2022年HPM視角下數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué) 123 班 朱婷婷 2022210726 一、教材分析本節(jié)課是人教版教材高中數(shù)學(xué)選修2-2 其次章 2.3 第 1 課時(shí)的內(nèi)容； 數(shù)學(xué)歸納法是以解決與正整數(shù)有關(guān)問題的一種推理方法,它將一個(gè)無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程, 是證明與正整數(shù)有關(guān)問題的有力工具；在高一數(shù)列的學(xué)習(xí)中, 同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式, 但其正確性仍有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,因此數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列學(xué)問的深化與擴(kuò)展；它既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法；二、學(xué)情分析同學(xué)通過其次章前兩節(jié)的學(xué)習(xí), 已基本把握歸納推理, 且已

2、經(jīng)具備了肯定的 觀看、歸納、猜想才能；另外高二同學(xué)經(jīng)過了一年半的高中學(xué)習(xí)之后,已初步具有了發(fā)覺和探究問題的才能,這為本節(jié)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法奠定了肯定的基礎(chǔ)；三、教學(xué)目標(biāo)1、學(xué)問與技能 1 明白數(shù)學(xué)推理的常用方法（歸納法）；2 明白數(shù)學(xué)歸納法的原理及使用范疇；3 初步把握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論；4 會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡潔的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2、過程與方法 通過對歸納法的復(fù)習(xí),說明不完全歸納法的弊端,并通過多米諾骨牌試驗(yàn)引出數(shù)學(xué)歸納法的原理； 在學(xué)習(xí)中培育同學(xué)探究發(fā)覺問題、提出問題的意識, 解決問題和數(shù)學(xué)溝通的才能 , 學(xué)會用總結(jié)、歸納、演繹類比探求新學(xué)問；3. 情感態(tài)度價(jià)值觀目

3、標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究,培育同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和 不怕困難,勇于探究的精神；（2）努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境,使同學(xué)處于積極摸索、大膽質(zhì)疑氛圍,提高同學(xué) 學(xué)習(xí)的愛好和課堂效率；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）使同學(xué)懂得數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)；（2）把握數(shù)學(xué)歸納法證題步驟 的運(yùn)用；難點(diǎn)：, 特別是遞推步驟中歸納假設(shè)和恒等變換（1）對數(shù)學(xué)歸納法原理和遞推思想的懂得；（2）如何利用假設(shè)證明當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論正確；四、教學(xué)方法講授法、引導(dǎo)發(fā)覺法、類比探究法、講練結(jié)合法五、教學(xué)工具黑板、粉筆、 PPT課件,傳統(tǒng)板書與多媒體幫助教學(xué)相結(jié)合；六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境,引出課題

4、情境一：費(fèi)馬猜想（不完全歸納法）師：在本章前兩節(jié)內(nèi)容中我們學(xué)習(xí)過不完全歸納法與完全歸納法,那么老師 先請同學(xué)們來觀看一下下面這組數(shù)： 1640 年,法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀看到這些數(shù)都是質(zhì)數(shù),于是他提出猜想：任何形如（nN* 的數(shù)都是質(zhì)數(shù), 這就是聞名的費(fèi)馬猜想； 這個(gè)猜想是正確的嗎？同學(xué)摸索運(yùn)算；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載師：其實(shí)在費(fèi)馬猜想提出半個(gè)世紀(jì)以后,另一位數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺 n=5 時(shí),F5 =2 2 =4294967297=641 6700417 不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費(fèi)馬猜想；（說明不完全歸納的結(jié)論是不行靠的,進(jìn)而引出其次個(gè)問題）情境二：華羅庚的“ 摸球試驗(yàn)” （完全歸納法）師：我們再來探究一下華羅庚

