常用單元的剛度矩陣

1、 2兀(r+u)一2兀rur9由于各點(diǎn)在圓周方向上無位移，因而剪應(yīng)變v和v均為0rdu零。將應(yīng)變寫成向量的形式，則=r80=8zYrzdrurdwdzdudw+一、dzdr一根據(jù)上式，可推導(dǎo)出幾何方程S=|bUe)其中幾何矩陣b=丄2AZjkN(r,z)ir0ZkjN(r,z)jZijN(r,z)krkjrkjzjkrikrikZkirjirjizij3.彈性方程和彈性矩陣D依照廣義虎克定律，同樣可以寫出在軸對(duì)稱中應(yīng)力和應(yīng)變之間的彈性方程，其形式為+0)+Q)+0)rrz2(1+卩)Trz所以彈性方程為0暑怡式中應(yīng)力矩陣QUttT口0zrz彈性矩陣dLe（1+卩）（1一2卩）1|LX01|LX

2、01|LX000012|LX24.單元?jiǎng)偠染仃噆L）與平面問題相同，仍用虛功原理來建立單元?jiǎng)偠染仃?，其積分式為kle）二JbtdBJdVV在柱面坐標(biāo)系中，dv二2兀drdz將dV二2.drdz代入以）JbdBdV，則訂）=2兀JJbDBdrdzV即為軸對(duì)稱問題求單元?jiǎng)偠染仃嚨姆e分式。與彈性力學(xué)平面問題的三角形單元不同，在軸對(duì)稱問題中，幾何矩陣B內(nèi)有的元素（如N（r，z）等）是坐標(biāo)r、z的函r數(shù)，不是常量。因此，乘積blblBl不能簡(jiǎn)單地從式二2川B卜dlBldrdz的積分號(hào)中提出。如果對(duì)該乘積逐項(xiàng)求積分，將是一個(gè)繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐標(biāo)值代替幾何矩陣B內(nèi)的r和z的值。

3、用胃1表示在形心（衣）處計(jì)算出的矩陣B。其中-（r+r+r）_（z.+z.+z）ijkijk3，z只要單元尺寸不太大，經(jīng)過這樣處理引起的誤差也不大。被積函數(shù)又成為常數(shù)，可以提出到積分號(hào)外面：Ik1e）=2兀h】b由式kle）二2兀B1d11rdrdz二2兀B】dJb可以看出，兩軸對(duì)稱的三角形單元，當(dāng)形狀、大小及方位完全相同而位置不同時(shí)，其剛度矩陣也不相同。距離主軸線越遠(yuǎn)的單元，其剛度越大。這與平面問題不一樣。二、等參數(shù)的剛度矩陣對(duì)一些由曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果采用直角邊單元進(jìn)行離散，由于用直線代替了曲線，除非網(wǎng)格劃分得很細(xì)，否則不能獲得較高的精度；對(duì)另一些應(yīng)力隨坐標(biāo)急劇變化的結(jié)構(gòu)，采用簡(jiǎn)單的常

4、應(yīng)力單元離散時(shí)，也必須劃分成大量的微小單元，以保證足夠的精度。為此引入一種高精度的單元等參數(shù)單元。它既能簡(jiǎn)化復(fù)雜單元?jiǎng)澐值墓ぷ?，又能在滿足同樣精度的要求時(shí)，大大減少使用的單元數(shù)。目前流行的大程序中較常用，它成功地解決了許多二維和三維的彈性力學(xué)問題。為導(dǎo)出等參數(shù)單元的剛度矩陣，首先要建立根據(jù)每個(gè)單元的形狀確定的自然坐標(biāo)系，然后將位移模式和形狀函數(shù)都寫成自然坐標(biāo)的函數(shù)。一個(gè)單元在自然坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)余元整體坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通過映射，可以將整體坐標(biāo)系中的圖形轉(zhuǎn)化為自然坐標(biāo)系中的相應(yīng)徒刑。例如可以將整體坐標(biāo)系中的一個(gè)任意四邊形（實(shí)際單元）映射到自然坐標(biāo)系中成為一個(gè)正方形（基本單元）。同樣也可

