高一數(shù)學上期三角函數(shù)恒等變換知識歸納及整理

1、-. z三角函數(shù)恒等變換知識歸納與整理根本公式必須掌握的根本公式兩角和與差的三角函數(shù) 同名乘積的和與差 異名乘積的和與差二倍角的三角函數(shù) 差點等于1半角的三角函數(shù)理解記憶的其他公式積化和差同名相乘用余弦；異名相乘用正弦。留首項，用加法；剩尾項，用減法。和差化積正弦加減得異名；余弦加減得同名。加法得2倍首項；減法得2倍尾項。萬能公式全部用正切來表示另外的三角函數(shù)稱為萬能公式輔助角公式 其中：常見的幾種特殊輔助角公式：理解證明兩個根本公式的證明的證明方法：在單位圓利用兩點間的距離公式證明。計算繁雜。在化簡中注意使用的證明方法：在單位圓利用向量的數(shù)量積證明。計算簡便。運用向量數(shù)量積與兩向量的夾角關系

2、來證明?；蛘撸涸趩挝粓A利用三角函數(shù)線證明。構圖較難。利用三角函數(shù)線的加減、平移來代換。由兩角和向差的演變方法：用代替，代入兩角和的公式即可推導出兩角的差公式。由余弦向正弦的演變方法：用誘導公式把余弦轉(zhuǎn)化為正弦：，展開即可推導出正弦的兩角的和公式。由正弦和余弦推導正切方法：利用：可以推導出正切的兩角和與差有的公式。由兩角和推導二倍角方法：把換成代入兩角和的公式，即可得到二倍角的三角函數(shù)公式。由余弦的二倍角推導半角方法：由余弦的二倍角公式：，把換成，即換成，通過移項，整理，開方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：關于正切的另一個半角公式：可以通過：來理解。特別

3、體會其演變過程中的轉(zhuǎn)化思想：分子、分母同時乘一個式子，向二倍角靠攏！然后再利用二倍角化簡。由兩角的和與差推導積化和差方法：整體思考法：兩角的和與差的和差必然會相互抵清一些項。相加會抵消尾項，相減會抵消首項。這與完全平方的和與差的加減類似。會抵消中間項，剩下首尾項的2倍；而會抵消首尾項，剩下中間項的2倍。由兩角的和與差推導和差化積方法：對于兩角和差的和與差來說，化成積并不難。利用展開相抵原則即可得到。關鍵是角度的轉(zhuǎn)換問題。只有一個角無法展開。因此引入了一個合新的角度變換方法：把單角：和轉(zhuǎn)換成兩角的和與差：，。于時可以利用和差展開相抵原則得到和差化積的目的。萬能公式的理解方法：利用二倍角公式轉(zhuǎn)換：

4、，然后把分母1巧妙利用。，這種思路在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化中應用非常廣泛。值得高度關注。，然后上下再同時除以即得。同樣利用二倍角公式轉(zhuǎn)化余弦：=再巧妙利用1的轉(zhuǎn)化：，上下同時除以即得。對于正切的萬能公式，直接利用二倍角公式即得。輔助角公式的理解方法：輔助角公式實際上是兩角和與差的逆運算。只是通過一些轉(zhuǎn)換化成：的形式而已。對于來說：要通過換元法來轉(zhuǎn)換，這種換元法叫三角換元法以前的換元法叫代數(shù)換元法。三角換元法是一種非常巧妙的換元方法，利用它能把兩個毫不相干的變量聯(lián)系起來，從而得到簡化式子的作用。 分析思考過程如下：假設直接換元：令cos，則怎樣用三角函數(shù)式表示呢？無法完成換元過程，因此：化不成的形式。假

5、設提公因式呢！假設公因式為，則得：，此時令，也無法用三角函數(shù)表示出，因而化不成：的形式。所以公因式必然與、同時有聯(lián)系?？紤]到三角函數(shù)的產(chǎn)生環(huán)境，我們不妨將常數(shù)、放到直角三角形中來思考：假設、分別是直角三角形的兩直角邊，得斜邊為：。這個常數(shù)顯然與、都有關系。假設公因式是，則化為：此時令此時在直角三角形中，為鄰邊，為斜邊所以：此時在直角三角形中，為對邊，為斜邊于是化為：根據(jù)兩角和的正弦公式得：=在直角三角形中：對邊：鄰邊當然：假設令，則則于是化為：=所以：=此時：對邊：鄰邊在此推導過程中，千萬注意：兩種演變中的是不同的實質(zhì)上這兩個角互余。不然就會產(chǎn)生以下錯覺：。如果注意到兩個角互余，則就會得到：下

6、面來分析這個結論：右邊由誘導公式得：左邊所以結論成立。實際運用給角求值：告訴角度，求出它的一些倍角、半角等的值。1求、的值方法1：直接用半角公式可求得：=方法2：由兩角的差求得：=同理可得：=方法3：用60與45的差角求得=同理可得：=方法4：利用直角三角形作圖計算15D30CBA如圖：直角三角形ABC中，A=30，C=90。延長CA到D，使AD=AB。則易知：D=15設BC=1，則AB=2，AC=；CD=2+=同理可求得cos15=方法5：利用誘導公式和倍角公式求解：利用誘導公式我們知道：的值，然后利用倍角公式可求得的值，再利用誘導公式就可以求出的值。=，=同理可得：=，=2求+的值方法1：

