專題二 第2講 向量共線定理的應用

1、4/4第2講向量共線定理的應用向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數(shù)；對于線段的定比分點問題，用向量共線定理求解則更加簡潔例1(1)若點M是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|3eq o(AM,sup6()eq o(A B,sup6()eq o(AC,sup 6()|0，則ABM與ABC的面積之比等于()A.eq f(3,4) B.eq f(1,4) C.eq f(1,3) D.eq f(1,2)答案C解析|3eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup 6()|0，3eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,s

2、up 6()0，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup 6()3eq o(AM,sup6().設BC的中點為G，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup 6()2eq o(AG,sup6()，3eq o(AM,sup6()2eq o(AG,sup6()，即eq o(AM,sup6()eq f(2,3)eq o(AG,sup6()，點M在線段AG上，且eq f(o(|A M,sup6()|,o(|A G,sup6()|)eq f(2,3).eq f(SABM,SABG)eq f(|o(AM,sup6()|,|o(AG,sup6()|)eq f(2,3)，易得eq f(SA

3、BG,SABC)eq f(|o(BG,sup6()|,|o(BC,sup6()|)eq f(1,2)，eq f(SABM,SABC)eq f(SABM,SABG)eq f(SABG,SABC)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)，即ABM與ABC的面積之比等于eq f(1,3).(2)在ABC中，eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6()，P是BN上的一點，若eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(3,8)eq o(AC,sup6()，則實數(shù)m的值為_答案eq f(1,4)解析方法一B，P，N三點共線，eq o(B

4、P,sup6()eq o(PN,sup6()，存在實數(shù)，使得eq o(BP,sup6()eq o(PN,sup6()(0)，eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AN,sup6()eq o(AP,sup6()，0，eq o(AP,sup6()eq f(1,1) eq o(AB,sup6()eq f(,1)eq o(AN,sup6().eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(3,8)eq o(AC,sup 6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,s

5、up6()eq f(3,4)eq o(AN,sup6()，eq blcrc (avs4alco1(f(1,1)m，,f(,1)f(3,4)，)解得eq blcrc (avs4alco1(3，,mf(1,4).)方法二eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(3,8)eq o(AC,sup 6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AN,sup6().B，P，N三點共線，meq f(3,4)1，meq f(1,4).例2(1)(2020河北省

6、石家莊一中質(zhì)檢)在ABC中，D 為線段AC的中點，點E在邊BC上，且BEeq f(1,2)EC，AE與BD交于點O，則eq o(AO,sup6()等于()A.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup 6() B.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup 6()C.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6() D.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6()答案A解析如圖，設eq o(AO,sup6()eq

7、 o(AE,sup6()(0)，又eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()，eq o(AO,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().又B，O，D三點共線，eq f(2,3)eq f(2,3)1，eq f(3,4)，eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()

8、eq f(1,4)eq o(AC,sup6().(2)在ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設eq o(AM,sup6()xeq o(AB,sup6()， eq o(AN,sup6()yeq o(AC,sup6()(xy0)，則4xy的最小值是_答案eq f(9,4)解析由D為BC的中點知，eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，又eq o(AM,sup6()xeq o(AB,sup6()，eq o(AN,sup6()yeq o(AC,sup6()(xy0)，E為AD的中點，故eq

9、 o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,4x)eq o(AM,sup6()eq f(1,4y)eq o(AN,sup6()，M，E，N三點共線，eq f(1,4x)eq f(1,4y)1，4xy(4xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4x)f(1,4y)eq f(y,4x)eq f(x,y)eq f(5,4)2eq r(f(y,4x)f(x,y)eq f(5,4)eq f(9,4)，當且僅當eq f(y,4x)eq f(x,y)，即xeq f(3,8)，yeq f(3,4)時取等號4xy的最小值為eq f(9,4).(1)若eq

10、o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(，為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是1.(2)使用條件“兩條線段的交點”時，可轉化成兩次向量共線，進而確定交點位置1.如圖，ABC中，ADDB，AEEC，CD與BE交于點F，設eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AF,sup6()xayb，則(x，y)等于()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,

11、3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,2)答案C解析由題意得，eq o(AF,sup6()xaybxeq o(AB,sup6()2yeq o(AE,sup6()，B，F(xiàn)，E三點共線，x2y1，同理，eq o(AF,sup6()2xeq o(AD,sup6()yeq o(AC,sup6()，D，F(xiàn)，C三點共線，2xy1，由得xyeq f(1,3)，(x，y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3).2(2020河北省石家莊二中調(diào)研)已知在ABC中，ABAC3，D為邊BC上一點，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()

12、6，eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(15,2)，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()的值為_答案eq f(9,2)解析D為邊BC上一點，可設eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(A D,sup6()eq o(AB,sup6()Beq o(D,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().eq blcrc (avs4alco1(o(AB,sup6()o(AD,sup6()19o(AB,sup6()o(AC,sup6()6，,o(AC,sup6()o(AD,sup6()1o(AB,s

13、up6()o(AC,sup6()9f(15,2) ，)得，9eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(27,2)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(9,2).3如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，動點P在邊BC上，且滿足eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()neq o(AD,sup6()(m，n均為正實數(shù))，則eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為_答案eq f(74r(3),4)解析設eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，則eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()abeq f(1,4)beq f(3,4)ab.設eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()，則eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,4)ab.因為eq o(AP,sup6()manb，所以1eq f(3,4)m，n，消去得meq f(3,4)n1，eq f(1,m)eq f