5、以將任意四面體、六面體（包括直邊和曲邊的）分別映射成正四面體和正六面體。這里只介紹較簡(jiǎn)單的一種平面問題的情況，將整體坐標(biāo)系中的一個(gè)任意四邊形映射成自然坐標(biāo)系中的一個(gè)正方體，并導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?。其它種單元的映射，可依次原理進(jìn)行。不再敘述。1.位移模式和形狀函數(shù)圖4-2中的任意四邊形單元上，作連接對(duì)邊中點(diǎn)的直線，取其交點(diǎn)為原點(diǎn)，這兩條直線分別為g和耳軸，并令四條邊上的g和耳值分別為土1,建立一個(gè)新的坐標(biāo)系，稱之為該單元的自然坐標(biāo)系。原坐標(biāo)系XOY稱為整體坐標(biāo)系。在整體坐標(biāo)系中，自然坐標(biāo)系非正交，它由任意四邊形的形狀所確定。圖4-19如果將自然坐標(biāo)系改畫成直角坐標(biāo)系，那么圖4-19（a）中的任意四邊

6、形單元就成為圖4-19（b）所示的正方形。上述兩個(gè)四邊形的點(diǎn)（包括頂點(diǎn)）一一對(duì)應(yīng)，即它們之間相互映射。因此，需要寫出整體坐標(biāo)X、Y和自然坐標(biāo)g、耳之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式，即X二a+ag+aq+agq*1234Y=a+ag+aq+agq5678四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值在XOY坐標(biāo)系中分別為（X,Y）,（X,Y）,（X,Y）,（X,Y）：在gon坐標(biāo)系中相應(yīng)為11223344（-1,-1）,Cl）6,1）（一1,1）。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入*中的第一式，則有 1234 X=aex一ex+a,X=a+aex一exTOC o 1-5 h z1123421234X=x+x+x+x,X=xex+xex3123441234

7、求解上述方程組得：X+X+X+XX+X+XXa二一123,a二12341424XX+X+XXX+XXa二1234,a二一12343444坐標(biāo)變換方程*成為二-K1-g-q+gq)X+(1+g-q-gq)X+(1+g+q+gq)X+(1-g-q-gq)X41234同理Y二K1gq+gq)Y+(1+gqgq)Y+G+g+q+gq)Y+(1gqgq)Y41234當(dāng)引入函數(shù)n(g,n)后，坐標(biāo)變換方程成為iX=工N/q)Xiii=1Y=N(g,n)Yiii=1式中N(g,q)=1(1+gg)(i4ii變量g、耳的正負(fù)號(hào)由相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值g、耳決定。例如ii當(dāng)i=4時(shí)，g=1,n=1，因此，n(g,n)

8、=(1g)(+n)。4444下面再來研究函數(shù)N(g,耳)的特性。i對(duì)節(jié)點(diǎn)1(X,Y)，相應(yīng)的自然坐標(biāo)值為(-1，-1)。從式11N(g,n)=1(1+gg)(+nn)中很容易看出，除N1=1外，i4ii1N2=N3=N4=0。對(duì)其余各節(jié)點(diǎn)也一樣?？偠灾?，對(duì)節(jié)點(diǎn)i(i=1,2,3,4)，除N.=1夕卜，其余三個(gè)N值均為零。同時(shí)，不難看出n(g,n)+n(g,n)+n(g,n)+n(g,耳)=1，即四個(gè)節(jié)點(diǎn)的斗函數(shù)之和等于1。函數(shù)N，丿具備上章所介紹的形狀函數(shù)應(yīng)滿足的條件，i可作為本單元的形狀函數(shù)。采用N匕做形狀函數(shù)，其位移模式為iu=XN,v）u,v=工N，耳丄iiiiTOC o 1-5 h

9、zi=1i=1x=Xn毛,n）x對(duì)比i=1ii和u=XN電,心,v=XN（g“可以看出：4iiiiy=乙n（g,nYi=1i=1iii=1在這種實(shí)際單元（任意四邊形）中，坐標(biāo)變換式和位移模式不僅采用了相同的形狀函數(shù)N匕，而且具有相同的數(shù)學(xué)i模型。這種性質(zhì)的實(shí)際單元稱為等參數(shù)單元。對(duì)用節(jié)點(diǎn)位移值u.（或V.等）求單元內(nèi)某一點(diǎn)位移量u（或vii等）的插值公式u=XN（g,心，只要將u（或V等）換成X（或Yiii=1等），便成為利用節(jié)點(diǎn)值X.（或Y.等）求相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)X（或Y等）的插值公式。相反也是這樣。2.幾何矩陣B由于幾何矩陣B通過對(duì)位移求偏導(dǎo)數(shù)而得出，所以首先必須利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則得出下述公