7、分別求出的值： 和 的值：二者相加得：+=方法2：直接利用輔助角公式計算：+方法3：巧妙利用公式：和倍角公式+=方法4：運用向量計算：將+寫成：+這樣可以看成兩個向量的數(shù)量積。如圖：在單位圓，設向量，向量。則向量和之間的夾角為4515=30。由向量數(shù)量積公式得：+=ABO3求的值分析：方法1：直接求的值有些困難。當然用半角可求；可考慮能否巧妙轉(zhuǎn)化?？紤]到常數(shù)1的轉(zhuǎn)化。=1，原式可化為：方法2：代入得：原式=方法3：直接代入：得：方法4：代入并化簡得：原式=4求的值分析：方法1：sin30是特殊角，關鍵是求sin15sin75的值。假設用積化和差來計算，則有些復雜?？煽紤]把sin75轉(zhuǎn)化為cos

8、15，然后利用倍角公式求得：=方法2：直接用積化和差計算：原式=5求的值分析：方法1：利用余弦的倍角公式化簡：，則原式=+ 再利用知差化積與積化和差的公式得：方法2：利用規(guī)律：來分析。6求的值分析：方法1：把常數(shù)換為特殊的三角函數(shù)，則原式=給值求值在ABC中，求的值。 分析：在三角形ABC中，C=180=，求的值分析：用完全平方公式和平方關系、及倍角公式求值： 即：由倍角公式得：，求的值分析：由倍角公式求值：=，求的值分析：對于求值的代數(shù)式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦與余弦的比值，再利用和角公式展開得：即：所以即：而，=給值求角ABC中，求角 分析：=證明、是三角形ABC的三個角。求證：

9、分析：使用誘導公式證明：證明：即：同理：即：，。求證：分析：先利用二元一次方程的思想分別求出和的式子，再利用倍角公式分析：證明：，由倍角公式得：sin2故：即：，求證：分析：同時展開和然后比照思考：證明：=在直角三角形ABC中，C為直角，、分別是A、B、C的對邊。求證：分析：顯然兩邊要平方，平方后再利用倍角公式轉(zhuǎn)換 2。，而。只需要證明：cos即可。證明：在RtABC中，由倍角公式得：=即：A、B、C是非直角三角形的三個角。求證： 分析：用化切為弦的思想分析： 證明：=而：而：=即：A、B、C是三角形的三個角。求證：分析：使用誘導公式、積化和差與和差化積公式證明：證明：=而：=而：sin，求證

10、：分析：對欲證的式了轉(zhuǎn)化為弦來分析：再展開得：證明：對條件作如下變形：即：移項得：即：兩邊同時除以：得：，且，求證：證明：由得： 展開得：移項得：即：化簡化簡：分析：巧妙利用常數(shù)1及倍角公式湊成完全平方式來化簡：=化簡：分析：方法1：首先考慮化弦：即把正切化成正弦與余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化簡。=此題解法巧妙：先化切為弦，然后通分。最后向倍角公式靠攏，利用和角公式轉(zhuǎn)化。方法2：把常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，觀察括號的形式，利用正切的和角公式化簡：=化簡：分析：用正切的兩角和公式化簡：化簡：分析：利用平方關系和倒數(shù)關系求解： tan54=原式=化簡：分析：方法1：將變形為：代入原式

11、得：，同時約去得：方法2：同時除以tan()得：=化簡：分析：利用倍角公式化簡得：=化簡：分析：通分后，利用倍角公式化簡：=證明不等式假設，求證： 目前還無思路：推導新公式1請推導出三倍角公式：和思路：=與方程的綜合設和是方程的兩個根。求的值求證：分析：由韋達定理可得：，代入正切的兩角和公式得：即：與函數(shù)的綜合求函數(shù)的值域分析：利用倍角公式得：的值域為函數(shù)的值域為函數(shù)，。問：函數(shù)的最小正周期是什么？函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？函數(shù)的圖象可以由函數(shù)，的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？分析：可化為：=它的最小正周期：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：即：當，函數(shù)是增函數(shù)；函數(shù)可以看作是函數(shù)向左平移個單位，再向上平移2個

12、單位得到的圖象。與幾何圖形的綜合如圖，三個一樣的正方形相接拼成一個長方形。求證：。ABCD分析：實質(zhì)就是求證：tan證明：觀圖可得： tan又說明：如果用初中的知識來分析：則可通過相似三角形來證明。即ABDCAD，三邊對應成比例DBAC2如圖：在三角形ABC中，ADBC，垂足為D，且BD：DC：AD=2：3：6。求BAC的度數(shù)分析：此題也是利用角度的和來分析，觀圖可知：tan又說明：假設用初中知識來解答，則過C作CEAB，利用相似列出比例來解答。計算十分繁雜！3如圖正方形的邊長為1，點P、Q在邊BC、CD上。當三角形PQC的周長為2時，求PAQ的大小。ABCDPQ分析：可計算來分析。設QD=，PB=；則CQ=1，CP=1。CQ+CP+PQ=2PQ= 由勾股定理得：整理得：由圖可得：，=又，故PAQ=說明：假設用初中幾何知識來解答，由旋轉(zhuǎn)QAD，使AD和AB邊重合。證明兩個三角形全等。也很簡單。生活中的實際運用要將半徑為的半圓形木料截成矩形截面的木料，怎樣截取才能使矩形截面面積最大。分析：顯然矩形面積=可化簡為：的最大值為1，當時，矩形面積最大，