5、的“ 摸球試驗(yàn)” ；（1）這里有一袋球共 12 個(gè),我們要判定這一袋球是白球,仍是黑球,請問 怎么判定？啟示回答 : 方法一：把它全部倒出來看一看；特點(diǎn)：方法是正確的,但操作上缺乏次序性；方法二：一個(gè)一個(gè)拿,拿一個(gè)看一個(gè)；比如結(jié)果為： 第一個(gè)白球, 其次個(gè)白球, 第三個(gè)白球, ,第十二個(gè)白球,由此得到：這一袋球是白球；特點(diǎn)：有次序,有過程；（2）假如想象袋子有足夠大容量,球也無限多？要判定這一袋球是白球,仍是黑球,上述方法可行嗎？生：不行行； 利用完全歸納法得出的結(jié)論是牢靠的,但對于解決與正整數(shù)有關(guān)的問題卻無法 完成；）總結(jié)：通過前面兩個(gè)例子, 使我們進(jìn)一步熟識到用不完全歸納法得出的結(jié)論,因

6、為只考察了部分情形, 結(jié)論不肯定具有普遍性； 要想正確的解決一個(gè)與正整數(shù)有 關(guān)的問題,就牢靠性而言,應(yīng)當(dāng)選用完全歸納法；現(xiàn)在請同學(xué)們想一想,在以前 給出的數(shù)學(xué)公式中,有沒有用不完全歸納法得出的？生：有；例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)；a3師：很好；我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿意的規(guī)律:a 1a 10d,a2a1d,a 12d,a4a 13 d, 歸納出了它的通項(xiàng)公式的；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是由有限個(gè)特別事例歸納出來的,也可能不正確,又由于正整數(shù)有無限多個(gè),不行能一一驗(yàn)證,那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？（追問引出課題：學(xué)習(xí)必備 歡迎下載數(shù)學(xué)歸納法）師：其實(shí)這種方法來源于生活,請同學(xué)們看多米諾骨牌

7、的視頻；情境三：播放多米諾骨牌視頻 問：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？設(shè)計(jì)意圖：第一通過兩個(gè)數(shù)學(xué)史上出名的歸納法案例探究激發(fā)同學(xué)的愛好,調(diào)動同學(xué)學(xué)習(xí)的積極性； 回憶等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程點(diǎn)出兩種歸納法的不同 特點(diǎn)；通過梳理我們熟識的一些問題, 很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆；最終順勢用多米諾骨牌引出數(shù)學(xué)歸納法,并揭示數(shù)學(xué)歸納法的原理；（二）師生合作,探究新知 探究一：讓全部的多米諾骨牌全部倒下,必需具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌,前一張倒下肯定導(dǎo)致后一張倒下；（此問題由同學(xué)合作溝通完成,必要時(shí),老師重新播發(fā)視頻或賜予提示；）探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨

8、牌視頻后,是否對證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公 式有些啟示？ （證明此題對任意正整數(shù)都成立相當(dāng)于驗(yàn)證讓骨牌全部倒下的條 件）通過以上合作溝通, 以及使骨牌全部倒下的兩個(gè)條件,此時(shí),師生共同探究 得到解決引例的方法：（1）第一塊骨牌倒下相當(dāng)于證明當(dāng)n=1 時(shí),命題成立；（2）對于任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下,相當(dāng)于當(dāng) n=kk1,k N*時(shí)命題成立,證明當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立；師：（投影）證明 an=a1+n- 1d：n（1）當(dāng)n1時(shí),左邊a ,右邊a 10da1,等式是成立的；（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立,就是aka1k1d,下面看看是否能推出k1時(shí)等式也成立,那么ak1等于什么？1d；生：由a

9、ka 1k1d可得ak1a1k1 師：看來nk1時(shí)等式也成立,這樣做對嗎？生：（齊答）不對；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),難點(diǎn)和關(guān)鍵都在其次步, 而這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè),即以“n=k 時(shí)命題成立” 為條件,證明“ 證 n=k+1 時(shí)命題也成立”；這里簡潔顯現(xiàn)的錯(cuò)誤是證明中不使用“ n=k 時(shí)命題成立”這個(gè)條件,而直接將 n=k+1 代入命題, 便斷言此命題成立, 從而得出原命題成立的結(jié)論；下面請同學(xué)們給出正確的證明過程；（同學(xué)齊答,老師連續(xù)板書）ak1akda1k1dda1k11d；這就是說,當(dāng)nk1時(shí),等式也成立,大家說有了這兩步, 是不是就證明白等差數(shù)列通項(xiàng)公