10、式dududXdudYdu何=SdXdgdYdg或?qū)懗韶?J1dududXdudYldu、耳十dXdndYdvaxQY式中J=正鬲，此式稱為雅可比矩陣。axQY為了將幾何矩陣B寫成變量耳的函數(shù)，必須將式QuQuaxQu=JI1=JaxQu改寫成lan)一從表示單元內(nèi)各點(diǎn)位移與其應(yīng)變關(guān)系的幾何方程可知：aax爲(wèi)oaaY0ax001auagauaYavaxQuQuQvQv將式axQu=JI1=JI1鬲Qv合并，則一lan)一lan)QvaxQvTJliaYJ_o0JliQuQuaauaYav對(duì)單元（e）,任意一點(diǎn)的位移u，v對(duì)自然坐標(biāo)g,耳的偏導(dǎo)數(shù)可利用上式求出，寫成矩陣形式為：vu叫譏時(shí)vuii

11、2pipvuvTkrlokInloL.10Lt)tv3p4p對(duì)于i=l,2,3,4InL竺竺!iP況眄J將dudYdvdXdvdYJ01d0ddX=oddYdYddX0000011J110J11dududvdqdg和dudg代入色空色r，則可得出表示dYdXdYJ在整體坐標(biāo)系中位移和應(yīng)變關(guān)系的幾何方程：bh)=Be)|/h)式中的幾何矩陣B是自然坐標(biāo)g耳的函數(shù):也可利用陰J110竺JT求得的n以及dqJiPX=工N匕q)x匸1ii和Y=N毛,qiii=11P2P3P4PXXXX1234YYYY1234dXdYJ=勇求出/，dXdYdqdq3.單元?jiǎng)偠染仃噆q)設(shè)單元板厚為t,根據(jù)虛功方程有：肛

12、)“國(guó)blBjdA，A此式中幾何矩陣B和彈性矩陣D都已求出。因?yàn)閹缀尉仃嘊中的變量是自然坐標(biāo)g,q，所以也要用自然坐標(biāo)表示微分面積dA。在實(shí)際單元中任取一點(diǎn)p,其整體坐標(biāo)位X、Y,其相應(yīng)x 的自然坐標(biāo)為g,耳。過p點(diǎn)做g,耳的等值線，同時(shí)做g+dg,n+dn的等值線，圍成一小塊微分面積dA,如圖4-20(a)所示。為便于分析，將四邊形pqrs放大，如圖4-20(b)所示。實(shí)際上，dg，dn取得很小，因此該四邊形可視為平行四邊形。若相鄰的兩邊用向量表示，則兩者的乘積等于該平行四邊形的面積dA。圖4-20dA=|a|bsin0=|axb|若a=ai+aj,b=bi+bjxyxy()()abJi+a

13、bi+bjA=xxxyxyabyydA二為了求出a，a,b，b的值，要先寫出a和b兩端節(jié)點(diǎn)p、q、sxyxy的坐標(biāo)值。點(diǎn)p：x二x(g,n),y二y(g,n)pp點(diǎn)q：X二X(g+dg,n),Y二Y(g+dg,n)qq點(diǎn)s：x二x(g,n+dn)y二y(g,n+dn)ss利用泰勒技術(shù)展開并略去高階項(xiàng)，可得x(g+dg,n)=x(g,n)+|gdgx(g,n+dn)=x(g,n)+Xdn的對(duì)y(g+dg,n)y(g,n+dn)，也可寫出相應(yīng)的展開式。利用式x-dg,n)=X,n)+2dg可得：,n+dn)=x,n)+空dnon TOC o 1-5 h zOXdYa=XX=dg,a=YY=dqxq

14、pOgyqp術(shù)OXgOYqb=XX=dg,b=YY=dqab5i+aj，丿bi+bj彳=xxxyxyab得到：將此式代入式dA=yy簡(jiǎn)寫為dA=JdgdqxspOgyspOqadA=xaybxbyOXOYOgOgdgdq，OXOY71OqOq單元?jiǎng)偠染仃嚍椋河唀）=JfIbbBJJLgdq，這個(gè)積分可以采用“數(shù)值方法”用11高斯求積分公式很方便的求出，在此不作介紹。例：求如圖所示四邊形的雅可比矩陣。解：求雅可比矩陣可在整體坐標(biāo)系中進(jìn)行，也可以在實(shí)際單元的局部坐標(biāo)系中進(jìn)行。為便于計(jì)算，本例在局部坐標(biāo)系中進(jìn)行。對(duì)單元（1）：將四個(gè)節(jié)點(diǎn)的自然坐標(biāo)值（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）（-1，1）代入下式：N（g,q）=1G+gg）G+qq），四個(gè)節(jié)點(diǎn)i4iii實(shí)際單元在局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)值（-3，-2）、（3，-2）、（3，2）（-3，2）代入下式計(jì)算：X=工Nm)Xi=i1，貝X二3g,Y二2qY=工N,n)Yii