估值定理： 設 和 分別是函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值，則證明：由 根據(jù)定積分的保序性質有 第13頁，共65頁。故 定積分中值定理： 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在上至少存在一點 ，使得第14頁，共65

3、頁。證明： 設 和 分別是函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值 .將估值定理不等式各側同除以 得到 由于數(shù)值 介于函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值之間 第15頁，共65頁。 因此，按連續(xù)函數(shù)的介值定理，在 上至少存在一點 ，使得 積分中值定理的幾何解釋 函數(shù)曲線下面積與矩形面積相等。第16頁，共65頁。 定積分第一中值定理： 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，函數(shù) 在 上可積且不變號，則在 上至少存在一點 ，使得 第17頁，共65頁。證明：設 ，若則根據(jù)定積分保序性質 又由于有（保號性）第18頁，共65頁。在 上至少存在一點 ，使得 證畢按連續(xù)函數(shù)的介值定理第19頁，共65頁。【例題】根據(jù)定積分的性

4、質，比較下列函數(shù)的大小。(1) 與解：由于在 上因此在 上故第20頁，共65頁。第21頁，共65頁。(2) 與解：由于在 上因此在 上故第22頁，共65頁。第23頁，共65頁。解：(3) 與由于在 上比較 和 的大小。令則當 時， ， 為單調增加且故即所以第24頁，共65頁。第25頁，共65頁。(4) 與解：由于當 時故因此在 內(nèi)第26頁，共65頁。第27頁，共65頁?！纠}】估計下列定積分之值 解：被積函數(shù)化為 在區(qū)間 上單調減少，故故（根據(jù)估值定理）按定積分的估值定理，第28頁，共65頁。 解：被積函數(shù) ，在區(qū)間 上單調增，所以 故第29頁，共65頁。 解：被積函數(shù)在區(qū)間 內(nèi) ， 單調減故

5、 按定積分的估值定理，第30頁，共65頁。 函數(shù)在給定區(qū)間小于零。第31頁，共65頁。二、積分上限的函數(shù)和它的導數(shù) 按前述定積分的定義可知，若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，則函數(shù)在 上可積分，即其幾何意義如圖：第32頁，共65頁。 設函數(shù) ， 為區(qū)間 上任一點因此函數(shù) 在部分區(qū)間 上可積。 顯然，此時在區(qū)間 上的定積分 的積分值應為其上限 的函數(shù)。即第33頁，共65頁。 在這個表達式中， 既是積分上限又是積分變量，為避免混淆，把被積表達式的積分變量改寫為 ，因此有稱為積分上限的函數(shù)顯然第34頁，共65頁。積分上限函數(shù)的幾何解釋： 積分上限函數(shù)為區(qū)間 內(nèi)曲線下的面積，顯然，若上限 變化，則其面積值也隨之

6、變化。第35頁，共65頁。積分上限的函數(shù)的重要性質 ：定理：如果函數(shù) ， 為閉區(qū)間 上任一點，積分上限的函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導，其導數(shù)為 第36頁，共65頁。證明：設 ，當積分上限 有一個增量 時，將引起上限函數(shù)增量為 第37頁，共65頁。根據(jù)定積分的中值定理有按導數(shù)定義有注：由于 時，必有 ，且第38頁，共65頁。因此 積分上限函數(shù)在閉區(qū)間 端點 處的右導數(shù) 第39頁，共65頁。由于 時，必有 ，故其中 積分上限的函數(shù)在閉區(qū)間 端點 處的左導數(shù) 第40頁，共65頁。由于 時，必有 ，故其中結論：連續(xù)函數(shù) 取變上限積分后的函數(shù) 的導數(shù)就是 本身。 即積分上限函數(shù)的導數(shù)是被積函數(shù)本身。第41頁，

7、共65頁。定理（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。上述定理也可以表述如下：第42頁，共65頁?！纠}】 設變上限積分的函數(shù)為 ，則由自變量增量 引起的函數(shù)增量 設 ，則第43頁，共65頁?！纠}】求下列變限積分所確定函數(shù)的導數(shù) 解： 解： 第44頁，共65頁。 解：第45頁，共65頁。 ，式中 為可導函數(shù)。解：解：令 復合函數(shù)的導數(shù)第46頁，共65頁。解：解：函數(shù)乘積的導數(shù)第47頁，共65頁。解：解：方程兩側同時對 求導：得故第48頁，共65頁。 解：參數(shù)方程的導數(shù)第49頁，共65頁。【例題】 求極限 解： 此極限為“ ”未定型，可以應用LHospital法則求解 第50頁，共65頁

8、?！纠}】求下列函數(shù)的極限型解：第51頁，共65頁。型解：型解：第52頁，共65頁。三、 Newton-Leibniz公式 此外，還有 按原函數(shù)和積分上限函數(shù)的概念， 是被積函數(shù) 在閉區(qū)間 上的一個原函數(shù)。 第53頁，共65頁。定理：如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的任意一個原函數(shù)，那么-Newton-Leibniz公式 第54頁，共65頁。證明：由于且 即 和 都是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的原函數(shù). 二者相差一個常數(shù) 若令 ，則若令 ，則第55頁，共65頁。兩式相減得Newton-Leibniz公式討論： Newton-Leibniz公式的意義：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分是此函數(shù)任意一個原函數(shù)在該

9、區(qū)間上的增量。第56頁，共65頁。 -反映了定積分與微分的關系。積分是微分的逆運算。 由定積分的中值定理第57頁，共65頁。 表明定積分的中值定理和微分的中值定理在Newton-Leibniz公式中實現(xiàn)了圓滿的統(tǒng)一。注：這里所有的 是一一對應的 。由微分中值定理第58頁，共65頁。按定積分中值定理： 若 在 上連續(xù)，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使成立。按微分中值定理： 若 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，則在 至少存在一點 ，使成立。第59頁，共65頁。按Newton-Leibniz公式 所以 表明：積分中值定理和微分中值定理在Newton-Leibniz公式 中得到統(tǒng)一，且 ， 是一致的。第60頁，共65頁?！纠}】用Newton-Leibniz公式計算定積分 解：由于， 是 的一個原函數(shù)因此被積函數(shù)是