10、式的正確性了呢？生：n=1 時(shí)等式成立n=2時(shí)等式成立n=3 時(shí)等式成立 所以 n 取任何正整數(shù)等式都成立；師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、其次步后,必需要下結(jié)論,其格式為：根據(jù)12 可知公式對任意nN*都成立 . 探究三：第一塊骨牌不倒行不行？假如從其次塊、第三塊骨牌開頭將骨牌推倒,結(jié)果會是怎樣？ （第一塊骨牌必需倒,才能讓全部的骨牌倒下；假如從第二塊或第三塊開頭倒,就只能讓該塊骨牌后面的全部倒下；）此問題說明第一塊骨牌倒下對全部骨牌倒下的重要性,同時(shí)也說明在證明與正整數(shù)有關(guān)問題時(shí), n0是使命題成立的最小正整數(shù), n0不肯定取 1,也可以取其它正整數(shù)；（三）懂得升華,加深熟識師：（板書）“

11、數(shù)學(xué)歸納法”1、數(shù)學(xué)歸納法的原理：一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n 有關(guān)的命題,可按以下步驟進(jìn)行：n 取第一個(gè)值 n0 n0N* 時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=kkn0,kN* 時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1 時(shí),命題也成立；只要完成以上兩個(gè)步驟,就可以判定命題對從n0開頭的全部正整數(shù)n 都成立；上述方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法 ；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載2、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì) ：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）師：用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是命題遞推的基礎(chǔ),其次步是命題遞推的依據(jù)；師：回答的很好,我再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)這兩個(gè)步驟缺一不行,只有

12、把兩個(gè)步驟中的結(jié)論結(jié)合起來,才能肯定命題成立；設(shè)計(jì)意圖： 至此,由生活實(shí)例動身, 與同學(xué)一起解析歸納原理 , 揭示遞推過 程；老師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn)； 數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依 據(jù)的演繹推理, 它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程,是處 理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具,一種具普遍性的方法；（四）錯(cuò)例辨析,突出重點(diǎn) 1、求證：全部的奇數(shù)都是 2 的倍數(shù)；證明：假設(shè)第 m個(gè)奇數(shù)為 k,且 k 為 2 的倍數(shù),就第 m+1個(gè)奇數(shù)為 k+2,而 k+2 也是 2 的倍數(shù),所以命題成立；2、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 135 +2n-1=n2k1證明：（ 1）當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊2

13、11,等式成立；（2）假設(shè)當(dāng) nk （k1,kN*）時(shí), 135 +2k-1=k2,那么：135 +2k-1+2k+1=12k11k1k12,就當(dāng)n2時(shí)也成立；依據(jù)（ 1）和（ 2）,可知等式對任何n* N 都成立；注：對例 1,師先讓同學(xué)爭論一下數(shù)學(xué)歸納法中沒有第一步行不行,進(jìn)而說出這個(gè)例子,讓同學(xué)懂得當(dāng)nn 時(shí),命題成立的重要性,沒有第一步,就如同空中閣樓,是不行靠的；另外在例1 中,讓同學(xué)明白假設(shè)是錯(cuò)誤的,此處并不是把假設(shè)當(dāng)作條件來用, 數(shù)學(xué)歸納法的其次步其實(shí)是一個(gè)條件命題,第一步已經(jīng)驗(yàn)證是正確的, 假如有懷疑, 其次步中 k 可以取 n0,這其實(shí)是在證明一個(gè)傳遞性；對例 2,師第一說明

14、在利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),當(dāng)nk1時(shí)的證明必需利用 nk 的歸納假設(shè),并用課本上的摸索題舉例：即猜想證明an1 , 在 n得到a k1k11時(shí)必需要利用ak1這一步 ；然后請同學(xué)觀看例2 并從中找出錯(cuò)k學(xué)習(xí)必備 歡迎下載誤（其次步中的錯(cuò)誤是沒有利用n=k 的假設(shè)進(jìn)行證明, 而直接利用了等差數(shù)列求和公式）,以增強(qiáng)同學(xué)對其次步的懂得；設(shè)計(jì)意圖：通過對兩個(gè)錯(cuò)誤例題的分析, 加深同學(xué)對數(shù)學(xué)歸納法的原理的理 解,從而正確把握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟；（五）典例分析 例 1：用數(shù)學(xué)歸納法證明漢諾塔猜想；師：（板書）1、猜想： H（n= 2 n -1 2、證明：（1）n=1時(shí),H（1）=1,明顯命題成立；（2）假

15、設(shè) n=k（k1,k N* 時(shí), 命題成立,即 H（k= 2 k -1 ；就由 H（k）=2H（k-1 ）+1 得 Hk+1=2Hk+1=2 （ 2 k 1）+1= 2 k 11,即當(dāng) n=k+1 時(shí),命題也成立；* 依據(jù)（ 1）和（ 2）,可知等式對任何 n N 都成立；注： 漢諾塔是依據(jù)一個(gè)傳奇形成的一個(gè)問題：有三根桿子A,B,C；A 桿上有 n 個(gè) n1 穿孔圓盤,盤不能疊在小盤上面； 提示：可將圓盤暫時(shí)置于B桿,也可將從A 桿移出的圓盤重新移回 A 桿,但都必需尊循上述兩條規(guī)章； 問：如何移？最少要移動多少次？變量設(shè)置： n 為圓盤個(gè)數(shù), H（ n）為移動盤子次數(shù)的最小值；遞推公式：

16、H（n）=2H（n-1 ）+1 通項(xiàng)公式： H（n） =2n-1 例 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明2 12 22 3 +n2n n12 n1nN*1,等式6證明：（ 1）當(dāng)n1時(shí),左邊2 11,右邊1 1 1 21 16成立；（2）假設(shè)當(dāng)當(dāng)n2kk,1kN*時(shí),等式成立,即：k k12 k1,那么：2 12 22 3 +k61 22 23 22 +k 2 k1 2k k學(xué)習(xí)必備歡迎下載k1 212 k167k k12 k6 k1 k6k3226 k1k112k1 16 設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題使同學(xué)探究嘗試, 體驗(yàn)“ 觀看歸納猜想證明”的完整過程, 既能進(jìn)一步熟識數(shù)學(xué)歸納法, 也能培育同學(xué)獨(dú)立爭論數(shù)學(xué)問

17、題的意 識和才能；師板書寫現(xiàn)完整過程,以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟；（六）反饋練習(xí),加深懂得1、證明：當(dāng)自然數(shù)n1,3（ n3 +2n314n 11n 11）2、證明：當(dāng)自然數(shù)n n4, 2 n. 113、證明：當(dāng)自然數(shù)n,1223nn設(shè)計(jì)意圖：通過這幾個(gè)練習(xí)能看到同學(xué)對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的把握情形；這樣既可以檢驗(yàn)同學(xué)的學(xué)習(xí)水平,保證不盲目拔高,同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn),對例題是一個(gè)很好的對比與補(bǔ)充；（七）拓展練習(xí),提高才能 習(xí)題 1、平面上有 n 條直線,其中沒有兩條直線平行, 沒有三條直線交 于同一點(diǎn)；用數(shù)學(xué)歸納法證明：他們共有交點(diǎn)1 nn 1個(gè)；25n 個(gè)數(shù)習(xí)題 2、證明斐波納契數(shù)列中的第3n 個(gè)數(shù)（ n 為正整數(shù)）都是偶數(shù),第都能被 5 整除；（斐波納契數(shù)列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 從第 三項(xiàng)開頭的每一項(xiàng)都是前面二項(xiàng)之和）設(shè)計(jì)意圖：在同學(xué)初步把握數(shù)學(xué)歸納法后, 用兩個(gè)較難的習(xí)題去拓展同學(xué)的 思維,提高他們的才能,更加鞏固對數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用；（八）歸納小結(jié),概念提升問：今日我們學(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法,哪些收成？（同學(xué)總結(jié),老師整理）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí), 你有學(xué)習(xí)必備 歡迎下載1、數(shù)學(xué)來源于生活 ,生活中有很多形如“ 數(shù)學(xué)歸納法” 這樣的方法等著我們